素数和加法有关系吗？

[TheMatrix]

乘法是加法演化而来的

所有数学都是 0 1 2 3演化出来的

对。这是一种角度。

代数从另一个角度，直接定义二元运算。加法和乘法都是直接就有。抽象地定义，然后再发生关系。

不好说哪个更本质。

从自然数出发也有道理。代数都是model自然数。

[TheMatrix]

Monoid， 我一个老师翻译成独异点，我觉得翻译得很别扭，但实在也不愿意跟他讨论术语翻译问题，觉得没啥意思。所谓名无固谊

生成元在群环域固然不可或缺，生成元及其集合在泛代数（半群等等，就是不满足群公理的一些代数结构）是一定要用到的。例如formal language理论里的符号集合及其连接运算，加上生成规则，就构成了一套formal language的系统。由此引出Chomsky Hiearchy，Post System， Thue System，进而跟自动机理论包括Turing machine和Post machine关联或者对应起来。
关于半群的研究也属于泛代数，牵涉几个领域。
Model Theory里用到的Model，几乎离不开泛代数。

觉得它们之所以少为人知，大概是因为群，环，域更容易一些，因为公里多而多显示对称性容易得出结果。比如复分析或者复变函数，就因为其数学结构要满足的公理多而多对称性，容易拿到 一些很具体而有意思的结果从而可窥探其他领域或推广到其他领域

这是一个大家辈出的领域，包括Turing。 Post，Shannon等等。

数理逻辑，计算机理论，经常用到monoid。

数学里用到的倒不多。

monoid可以嵌入group中。group也可以嵌入monoid中。谁是谁的引申不好说。

[forecasting]

数理逻辑，计算机理论，经常用到monoid。

数学里用到的倒不多。

monoid可以嵌入group中。group也可以嵌入monoid中。谁是谁的引申不好说。

是Thue他们先研究，不知道Thue算数学什么领域的，肯定是数学领域的

https://en.wikipedia.org/wiki/Axel_Thue

Thue的学生Skolem名气大一些，好像也比较少为人知
https://en.wikipedia.org/wiki/Thoralf_Skolem

[forecasting]

对。这是一种角度。

代数从另一个角度，直接定义二元运算。加法和乘法都是直接就有。抽象地定义，然后再发生关系。

不好说哪个更本质。

从自然数出发也有道理。代数都是model自然数。

这就进入代数几何领域了，引出概形，函子，谱这些东西？

[TheMatrix]

是Thue他们先研究，不知道Thue算数学什么领域的，肯定是数学领域的

https://en.wikipedia.org/wiki/Axel_Thue

我没听说过这个人。

看了一下wiki。

英文wiki看来，这个人比较小众。看起来和数论有关。

百度文心一言一查，我感觉说的更清楚：

Thue方程是一种形式化的数学问题，可以描述为寻找一个字符串（通常是一个字母表中的字母或数字）的给定模式的所有替换方案，使得这个字符串在替换后满足一定的条件。例如，一个简单的Thue方程可能是一个寻找所有满足给定条件的字符串替换方案的问题，其中替换方案只能用给定的字母表中的字母进行。

Thue方程通常用于计算机科学和离散数学中，用于研究字符串的复杂性和可计算性。它也出现在一些自然语言处理和人工智能的问题中，例如在机器翻译和自然语言生成中，需要找到一种方法来生成符合特定语法和语义规则的句子。

Thue方程是一个NP-hard问题，这意味着它没有已知的多项式时间算法来解决。因此，对于大规模的Thue方程问题，通常需要使用启发式算法或近似算法来找到近似解或近似最优解。

[forecasting]

我没听说过这个人。

看了一下wiki。

英文wiki看来，这个人比较小众。看起来和数论有关。

百度文心一言一查，我感觉说的更清楚：

这个人的工作原创性很高，给后来的数理逻辑和计算机开辟了一条道路

他的学生名气大一些，不过也少为人知
https://en.wikipedia.org/wiki/Thoralf_Skolem

Thue定理应该是大名鼎鼎的，是Faltings Theorem的特例？
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

In mathematics, Roth's theorem or Thue–Siegel–Roth theorem is a fundamental result in diophantine approximation to algebraic numbers
https://en.wikipedia.org/wiki/Roth%27s_theorem
这也是个大定理。

[TheMatrix]

这个人的工作原创性很高，给后来的数理逻辑和计算机开辟了一条道路

他的学生名气大一些，不过也少为人知
https://en.wikipedia.org/wiki/Thoralf_Skolem

好像是数理逻辑那边的。文中看到了王浩。

我对数理逻辑基本没有涉猎。计算机编程我倒是懂。

[forecasting]

好像是数理逻辑那边的。文中看到了王浩。

我对数理逻辑基本没有涉猎。计算机编程我倒是懂。

数理逻辑（他这部分研究应该算组合数学，但组合数学一大部分后来发现跟数理逻辑分不开，或者就属于数理逻辑）和数论吧，本来两者就难分，哥德尔不完备定理（是希尔伯特23问题之一，第二问题）对应到代数，就是，Peano 一阶算术是非单的，也就是有真理想。算术几何或者算术代数几何，就是现代数论，其实就是研究丢番图方程解集的，丢番图集，上个世纪七十年代数理逻辑的一个结果就是，丢番图方程没有算法解，即c. e. set属于丢番图集，是希尔伯特23问题之一，第十问题。

他数论有两个定理，都是原创性很高的大结果

顺便说一句，哥德尔不完备定理和可计算理论（递归论）研究的结构 是有序域，定义了加法和乘法，还有一个序结构。

[TheMatrix]

这个讨论很好。

使我更笃定了一些：素数的由来是不需要加法的。

但是因为和加法发生了关系，才产生了复杂性。

乘法和加法发生了关系，就已经产生了复杂性：y²=x³-x+1

更不要说再加上乘法中的素数：x²+1中有无穷多的素数。

[TheMatrix]

有没有三级运算系统：a+b, a*b, a^b.
+和*有分配率，*和^也有分配率，而且^还至少有结合律。

三级运算系统可以看成是两个二级运算系统：(*) over (+)，(^) over (*)。

(*) over (+)，弱化一点看，（也可以说泛化一点看），可以看成是action，operator action。分配律就是线性。结合律可以先不要求，先考虑一个一个的operator。

action的话，一般视角是对被作用对象的研究。如果关注乘法和素数的话，把乘法这个集合作为研究对象，它上面有什么action呢？

乘法作为集合的话，首先abelian，有1，但不是群，可以看成是以素数为生成元的Z₀-module，和一个线性空间比较类似。那么其上的action的话，比如平方这么一个action，是线性的。但是反过来把算数加法看成是乘法集合上的action的话，是highly nonlinear的 - 这也是代数的复杂性的来源。

[drifter]

搞不好对高级生命来看，素数根本不是什么谜。各种关于素数的猜想统统都是小学数学。LOL

有道理 我们生活的世界 加法乘法就够用了 需要脑洞大开 搞出个新算法 没准就把时间问题解决了

[TheMatrix]

三级运算系统可以看成是两个二级运算系统：(*) over (+)，(^) over (*)。

(*) over (+)，弱化一点看，（也可以说泛化一点看），可以看成是action，operator action。分配律就是线性。结合律可以先不要求，先考虑一个一个的operator。

action的话，一般视角是对被作用对象的研究。如果关注乘法和素数的话，把乘法这个集合作为研究对象，它上面有什么action呢？

乘法作为集合的话，首先abelian，有1，但不是群，可以看成是以素数为生成元的Z₀-module，和一个线性空间比较类似。那么其上的action的话，比如平方这么一个action，是线性的。但是反过来把算数加法看成是乘法集合上的action的话，是highly nonlinear的 - 这也是代数的复杂性的来源。

加法对乘法是highly nonlinear。比如+1操作。

下面是几个pair，左边是x，右边是y=x+1。x表示为20以内素数（共8个）的分解，y分解质因数：
...
([1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {911: 1})
([2, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {3: 1, 607: 1})
([0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 1, 683: 1})
([1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {2731: 1})
([0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 12})
([0, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 2, 569: 1})
([1, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0], {3: 1, 37: 1, 41: 1})
([0, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 1, 3413: 1})
([0, 0, 3, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 4, 3: 2, 79: 1})
...

这就是highly nonlinear。

[TheMatrix]

加法对乘法是highly nonlinear。

比如+1操作。下面是几个pair，左边是x，右边是y=x+1。x表示为20以内素数（共8个）的分解，y分解质因数：
...
([1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {911: 1})
([2, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {3: 1, 607: 1})
([0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 1, 683: 1})
([1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {2731: 1})
([0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 12})
([0, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 2, 569: 1})
([1, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0], {3: 1, 37: 1, 41: 1})
([0, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 1, 3413: 1})
([0, 0, 3, 1, 0, 1, 0, 0], {2: 4, 3: 2, 79: 1})
...

这就是highly nonlinear。

注意到这里有一个有趣的：
3²*5*7*13+1=2¹²

[FoxMe]

Thue和Skolem都是数论中的著名人物。

Roth因为Thue–Siegel–Roth theorem拿到菲尔兹奖。

Skolem theorem：every automorphism of a central simple k-algebra is an inner automorphism.

这个人的工作原创性很高，给后来的数理逻辑和计算机开辟了一条道路

他的学生名气大一些，不过也少为人知
https://en.wikipedia.org/wiki/Thoralf_Skolem

Thue定理应该是大名鼎鼎的，是Faltings Theorem的特例？
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

In mathematics, Roth's theorem or Thue–Siegel–Roth theorem is a fundamental result in diophantine approximation to algebraic numbers
https://en.wikipedia.org/wiki/Roth%27s_theorem
这也是个大定理。

[TheMatrix]

三级运算系统可以看成是两个二级运算系统：(*) over (+)，(^) over (*)。

(*) over (+)，弱化一点看，（也可以说泛化一点看），可以看成是action，operator action。分配律就是线性。结合律可以先不要求，先考虑一个一个的operator。

action的话，一般视角是对被作用对象的研究。如果关注乘法和素数的话，把乘法这个集合作为研究对象，它上面有什么action呢？

乘法作为集合的话，首先abelian，有1，但不是群，可以看成是以素数为生成元的Z₀-module，和一个线性空间比较类似。那么其上的action的话，比如平方这么一个action，是线性的。但是反过来把算数加法看成是乘法集合上的action的话，是highly nonlinear的 - 这也是代数的复杂性的来源。

也就是二元运算打不到的元素就是素元素，也就是生成元。

加法，生成元只有一个+1，或者-1，两个。

乘法，生成元是素数，无穷多个，但是比较稀疏。

乘方，a^b，打不到的数太多了，可以说都是它的生成元。稠密。

我记得好像有个猜想，说2³和3²，是唯一一对乘方数相差1。

[TheMatrix]

Thue和Skolem都是数论中的著名人物。

Roth因为Thue–Siegel–Roth theorem拿到菲尔兹奖。

Skolem theorem：every automorphism of a central simple k-algebra is an inner automorphism.

Roth好像有个丢番图approximation定理？好像在Silverman那本椭圆函数中看到过。

[forecasting]

Thue和Skolem都是数论中的著名人物。

Roth因为Thue–Siegel–Roth theorem拿到菲尔兹奖。

Skolem theorem：every automorphism of a central simple k-algebra is an inner automorphism.

他的Thue system是数理逻辑尤其形式语言的奠基性工作，其中的word problem跟停机问题相关。

Skolem是模型论的先行者和奠基人，Skolem-Löwenheim-Tarski定理是模型论的基础定理，跟他老师一样，他也有代数方面的结果。

两人名气不大，大概跟论文语言有关，挪威语

[TheMatrix]

这个讨论很好。

使我更笃定了一些：素数的由来是不需要加法的。

但是因为和加法发生了关系，才产生了复杂性。

乘法和加法发生了关系，就已经产生了复杂性：y²=x³-x+1

更不要说再加上乘法中的素数：x²+1中有无穷多的素数。

从没有加法就没有复杂性的角度看，也可以说素数的问题必须有加法。

而且也必然会有加法：从表示论来看，一个monoid，有1，有结合律的话，那么必然有线性空间或者module上的表示，其形式为matrix的乘法。而matrix自带加法。。。通过合适的扩展，这个monoid可以嵌入一个matrix ring。所以monoid上的素元素/生成元就变成matrix ring上的素元素/irreducible。

[TheMatrix]

我觉得对。素数，可以说是乘法的生成元。

只有monoid还不能是group才能谈论素元素，因为group里面都是可逆元素，也可以说都是unit，就不能是素元素了。

而如果考虑abelian monoid的话，可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。

到目前为止，还没有用到加法。

生成元这件事我还是有点犯糊涂。monoid，group，unit，irreducible，scalar，这几个的关系。

现在考虑的都是单一二元运算，有1，有结合律。先假定是可交换二元运算。记为a#b。在可交换运算下，1可以记为0。

一组生成元，要求它们在该二元运算下能生成全部其他元素。。。应该是除了0以外的。。。考虑最小生成元集合。

这里没有考虑scalar系数的问题，也就是隐含考虑的是Z₀={0,1,2,...}系数。也就是允许3a这样的元素，因为3a=a#a#a。

那么monoid Z₀本身的生成元是{1}。不是0，是1。{2,3}也不行，因为这要求3-2得到1，但是我们这里还没有减法。

那么Z的生成元呢？{1,-1}，没有-1好像不行。{1,-5}也行，因为1和-5能生成-1。可以有很多组合，但是必须有两个，一正一负。{2,-3}也可以。

考虑二维vector space {ax+by}，系数属于一个域F。这里如果说生成元只有{x,y}的话，那实际上考虑了scalar乘法。如果不考虑scalar乘法，只考虑二元运算，在这里也就是加法的话，那{x,y}还不足以生成整个vector space。也就是F-module和Z₀-module的区别。

总而言之，言而总之，单一二元运算下，有1，有结合律，可交换的条件下，我们考虑的生成元是集合作为Z₀-module的“维度”。

(Z₊,*)，自然数的乘法集合，生成元为全部素数。这和作为Z₀-module的生成元是一致的。

[TheMatrix]

生成元这件事我还是有点犯糊涂。monoid，group，unit，irreducible，scalar，这几个的关系。

现在考虑的都是单一二元运算，有1，有结合律。先假定是可交换二元运算。记为a#b。在可交换运算下，1可以记为0。

一组生成元，要求它们在该二元运算下能生成全部其他元素。。。应该是除了0以外的。。。考虑最小生成元集合。

这里没有考虑scalar系数的问题，也就是隐含考虑的是Z₀={0,1,2,...}系数。也就是允许3a这样的元素，因为3a=a#a#a。

那么monoid Z₀本身的生成元是{1}。不是0，是1。{2,3}也不行，因为这要求3-2得到1，但是我们这里还没有减法。

那么Z的生成元呢？{1,-1}，没有-1好像不行。{1,-5}也行，因为1和-5能生成-1。可以有很多组合，但是必须有两个，一正一负。{2,-3}也可以。

考虑二维vector space {ax+by}，系数属于一个域F。这里如果说生成元只有{x,y}的话，那实际上考虑了scalar乘法。如果不考虑scalar乘法，只考虑二元运算，在这里也就是加法的话，那{x,y}还不足以生成整个vector space。也就是F-module和Z₀-module的区别。

总而言之，言而总之，单一二元运算下，有1，有结合律，可交换的条件下，我们考虑的生成元是集合作为Z₀-module的“维度”。

(Z₊,*)，自然数的乘法集合，生成元为全部素数。这和作为Z₀-module的生成元是一致的。

Z₀-module就是每一个元素可以倍乘，有点像一条射线发出去。当然元素之间还可以相加。

一组生成元相当于一组基。不同的基之间元素的表示可以有变换。

(Z₀,+)，加法集合，只有唯一一个基{1}，元素只有一个表示，没有其他表示。

(Z₊,*)，自然数的乘法集合，也只有唯一一个基{all prime numbers}，没有其他基，元素也只有一个表示，没有其他表示。这就是分解质因数的唯一性。

而(Z,+)作为Z₀-module，就有很多基：{1,-1}, {3,-2}, {14,-15},...，也就有基变换带来的表示变换：8=8*1+0*(-1)=8*3+8*(-2)=112*14+104*(-15)。

(Z[√-5],*)，作为乘法集合，没有唯一分解定理，也是因为有不同的基。