将代数几何应用于数论

[forecasting]

于是就有了算术几何或者算术代数几何。都有哪些大结果呢？不完全的列表：
Mordell-Weil定理， https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
请继续罗列

[TheMatrix]

于是就有了算术几何或者算术代数几何。都有哪些大结果呢？不完全的列表：
Mordell-Weil定理， https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
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为什么叫算术几何呢？好像也没算什么，都是证明。

[forecasting]

为什么叫算术几何呢？好像也没算什么，都是证明。

算术就是数论的意思，高斯那本书好像就叫作算术研究。几何其实指代数几何，就是代数几何思想和技术应用于数论。算术几何就是研究Diophantine equations的整数解，因为马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和MRDP定理（即尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich），朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson），马丁·戴维斯（Martin Davis）和希拉里·普特南（Hilary Putnam））否定了希尔伯特第十问题。分类丢番图方程并研究其整数解，就自然成了代数几何和数论交叉的地带。

证明就是计算，计算就是证明。我说了好几次Curry-Howard定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%E2% ... espondence 。大家可能都觉得是闲聊，就随意浏览一下。

Post，Godel，Herbrand，Turing，Church，Curry and Howard，Chomsky，Markov等人的工作有一个等价关系的证明：Post system = Computable function=Turing Machine=algorithm（program）=proof= c.e.language= Markov algorithm. 等号是表示在计算的意义上等价。普林斯顿高等研究院那个univalent项目部分地也是基于这个思想 https://www.math.princeton.edu/events/u ... -28t163003 。

转：《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1798年写成的一本数论教材，在1801年他24岁时首次出版

[FoxMe]

我早说过，以为《九章算术》不是数学的人，都是不懂数学的。从这个意义上说，中国是世界上最早研究数论的。高斯写《算术探索》的时候，只有二十岁左右。他的那些结果哪儿来的？

丢番图方程就是多项式方程（组），研究丢番图方程的（整数）解，是数论的基本问题之一，自然联系上代数几何。现在不会代数几何，研究数论很受局限，像张益唐那样的人不多了。

椭圆曲线和abelian variety，都是算术几何里的常见问题。Langlands program是目前算术几何的核心问题。

[TheMatrix]

算术就是数论的意思，高斯那本书好像就叫作算术研究。

算术就是数论。嗯，这个解释可以接受。这是一个用词的问题。

[forecasting]

我早说过，以为《九章算术》不是数学的人，都是不懂数学的。从这个意义上说，中国是世界上最早研究数论的。高斯写《算术探索》的时候，只有二十岁左右。他的那些结果哪儿来的？

丢番图方程就是多项式方程（组），研究丢番图方程的（整数）解，是数论的基本问题之一，自然联系上代数几何。现在不会代数几何，研究数论很受局限，像张益唐那样的人不多了。

椭圆曲线和abelian variety，都是算术几何里的常见问题。Langlands program是目前算术几何的核心问题。

张益唐懂代数几何，莫宗坚就是做代数几何的，不过是从代数入手而已。张懂不懂算术代数几何，不清楚。做算术代数几何的先有李克正，后有张寿武。综合代数几何和分析数论或者代数数论解决数论问题，也常见。

[FoxMe]

对，莫宗坚这厮是个害人精。

[forecasting]

对，莫宗坚这厮是个害人精。

老师过强、不宽容而学生弱，或者老师弱、不大度而学生强，都容易弄得关系紧张，不奇怪。

[forecasting]

于是就有了算术几何或者算术代数几何。都有哪些大结果呢？不完全的列表：
Mordell-Weil定理， https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理，https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
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一种ζ函数的幂级数各系数恰是椭圆曲线模P（奇素数）有理解的亏量。由Ribet定理导出费马大定理成立。ζ函数是自守形式或模形式，就是说，模形式和椭圆曲线模P（奇素数）有理解的亏量相关联，也就是跟费马大定理相关联。这么神奇而漂亮！

[FGH]

数论本来就是代数几何的主旨吧？

[forecasting]

数论本来就是代数几何的主旨吧？

何以见得？