考虑一个函数集合M,其中的元素是函数 P --> Z,素数到整数的函数。
自然数集合可以embed到M中。比如一个自然数28,等于22*7。根据素因子唯一分解定理,得到一个函数f,f(2)=2,f(7)=1,f(p)=0 for other primes.
正有理数集合可以embed到M中。比如28/27,映射到一个函数g,g(2)=2,g(7)=1,g(3)=-3,g(p)=0 for other primes.
问题:正实数集合能embed到M中吗?
出个题
版主: verdelite, Tlexander
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#2 Re: 出个题
这个embedding的问题,就是比较两个集合的cardinality(势)。实数集合的势小于或等于(其实是等于)上面的函数集合M的势,所以正实数集合能够embed到M中。
至于具体怎么构建这个embedding,可以把M考虑为所有自然集合数到自然数集合的函数,把实数集考虑为开区间(0, 1)。如果这个开区间里的一个数的小数形式是0.a1a2a3...,那么相对应的函数就是f(i) = ai。
至于具体怎么构建这个embedding,可以把M考虑为所有自然集合数到自然数集合的函数,把实数集考虑为开区间(0, 1)。如果这个开区间里的一个数的小数形式是0.a1a2a3...,那么相对应的函数就是f(i) = ai。
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#3 Re: 出个题
我是希望有一点“合理性”的。我的两个例子都有一定的“合理性” - 正整数和正有理数的embedding,都是乘法到加法的homomorphism。我想看看这个过程能够扩大到多大。正实数也许不行,因为正实数已经有代数和拓扑的限制,也许p-adic?