上同调cohomology

[FoxMe]

Homology: 是exact sequence的推广。假设以下群同态

...C_n+1-->C_n-->C_n-1...

Homology group定义为

H_n = Ker(d_n)/Img(d_n+1), d_n+1是上面的第一个箭头，d_n是第二个。如果Ker(d_n) = Img(d_n+1)，就是exact sequence。

Cohomology就是把Homology逆过来，

...C*_n+1<--C*_n<--C*_n-1...

Cohomology group定义为

Hⁿ = Ker(d_n+1)/Img(d_n)

我的问题是：为啥要研究这些东西？同调的原义是啥？据说是代数拓扑里面来的，但是我不懂代数拓扑，纯代数也可以定义。上同调为啥比同调好？

好多概念，似乎只要H¹， H²，比如椭圆曲线里面的一些群。



还有一个概念是Galois cohomology，还在看。举个例子，Brauer group = H²(G(L|K),L*), 这里G(L|K)是伽罗华群.

[TheMatrix]

Homology: 是exact sequence的推广。假设以下群同态

...C_n+1-->C_n-->C_n-1...

Homology group定义为

H_n = Ker(d_n)/Img(d_n+1), d_n+1是上面的第一个箭头，d_n是第二个。如果Ker(d_n) = Img(d_n+1)，就是exact sequence。

Cohomology就是把Homology逆过来，

...C*_n+1<--C*_n<--C*_n-1...

Cohomology group定义为

Hⁿ = Ker(d_n+1)/Img(d_n)

我的问题是：为啥要研究这些东西？同调的原义是啥？据说是代数拓扑里面来的，但是我不懂代数拓扑，纯代数也可以定义。上同调为啥比同调好？

好多概念，似乎只要H¹， H²，比如椭圆曲线里面的一些群。



还有一个概念是Galois cohomology，还在看。举个例子，Brauer group = H²(G(L|K),L*), 这里G(L|K)是伽罗华群.

Silverman那本书上同调的部分我也没看。看着感觉很难。

同调和上同调，都是heavy machinery。我接触很久了，感觉一直也没有消化好。

1，首先，为啥要研究这些东西。

我感觉，在有natural grading的地方才研究它们，因为会有一个阶的概念，这样一阶一阶的才能形成长链。

然后在每一阶中，kernel / image，感觉跟class group的方法一样，就是群模去子群，也就是商群，看的是class也就是coset。

2，为什么上同调比同调好。

因为上同调可以形成乘法。但是我感觉也可能是反过来说：只有形成乘法才叫上同调。比如DeRham cohomology。有DeRham homology吗？好像没有。不过singular cohomology确实是从singular homology中来的。

有乘法好，这是肯定的。因为同调和上同调不是只看一个阶的，而是希望把所有阶的元素放在一起看，比如
(H¹,H²,H³,...)，看成是一个更大的object。这个object所在的集合，结构越多越好。上同调，这个集合形成一个ring，或者叫graded algebra。

[TheMatrix]

Homology: 是exact sequence的推广。假设以下群同态

...C_n+1-->C_n-->C_n-1...

Homology group定义为

H_n = Ker(d_n)/Img(d_n+1), d_n+1是上面的第一个箭头，d_n是第二个。如果Ker(d_n) = Img(d_n+1)，就是exact sequence。

Cohomology就是把Homology逆过来，

...C*_n+1<--C*_n<--C*_n-1...

Cohomology group定义为

Hⁿ = Ker(d_n+1)/Img(d_n)

我的问题是：为啥要研究这些东西？同调的原义是啥？据说是代数拓扑里面来的，但是我不懂代数拓扑，纯代数也可以定义。上同调为啥比同调好？

好多概念，似乎只要H¹， H²，比如椭圆曲线里面的一些群。



还有一个概念是Galois cohomology，还在看。举个例子，Brauer group = H²(G(L|K),L*), 这里G(L|K)是伽罗华群.

group cohomology我一直没看进去。怎么定义的，怎么用的？H²(G(L|K),L*)，这里G(L|K)是伽罗华群，那么L*是什么？algebraic closure？

[forecasting]

Homology: 是exact sequence的推广。假设以下群同态

...C_n+1-->C_n-->C_n-1...

Homology group定义为

H_n = Ker(d_n)/Img(d_n+1), d_n+1是上面的第一个箭头，d_n是第二个。如果Ker(d_n) = Img(d_n+1)，就是exact sequence。

Cohomology就是把Homology逆过来，

...C*_n+1<--C*_n<--C*_n-1...

Cohomology group定义为

Hⁿ = Ker(d_n+1)/Img(d_n)

我的问题是：为啥要研究这些东西？同调的原义是啥？据说是代数拓扑里面来的，但是我不懂代数拓扑，纯代数也可以定义。上同调为啥比同调好？

好多概念，似乎只要H¹， H²，比如椭圆曲线里面的一些群。



还有一个概念是Galois cohomology，还在看。举个例子，Brauer group = H²(G(L|K),L*), 这里G(L|K)是伽罗华群.

来个简化到极致的同调和上同调的定义，同时说明两者的关系：

[TheMatrix]

来个简化到极致的同调和上同调的定义，同时说明两者的关系：

这个讲的是singular homology和 DeRham cohomology。

[FoxMe]

L*是L的乘法群，写成L^x更常见。

group cohomology我一直没看进去。怎么定义的，怎么用的？H²(G(L|K),L*)，这里G(L|K)是伽罗华群，那么L*是什么？algebraic closure？

[FoxMe]

没看懂，感觉里面的定义和纯代数的定义不一样？

来个简化到极致的同调和上同调的定义，同时说明两者的关系：

[TheMatrix]

没看懂，感觉里面的定义和纯代数的定义不一样？

singular homology是拓扑定义。纯代数怎么定义？你指的是group cohomology吧？

[FoxMe]

哦，我不知道有这么多名堂。

singular homology是拓扑定义。纯代数怎么定义？你指的是group cohomology吧？

[TheMatrix]

哦，我不知道有这么多名堂。

Homology 和 cohomology 最开始应该就是从拓扑里出来的。目的是detect拓扑空间中的孔洞。比如三维空间中的孔洞，要用一个二维球面来包裹，看这个球面能不能连续缩小到无。这是homotopy的概念。homology的思路是一样的，相当于一种简化。这是singular homology。

[Caravel]

Homology: 是exact sequence的推广。假设以下群同态

...C_n+1-->C_n-->C_n-1...

Homology group定义为

H_n = Ker(d_n)/Img(d_n+1), d_n+1是上面的第一个箭头，d_n是第二个。如果Ker(d_n) = Img(d_n+1)，就是exact sequence。

Cohomology就是把Homology逆过来，

...C*_n+1<--C*_n<--C*_n-1...

Cohomology group定义为

Hⁿ = Ker(d_n+1)/Img(d_n)

我的问题是：为啥要研究这些东西？同调的原义是啥？据说是代数拓扑里面来的，但是我不懂代数拓扑，纯代数也可以定义。上同调为啥比同调好？

好多概念，似乎只要H¹， H²，比如椭圆曲线里面的一些群。



还有一个概念是Galois cohomology，还在看。举个例子，Brauer group = H²(G(L|K),L*), 这里G(L|K)是伽罗华群.

最近看的微分几何的也提到了同调和上同调
这些sequence，每一个entry都是一个线性空间么？

[TheMatrix]

最近看的微分几何的也提到了同调和上同调
这些sequence，每一个entry都是一个线性空间么？

对。也可以是module，线性空间的一种推广。

[forecasting]

没看懂，感觉里面的定义和纯代数的定义不一样？

同调和上同调的定义就起源于 此，历史上并非推广exact sequence而来。当然理解可以各有各的理解。

觉得是先从链定义出同调，同调群，holes的数目（亏格 genus），再从熟知的积分基本公式以至于Stokes定理导出外微分，进而得出另一种探测holes的方法，给出上同调的定义，holes的数量。最后统一两个角度的定义。概括一句 就是，同调和上同调就是描述或探测区分holes（亏格）的一种方法，区分于同伦（homotopy），它所对应的群是abelian的，即可交换群。

数论上或算术几何上的一个应用是分类丢番图方程或者代数簇吧？对应的同调群定义了丢番图方程或者代数簇的等价类？

[FoxMe]

解释地很好。

同调和上同调的定义就起源于 此，历史上并非推广exact sequence而来。当然理解可以各有各的理解。

觉得是先从链定义出同调，同调群，holes的数目（亏格 genus），再从熟知的积分基本公式以至于Stokes定理导出外微分，进而得出另一种探测holes的方法，给出上同调的定义，holes的数量。最后统一两个角度的定义。概括一句 就是，同调和上同调就是描述或探测区分holes（亏格）的一种方法，区分于同伦（homotopy），它所对应的群是abelian的，即可交换群。

数论上或算术几何上的一个应用是分类丢番图方程或者代数簇吧？对应的同调群定义了丢番图方程或者代数簇的等价类？

[forecasting]

同调上同调群刻画拓扑不变量，所以在微分几何，复分析，代数几何等等里面都有应用，例如Atiyah-Singer指标定理里就有应用。

不是大例子俺不举，吓死你们：Atiyah-Singer指标定理