素元素不完全等价于生成元:TheMatrix 写了: ↑2月 11, 2024, 11:20 am 生成元这件事我还是有点犯糊涂。monoid,group,unit,irreducible,scalar,这几个的关系。
现在考虑的都是单一二元运算,有1,有结合律。先假定是可交换二元运算。记为a#b。在可交换运算下,1可以记为0。
一组生成元,要求它们在该二元运算下能生成全部其他元素。。。应该是除了0以外的。。。考虑最小生成元集合。
这里没有考虑scalar系数的问题,也就是隐含考虑的是Z0={0,1,2,...}系数。也就是允许3a这样的元素,因为3a=a#a#a。
那么monoid Z0本身的生成元是{1}。不是0,是1。{2,3}也不行,因为这要求3-2得到1,但是我们这里还没有减法。
那么Z的生成元呢?{1,-1},没有-1好像不行。{1,-5}也行,因为1和-5能生成-1。可以有很多组合,但是必须有两个,一正一负。{2,-3}也可以。
考虑二维vector space {ax+by},系数属于一个域F。这里如果说生成元只有{x,y}的话,那实际上考虑了scalar乘法。如果不考虑scalar乘法,只考虑二元运算,在这里也就是加法的话,那{x,y}还不足以生成整个vector space。也就是F-module和Z0-module的区别。
总而言之,言而总之,单一二元运算下,有1,有结合律,可交换的条件下,我们考虑的生成元是集合作为Z0-module的“维度”。
(Z+,*),自然数的乘法集合,生成元为全部素数。这和作为Z0-module的生成元是一致的。
(Z,+)作为Z0-module有两套生成元:{1,-1}, {2,-3}。这说明这里面没有一个是irreducible - 任何一个数都可以是另外两个数以该运算合成出来的:-1=2+(-3),1=2*2+(-3)。
(Z+,*)作为Z0-module只有一套生成元:{all prime numbers},这就没问题:每一个元素既是生成元,又是irreducible,也可以叫乘法素元素。
(Z0,+)作为Z0-module也只有一套生成元:{1},这个元素也是irreducible,也可以叫加法素元素。