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#1 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 13:42
由 TheMatrix
自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了:不能写成另外两个数相乘。
代数中,素元素或者素理想的定义都是在ring中,也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。
素数的定义中用到了1,或者unit,所以乘法有1是必须的。
有1的二元运算,只有乘法没有加法,或者说只有一个二元运算的,叫monoid。
在monoid上可以定义素元素吗?有意义吗?
#2 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 14:11
由 nk
TheMatrix 写了: 2024年 2月 1日 13:42
自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了:不能写成另外两个数相乘。
代数中,素元素或者素理想的定义都是在ring中,也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。
素数的定义中用到了1,或者unit,所以乘法有1是必须的。
有1的二元运算,只有乘法没有加法,或者说只有一个二元运算的,叫monoid。
在monoid上可以定义素元素吗?有意义吗?
在理论上monoid上可以定义素元素。
有一定的意义,比如用复合函数作为乘法运算的多项式(没有加法运算,简单的多项式加法和这个复合运算的那个乘法不自洽)就是 monoid,这样定义的素元素的多项式不能用其他的其他的多项式迭代出来的,这样可以考虑因式分解,有可能在计算机上有一定的用处。
但好像数学上有意义的经典的定义问题还是要考虑加法的,比如 Goldbach's conjecture。
#3 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 15:33
由 TheMatrix
newkids_on_the_block 写了: 2024年 2月 1日 14:11
在理论上monoid上可以定义素元素。
有一定的意义,比如用复合函数作为乘法运算的多项式(没有加法运算,简单的多项式加法和这个复合运算的那个乘法不自洽)就是 monoid,这样定义的素元素的多项式不能用其他的其他的多项式迭代出来的,这样可以考虑因式分解,有可能在计算机上有一定的用处。
但好像数学上有意义的经典的定义问题还是要考虑加法的,比如 Goldbach's conjecture。
嗯。确实。一个多项式能不能由简单点的多项式复合出来,也是有意义的。
#4 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 15:45
由 FoxMe
素数是用来乘的,不是用来加的!哈哈
哥德巴赫猜想是否成立,貌似对数学没有任何影响。
#5 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 16:14
由 TheMatrix
FoxMe 写了: 2024年 2月 1日 15:45
素数是用来乘的,不是用来加的!哈哈
哥德巴赫猜想是否成立,貌似对数学没有任何影响。
结果有没有意义不知道。但是证明过程一定是有意义的。
#6 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 21:32
由 forecasting
TheMatrix 写了: 2024年 2月 1日 13:42
自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了:不能写成另外两个数相乘。
代数中,素元素或者素理想的定义都是在ring中,也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。
素数的定义中用到了1,或者unit,所以乘法有1是必须的。
有1的二元运算,只有乘法没有加法,或者说只有一个二元运算的,叫monoid。
在monoid上可以定义素元素吗?有意义吗?
集合上只定义一个运算,就无所谓加法乘法(就是运算!名称只是外在的),有两个运算,有分配律,才有区分加法乘法的必要,进一步定义与自然数集的群,环,域的同构或同态。
只有一个运算可以定义生成元,是不是可以定义为素元素?
#7 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 22:11
由 TheMatrix
forecasting 写了: 2024年 2月 1日 21:32
只有一个运算可以定义生成元,是不是可以定义为素元素?
我觉得对。素数,可以说是乘法的生成元。
只有monoid还不能是group才能谈论素元素,因为group里面都是可逆元素,也可以说都是unit,就不能是素元素了。
而如果考虑abelian monoid的话,可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。
到目前为止,还没有用到加法。
#8 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 22:30
由 pinfish
只有一个运算的集合无所谓加法乘法
这种情况下要用生成元的性质来定义/区分加法乘法
整数加法半群的生成元只需要1
乘法半群的生成元无穷多个
对应的是划分等价类或者不可约表示有类似区别
TheMatrix 写了: 2024年 2月 1日 22:11
我觉得对。素数,可以说是乘法的生成元。
只有monoid还不能是group才能谈论素元素,因为group里面都是可逆元素,也可以说都是unit,就不能是素元素了。
而如果考虑abelian monoid的话,可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。
到目前为止,还没有用到加法。
#9 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 1日 22:39
由 TheMatrix
pinfish 写了: 2024年 2月 1日 22:30
只有一个运算的集合无所谓加法乘法
这种情况下要用生成元的性质来定义/区分加法乘法
整数加法半群的生成元只需要1
乘法半群的生成元无穷多个
对应的是划分等价类或者不可约表示有类似区别
你说的对。我也是这个意思。我主要讨论的是乘法,和素数。
#10 Re: 生成元,理想,多演代数与数理逻辑的代数化
发表于 : 2024年 2月 1日 23:27
由 forecasting
从I want to be mathematician截取,生成元,理想,推理,一致性,完备性,语义,存在量词,不完备定理,皮亚诺一阶算术非单,多演代数与数理逻辑的代数化:
第一图是推理对应代数中的什么(理想与生成元,即公理集合和生成元生成的更大的理想),第二图是存在量词对应代数中的什么(算子与不等式)以及所谓语义是什么(表示!数学结构的同态 ),第三图是哥德尔不完备定理对应代数什么(数论是非单的,也就是皮亚诺一阶算术不是单代数)以及多演代数。
#11 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 10:56
由 bigbendan
不同素数之间,需要加法。
#12 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 10:59
由 YouHi
搞不好对高级生命来看,素数根本不是什么谜。各种关于素数的猜想统统都是小学数学。LOL
#13 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 11:12
由 TheMatrix
TheMatrix 写了: 2024年 2月 1日 22:11
只有monoid还不能是group才能谈论素元素,因为group里面都是可逆元素,也可以说都是unit,就不能是素元素了。
而如果考虑abelian monoid的话,可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。
到目前为止,还没有用到加法。
从生成元的角度看乘法和素数,还是不错的。
monoid和group的区别并不大。abelian monoid和Z-module的区别也不大。
从这个角度看,有一个injection: Z
+ --> M={P --> Z
0}。
其中
Z
+是自然数:{1,2,3,...},
Z
0是非负整数:{0,1,2,3,...},
P是素数集合:{2,3,5,7,11,...},
M是P到Z
0的函数集合。
这就是算数基本定理。每一个正整数都能唯一分解为素数幂次的乘积。
如果再定义M
0为只有有限个素数的函数的话,那么Z
+=M
0.
M差不多是一个Z-module。它上面有自然的加法和乘法。加法对应Z
+上的乘法。乘法对应Z
+上的。。。一些东西。
#14 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 12:07
由 Sususu
整数乘法不就是加法么?
#15 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 14:06
由 TheMatrix
YouHi 写了: 2024年 2月 2日 10:59
搞不好对高级生命来看,素数根本不是什么谜。各种关于素数的猜想统统都是小学数学。LOL
素数比代数高一维。相当于集合和幂集的关系。
对素数了如指掌的高级生命,对人类是降维打击。
#16 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 14:07
由 TheMatrix
Sususu 写了: 2024年 2月 2日 12:07
整数乘法不就是加法么?
你的意思是5*3 = 5+5+5吧?那倒是对的。
#17 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 19:37
由 FGH
有没有三级运算系统:a+b, a*b, a^b.
+和*有分配率,*和^也有分配率,而且^还至少有结合律。
#18 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 19:41
由 drifter
FoxMe 写了: 2024年 2月 1日 15:45
素数是用来乘的,不是用来加的!哈哈
哥德巴赫猜想是否成立,貌似对数学没有任何影响。
乘法是加法演化而来的
所有数学都是 0 1 2 3演化出来的
#19 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 20:26
由 forecasting
TheMatrix 写了: 2024年 2月 1日 13:42
自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了:不能写成另外两个数相乘。
代数中,素元素或者素理想的定义都是在ring中,也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。
素数的定义中用到了1,或者unit,所以乘法有1是必须的。
有1的二元运算,只有乘法没有加法,或者说只有一个二元运算的,叫monoid。
在monoid上可以定义素元素吗?有意义吗?
Monoid, 我一个老师翻译成独异点,我觉得翻译得很别扭,但实在也不愿意跟他讨论术语翻译问题,觉得没啥意思。所谓名无固谊
生成元在群环域固然不可或缺,生成元及其集合在泛代数(半群等等,就是不满足群公理的一些代数结构)是一定要用到的。例如formal language理论里的符号集合及其连接运算,加上生成规则,就构成了一套formal language的系统。由此引出Chomsky Hiearchy,Post System, Thue System,进而跟自动机理论包括Turing machine和Post machine关联或者对应起来。
关于半群的研究也属于泛代数,牵涉几个领域。
Model Theory里用到的Model,几乎离不开泛代数。
觉得它们之所以少为人知,大概是因为群,环,域更容易一些,因为公里多而多显示对称性容易得出结果。比如复分析或者复变函数,就因为其数学结构要满足的公理多而多对称性,容易拿到 一些很具体而有意思的结果从而可窥探其他领域或推广到其他领域
这是一个大家辈出的领域,包括Turing。 Post,Shannon等等。
#20 Re: 素数和加法有关系吗?
发表于 : 2024年 2月 2日 20:56
由 TheMatrix
FGH 写了: 2024年 2月 2日 19:37
有没有三级运算系统:a+b, a*b, a^b.
+和*有分配率,*和^也有分配率,而且^还至少有结合律。
我也想过这个问题。
最自然出现的是幂次,就是你这里a^b的符号。^对*有分配律。但是^好像没有结合律。
结合前面的讨论的话,Z
+ --> {P --> Z
0,是一个injection。自然数的乘法,映射到素因子表达上,变成了加法。而素因子表达,看作素数上的函数的话,有自然的函数乘法。而且满足分配律和结合律。
不过我不确定三级代数系统有没有意义。应该说有没有有意义的应用。