素数和加法有关系吗?
版主: verdelite, Tlexander
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#1 素数和加法有关系吗?
自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了:不能写成另外两个数相乘。
代数中,素元素或者素理想的定义都是在ring中,也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。
素数的定义中用到了1,或者unit,所以乘法有1是必须的。
有1的二元运算,只有乘法没有加法,或者说只有一个二元运算的,叫monoid。
在monoid上可以定义素元素吗?有意义吗?
代数中,素元素或者素理想的定义都是在ring中,也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。
素数的定义中用到了1,或者unit,所以乘法有1是必须的。
有1的二元运算,只有乘法没有加法,或者说只有一个二元运算的,叫monoid。
在monoid上可以定义素元素吗?有意义吗?
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#2 Re: 素数和加法有关系吗?
在理论上monoid上可以定义素元素。
有一定的意义,比如用复合函数作为乘法运算的多项式(没有加法运算,简单的多项式加法和这个复合运算的那个乘法不自洽)就是 monoid,这样定义的素元素的多项式不能用其他的其他的多项式迭代出来的,这样可以考虑因式分解,有可能在计算机上有一定的用处。
但好像数学上有意义的经典的定义问题还是要考虑加法的,比如 Goldbach's conjecture。
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#3 Re: 素数和加法有关系吗?
嗯。确实。一个多项式能不能由简单点的多项式复合出来,也是有意义的。newkids_on_the_block 写了: ↑2月 1, 2024, 2:11 pm 在理论上monoid上可以定义素元素。
有一定的意义,比如用复合函数作为乘法运算的多项式(没有加法运算,简单的多项式加法和这个复合运算的那个乘法不自洽)就是 monoid,这样定义的素元素的多项式不能用其他的其他的多项式迭代出来的,这样可以考虑因式分解,有可能在计算机上有一定的用处。
但好像数学上有意义的经典的定义问题还是要考虑加法的,比如 Goldbach's conjecture。
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#4 Re: 素数和加法有关系吗?
素数是用来乘的,不是用来加的!哈哈
哥德巴赫猜想是否成立,貌似对数学没有任何影响。
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#6 Re: 素数和加法有关系吗?
集合上只定义一个运算,就无所谓加法乘法(就是运算!名称只是外在的),有两个运算,有分配律,才有区分加法乘法的必要,进一步定义与自然数集的群,环,域的同构或同态。
只有一个运算可以定义生成元,是不是可以定义为素元素?
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#7 Re: 素数和加法有关系吗?
我觉得对。素数,可以说是乘法的生成元。
只有monoid还不能是group才能谈论素元素,因为group里面都是可逆元素,也可以说都是unit,就不能是素元素了。
而如果考虑abelian monoid的话,可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。
到目前为止,还没有用到加法。
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#11 Re: 素数和加法有关系吗?
不同素数之间,需要加法。
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#13 Re: 素数和加法有关系吗?
从生成元的角度看乘法和素数,还是不错的。
monoid和group的区别并不大。abelian monoid和Z-module的区别也不大。
从这个角度看,有一个injection: Z+ --> M={P --> Z0}。
其中
Z+是自然数:{1,2,3,...},
Z0是非负整数:{0,1,2,3,...},
P是素数集合:{2,3,5,7,11,...},
M是P到Z0的函数集合。
这就是算数基本定理。每一个正整数都能唯一分解为素数幂次的乘积。
如果再定义M0为只有有限个素数的函数的话,那么Z+=M0.
M差不多是一个Z-module。它上面有自然的加法和乘法。加法对应Z+上的乘法。乘法对应Z+上的。。。一些东西。
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#17 Re: 素数和加法有关系吗?
有没有三级运算系统:a+b, a*b, a^b.
+和*有分配率,*和^也有分配率,而且^还至少有结合律。
+和*有分配率,*和^也有分配率,而且^还至少有结合律。
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#19 Re: 素数和加法有关系吗?
Monoid, 我一个老师翻译成独异点,我觉得翻译得很别扭,但实在也不愿意跟他讨论术语翻译问题,觉得没啥意思。所谓名无固谊
生成元在群环域固然不可或缺,生成元及其集合在泛代数(半群等等,就是不满足群公理的一些代数结构)是一定要用到的。例如formal language理论里的符号集合及其连接运算,加上生成规则,就构成了一套formal language的系统。由此引出Chomsky Hiearchy,Post System, Thue System,进而跟自动机理论包括Turing machine和Post machine关联或者对应起来。
关于半群的研究也属于泛代数,牵涉几个领域。
Model Theory里用到的Model,几乎离不开泛代数。
觉得它们之所以少为人知,大概是因为群,环,域更容易一些,因为公里多而多显示对称性容易得出结果。比如复分析或者复变函数,就因为其数学结构要满足的公理多而多对称性,容易拿到 一些很具体而有意思的结果从而可窥探其他领域或推广到其他领域
这是一个大家辈出的领域,包括Turing。 Post,Shannon等等。
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