新未名空间

自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了：不能写成另外两个数相乘。

代数中，素元素或者素理想的定义都是在ring中，也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。

素数的定义中用到了1，或者unit，所以乘法有1是必须的。

有1的二元运算，只有乘法没有加法，或者说只有一个二元运算的，叫monoid。

在monoid上可以定义素元素吗？有意义吗？

TheMatrix 写了： 2024年 2月 1日 13:42 自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了：不能写成另外两个数相乘。

代数中，素元素或者素理想的定义都是在ring中，也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。

素数的定义中用到了1，或者unit，所以乘法有1是必须的。

有1的二元运算，只有乘法没有加法，或者说只有一个二元运算的，叫monoid。

在monoid上可以定义素元素吗？有意义吗？

在理论上monoid上可以定义素元素。

有一定的意义，比如用复合函数作为乘法运算的多项式（没有加法运算，简单的多项式加法和这个复合运算的那个乘法不自洽）就是 monoid，这样定义的素元素的多项式不能用其他的其他的多项式迭代出来的，这样可以考虑因式分解，有可能在计算机上有一定的用处。

但好像数学上有意义的经典的定义问题还是要考虑加法的，比如 Goldbach's conjecture。

newkids_on_the_block 写了： 2024年 2月 1日 14:11 在理论上monoid上可以定义素元素。

有一定的意义，比如用复合函数作为乘法运算的多项式（没有加法运算，简单的多项式加法和这个复合运算的那个乘法不自洽）就是 monoid，这样定义的素元素的多项式不能用其他的其他的多项式迭代出来的，这样可以考虑因式分解，有可能在计算机上有一定的用处。

但好像数学上有意义的经典的定义问题还是要考虑加法的，比如 Goldbach's conjecture。

嗯。确实。一个多项式能不能由简单点的多项式复合出来，也是有意义的。

素数是用来乘的，不是用来加的！哈哈

哥德巴赫猜想是否成立，貌似对数学没有任何影响。

FoxMe 写了： 2024年 2月 1日 15:45 素数是用来乘的，不是用来加的！哈哈

哥德巴赫猜想是否成立，貌似对数学没有任何影响。

结果有没有意义不知道。但是证明过程一定是有意义的。

TheMatrix 写了： 2024年 2月 1日 13:42 自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了：不能写成另外两个数相乘。

代数中，素元素或者素理想的定义都是在ring中，也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。

素数的定义中用到了1，或者unit，所以乘法有1是必须的。

有1的二元运算，只有乘法没有加法，或者说只有一个二元运算的，叫monoid。

在monoid上可以定义素元素吗？有意义吗？

集合上只定义一个运算，就无所谓加法乘法（就是运算！名称只是外在的），有两个运算，有分配律，才有区分加法乘法的必要，进一步定义与自然数集的群，环，域的同构或同态。

只有一个运算可以定义生成元，是不是可以定义为素元素？

forecasting 写了： 2024年 2月 1日 21:32
只有一个运算可以定义生成元，是不是可以定义为素元素？

我觉得对。素数，可以说是乘法的生成元。

只有monoid还不能是group才能谈论素元素，因为group里面都是可逆元素，也可以说都是unit，就不能是素元素了。

而如果考虑abelian monoid的话，可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。

到目前为止，还没有用到加法。

只有一个运算的集合无所谓加法乘法
这种情况下要用生成元的性质来定义/区分加法乘法
整数加法半群的生成元只需要1
乘法半群的生成元无穷多个
对应的是划分等价类或者不可约表示有类似区别

TheMatrix 写了： 2024年 2月 1日 22:11 我觉得对。素数，可以说是乘法的生成元。

只有monoid还不能是group才能谈论素元素，因为group里面都是可逆元素，也可以说都是unit，就不能是素元素了。

而如果考虑abelian monoid的话，可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。

到目前为止，还没有用到加法。

pinfish 写了： 2024年 2月 1日 22:30 只有一个运算的集合无所谓加法乘法
这种情况下要用生成元的性质来定义/区分加法乘法
整数加法半群的生成元只需要1
乘法半群的生成元无穷多个
对应的是划分等价类或者不可约表示有类似区别

你说的对。我也是这个意思。我主要讨论的是乘法，和素数。

从I want to be mathematician截取，生成元，理想，推理，一致性，完备性，语义，存在量词，不完备定理，皮亚诺一阶算术非单，多演代数与数理逻辑的代数化：






第一图是推理对应代数中的什么（理想与生成元，即公理集合和生成元生成的更大的理想），第二图是存在量词对应代数中的什么（算子与不等式）以及所谓语义是什么（表示！数学结构的同态 ），第三图是哥德尔不完备定理对应代数什么（数论是非单的，也就是皮亚诺一阶算术不是单代数）以及多演代数。

不同素数之间，需要加法。

搞不好对高级生命来看，素数根本不是什么谜。各种关于素数的猜想统统都是小学数学。LOL

TheMatrix 写了： 2024年 2月 1日 22:11 只有monoid还不能是group才能谈论素元素，因为group里面都是可逆元素，也可以说都是unit，就不能是素元素了。

而如果考虑abelian monoid的话，可以看成是Z-module。那么素元素正是生成元。

到目前为止，还没有用到加法。

从生成元的角度看乘法和素数，还是不错的。

monoid和group的区别并不大。abelian monoid和Z-module的区别也不大。

从这个角度看，有一个injection: Z₊ --> M={P --> Z₀}。
其中
Z₊是自然数：{1,2,3,...}，
Z₀是非负整数：{0,1,2,3,...}，
P是素数集合：{2,3,5,7,11,...}，
M是P到Z₀的函数集合。

这就是算数基本定理。每一个正整数都能唯一分解为素数幂次的乘积。
如果再定义M₀为只有有限个素数的函数的话，那么Z₊=M₀.

M差不多是一个Z-module。它上面有自然的加法和乘法。加法对应Z₊上的乘法。乘法对应Z₊上的。。。一些东西。

整数乘法不就是加法么？

YouHi 写了： 2024年 2月 2日 10:59 搞不好对高级生命来看，素数根本不是什么谜。各种关于素数的猜想统统都是小学数学。LOL

素数比代数高一维。相当于集合和幂集的关系。

对素数了如指掌的高级生命，对人类是降维打击。

Sususu 写了： 2024年 2月 2日 12:07 整数乘法不就是加法么？

你的意思是5*3 = 5+5+5吧？那倒是对的。

有没有三级运算系统：a+b, a*b, a^b.
+和*有分配率，*和^也有分配率，而且^还至少有结合律。

FoxMe 写了： 2024年 2月 1日 15:45 素数是用来乘的，不是用来加的！哈哈

哥德巴赫猜想是否成立，貌似对数学没有任何影响。

乘法是加法演化而来的

所有数学都是 0 1 2 3演化出来的

TheMatrix 写了： 2024年 2月 1日 13:42 自然数中素数的定义好像不需要加法。乘法就够了：不能写成另外两个数相乘。

代数中，素元素或者素理想的定义都是在ring中，也就是有加法。但是加法好像并没有深度参与定义。

素数的定义中用到了1，或者unit，所以乘法有1是必须的。

有1的二元运算，只有乘法没有加法，或者说只有一个二元运算的，叫monoid。

在monoid上可以定义素元素吗？有意义吗？

Monoid， 我一个老师翻译成独异点，我觉得翻译得很别扭，但实在也不愿意跟他讨论术语翻译问题，觉得没啥意思。所谓名无固谊

生成元在群环域固然不可或缺，生成元及其集合在泛代数（半群等等，就是不满足群公理的一些代数结构）是一定要用到的。例如formal language理论里的符号集合及其连接运算，加上生成规则，就构成了一套formal language的系统。由此引出Chomsky Hiearchy，Post System， Thue System，进而跟自动机理论包括Turing machine和Post machine关联或者对应起来。
关于半群的研究也属于泛代数，牵涉几个领域。
Model Theory里用到的Model，几乎离不开泛代数。

觉得它们之所以少为人知，大概是因为群，环，域更容易一些，因为公里多而多显示对称性容易得出结果。比如复分析或者复变函数，就因为其数学结构要满足的公理多而多对称性，容易拿到 一些很具体而有意思的结果从而可窥探其他领域或推广到其他领域

这是一个大家辈出的领域，包括Turing。 Post，Shannon等等。

FGH 写了： 2024年 2月 2日 19:37 有没有三级运算系统：a+b, a*b, a^b.
+和*有分配率，*和^也有分配率，而且^还至少有结合律。

我也想过这个问题。

最自然出现的是幂次，就是你这里a^b的符号。^对*有分配律。但是^好像没有结合律。

结合前面的讨论的话，Z₊ --> {P --> Z₀，是一个injection。自然数的乘法，映射到素因子表达上，变成了加法。而素因子表达，看作素数上的函数的话，有自然的函数乘法。而且满足分配律和结合律。

不过我不确定三级代数系统有没有意义。应该说有没有有意义的应用。