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版主: verdelite, Tlexander
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考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f,满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗?
如果不是,下确界是多少,能否实现。
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FGH 写了: ↑3月 3, 2024, 4:29 pm
考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f,满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗?
如果不是,下确界是多少,能否实现。
我最小只能找到1/2,也就是f(x)=x。
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TheMatrix 写了: ↑3月 3, 2024, 7:54 pm
我最小只能找到1/2,也就是f(x)=x。
有更小的:
取点(a,b)=(0.2,0.3)。连接(0,0)到(a,b),以及(a,b)到(0,1),作为f(x)的曲线。这个积分为0.465625。小于1/2。
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TheMatrix 写了: ↑3月 3, 2024, 8:43 pm
有更小的:
取点(a,b)=(0.2,0.3)。连接(0,0)到(a,b),以及(a,b)到(0,1),作为f(x)的曲线。这个积分为0.465625。小于1/2。
(a,b)=(0.2,0.33)更小,=0.463。
这个问题有分教。
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FGH 写了: ↑3月 3, 2024, 4:29 pm
考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f,满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗?
如果不是,下确界是多少,能否实现。
这个问题定性分析的话,我觉得可以得出这么两条:
1,f(x)为单增函数。因为如果不单增的话,总可以取下降的部分,以平线替代下降的部分。。。
2,f(x)为凸函数(f''<0)。因为以折线逼近曲线的话,把折线按斜率从大到小排列,从左到右安排起来,应该也能连接(0,0)到(1,1)点,而其积分应该更小。这已经是一个凸函数了。
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TheMatrix 写了: ↑3月 3, 2024, 8:48 pm
(a,b)=(0.2,0.33)更小,=0.463。
这个问题有分教。
接下来,两端固定,中间取一点以直线连接的话,应该能得出中间一点的取法。
当然这个取法应该和两个端点的位置有关。(0.2,0.33)的比例适用于端点为(0,0)和(1,1)。
能不能弄出一个微分方程来,如果能的话,问题可以说解决了。
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由 pinfish »
写个变分方程呗
似乎极值解是sqrt{x*c}
TheMatrix 写了: ↑3月 3, 2024, 9:41 pm
接下来,两端固定,中间取一点以直线连接的话,应该能得出中间一点的取法。
当然这个取法应该和两个端点的位置有关。(0.2,0.33)的比例适用于端点为(0,0)和(1,1)。
能不能弄出一个微分方程来,如果能的话,问题可以说解决了。
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pinfish 写了: ↑3月 3, 2024, 10:11 pm
写个变分方程呗
似乎极值解是sqrt{x*c}
嗯。f(x)=√x is much better.
怎么写变分方程?变分法我没学过。
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由 pinfish »
\delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0
TheMatrix 写了: ↑3月 3, 2024, 10:16 pm
嗯。f(x)=√x is much better.
怎么写变分方程?变分法我没学过。
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pinfish 写了: ↑3月 3, 2024, 10:42 pm
\delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0
谢谢。
变分看起来跟全微分差不多。我再想想它为什么可以。
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对不起,答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微,但可以微调。
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FGH 写了: ↑3月 4, 2024, 10:12 pm
对不起,答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微,但可以微调。
确实。
调参数c的方法没有极值,所以变分δ的方法可能用不了。
那用δ方法得到的c=1/2是什么值呢?
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FGH 写了: ↑3月 4, 2024, 10:12 pm
对不起,答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微,但可以微调。
我曾试过用折线(0,0)到(c,1),然后(c,1)到(1,1)。这和f(x)=x
c感觉差不多。但是折线的积分值是1/2,和c无关。
看来折线和弯曲的x
c还是不一样啊。
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这个方法的出处?感觉和维基百科上的不一样。
https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_ ... e_equation
我算了一下得到2f'(x) + x f''(x) = 0。哪儿不对?
pinfish 写了: ↑3月 3, 2024, 10:42 pm
\delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0
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由 Amorphous »
我算了一下是这样的
L(x, f, f') = x f'^2
pL/pf = 0
p L/ pf' = 2 x f'
Euler-Lagrange eom:
pL/pf - (d/dx) (p L/ pf' ) = - 2 ( f' + x f'') =0
正准备收杆,咬钩的大鱼忽然开口说话了:“脱钩!脱钩!”
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你的推导是对的。( f' + x f'') =0的解是什么?
Amorphous 写了: ↑3月 6, 2024, 7:18 pm
我算了一下是这样的
L(x, f, f') = x f'^2
pL/pf = 0
p L/ pf' = 2 x f'
Euler-Lagrange eom:
pL/pf - (d/dx) (p L/ pf' ) = - 2 ( f' + x f'') =0
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FoxMe 写了: ↑3月 7, 2024, 3:58 pm
你的推导是对的。( f' + x f'') =0的解是什么?
f = a + b log x
楼主那个解貌似可能也可以
正准备收杆,咬钩的大鱼忽然开口说话了:“脱钩!脱钩!”
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Amorphous 写了: ↑3月 8, 2024, 3:05 pm
f = a + b log x
楼主那个解貌似可能也可以
这个解好像不能做到f(0)=0, f(1)=1吧?
而f(x)=x
c可以做到。
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TheMatrix 写了: ↑3月 8, 2024, 3:16 pm
这个解好像不能做到f(0)=0, f(1)=1吧?
而f(x)=x
c可以做到。
楼主的解要求c->0 的极限, 比较sick. 大概是这样
b -> 0+: a + b log x = a + log x^b ~ a - 1 + x^b
正准备收杆,咬钩的大鱼忽然开口说话了:“脱钩!脱钩!”