新未名空间

TheMatrix 写了： 2024年 2月 16日 19:19 举几个二元函数的例子 f:Z×Z --> Z，使得可以定义出具有结合律的二元运算 x#y = f(x,y)，也就是(x#y)#z=x#(y#z)。

以下两个是显然的：
f(x,y)=x+y
f(x,y)=x*y

举几个其他的例子。

YWY 写了： 2024年 2月 17日 00:31 f(x,y) = nx+ny, where n is an integer.
f(x,y) = xⁿyⁿ, where n is a non-negative integer.

TheMatrix 写了： 2024年 2月 17日 08:38 还能找到其他的吗？也许没有其他的了。结合律是一个很强的限制。

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 09:24 这俩个都不行吧？
n(nx+ny)+nz != nx+n(ny+nz) when n != 1

AND, OR， bitwise AND, bitwise OR 可以

TheMatrix 写了： 2024年 2月 17日 09:48 确实。nx+ny, xⁿyⁿ都不行。

bitwise AND OR可以。

整数怎么AND OR? 0=false, otherwise true?

TheMatrix 写了： 2024年 2月 16日 19:19 举几个二元函数的例子 f:Z×Z --> Z，使得可以定义出具有结合律的二元运算 x#y = f(x,y)，也就是(x#y)#z=x#(y#z)。

以下两个是显然的：
f(x,y)=x+y
f(x,y)=x*y

举几个其他的例子。

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 09:24 这俩个都不行吧？
n(nx+ny)+nz != nx+n(ny+nz) when n != 1

AND, OR， bitwise AND, bitwise OR 可以

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 10:19 最简单的就是0=false, otherwise true吧， 或者复杂一点 AND(isPrime(x), isPrime(y))

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 10:23 只考虑结合律的话：
f(x,y)=x
f(x,y)=y
都可以，但不满足交换律。
有没有更复杂的呢？

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 10:23 只考虑结合律的话：
f(x,y)=x
f(x,y)=y
都可以，但不满足交换律。
有没有更复杂的呢？

YWY 写了： 2024年 2月 17日 10:32 还有就是
f(x,y) = min{x,y}
f(x,y) = max{x,y}
f(x,y) = gcd(x,y), where we agree gcd(0,0) = 0
这几个都满足交换律，但不是多项式。

YWY 写了： 2024年 2月 17日 10:27 哈哈，我一觉醒来，冲澡时也发现了自己的错误，刚想上来纠正，却早已经被班上大牛们的火眼金睛发现了。

我冲澡时还发现了另一个（trivial的）结合律例子，就是f(x,y) = n where n is a constant。

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 10:41 哈哈， 大牛一时失察， 我等只是稍微起得早了点。

randomatrices 写了： 2024年 2月 17日 10:23 只考虑结合律的话：
f(x,y)=x
f(x,y)=y
都可以，但不满足交换律。
有没有更复杂的呢？

FoxMe 写了： 2024年 2月 17日 10:45 wikipedia上给了一些例子。要提醒的是，乘法不一定满足结合律，比如octonion：

https://en.wikipedia.org/wiki/Associati ... _operation

TheMatrix 写了： 2024年 2月 18日 12:26 再出一个题：构造一个3个元素的monoid，而且非group。

YWY 写了： 2024年 2月 18日 14:52 Let A = {1, 2, ..., n} and let x # y = max{x, y} for x, y in A. Then A is a monoid (with n elements), but A is not a group for n > 1.