椭圆曲线的Conductor
版主: verdelite, Tlexander
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#1 椭圆曲线的Conductor
这个概念我一直没搞明白。有没有人能介绍一下?
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#2 Re: 椭圆曲线的Conductor
同问。数域也有conductor。
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#3 Re: 椭圆曲线的Conductor
去搜搜吧,没想到简单例子。大约是椭圆曲线约化,如果是坏约化,则以约化曲线所在的素数p的奇点阶次幂(乘性奇点为1,即结点的次幂为1,而加性奇点次幂为2,即尖点的次幂为2)相乘得一值,此值为不变量,即所谓conductor
简单而抽象地说,就是把产生奇点的约化的素数模p依照奇点性质是结点(1)还是尖点(2)乘起来得到的值(也可以乘上好约化的p^0),如此就把所有约化奇点信息收集到一起了(编码到一个数值里面)
简单而抽象地说,就是把产生奇点的约化的素数模p依照奇点性质是结点(1)还是尖点(2)乘起来得到的值(也可以乘上好约化的p^0),如此就把所有约化奇点信息收集到一起了(编码到一个数值里面)
上次由 forecasting 在 3月 15, 2024, 7:13 pm,总共编辑 2 次。
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#4 Re: 椭圆曲线的Conductor
看了看,不好理解。
数域Q(zeta_n)的conductor=n.
数域Q(zeta_n)的conductor=n.
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#5 Re: 椭圆曲线的Conductor
嗯。和reduction有关。forecasting 写了: ↑3月 13, 2024, 7:39 am 去搜搜吧,没想到简单例子。大约是椭圆曲线约化,如果是坏约化,则以约化曲线所在的素数p的奇点阶次幂相乘得一值,此值为不变量,即所谓conductor
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#8 Re: 椭圆曲线的Conductor
Discriminant Δ还是好理解的。
我是从分析的角度理解的:一个曲线和自己相交,或者在某一点其切线不唯一,这个条件是可以找出来的,是方程系数的一个关系。这就是Discriminant Δ。这是分析的角度。
代数的角度的话,我觉得就是把分析得来的关系直接用作定义。这就可以扩展到有理数系数上去了。
然后reduction at a prime。
比如Δ=875=53*7。那么,reduction at p=5的话,相当于Δ=0,因为modulo 5的时候,Δ就是等于0。这可以接受。
但是怎么就bad reduction了呢?
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#9 Re: 椭圆曲线的Conductor
这是哪本书?TheMatrix 写了: ↑3月 15, 2024, 3:52 pm Discriminant Δ还是好理解的。
我是从分析的角度理解的:一个曲线和自己相交,或者在某一点其切线不唯一,这个条件是可以找出来的,是方程系数的一个关系。这就是Discriminant Δ。这是分析的角度。
代数的角度的话,我觉得就是把分析得来的关系直接用作定义。这就可以扩展到有理数系数上去了。
然后reduction at a prime。
比如Δ=875=53*7。那么,reduction at p=5的话,相当于Δ=0,因为modulo 5的时候,Δ就是等于0。这可以接受。
但是怎么就bad reduction了呢?
就是约化产生奇点的就是坏约化,或者wild reduction。顺便说一句,我要修改一下我第一个post了,含糊容易误解
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#10 Re: 椭圆曲线的Conductor
是Silverman的GTM那本书。forecasting 写了: ↑3月 15, 2024, 7:03 pm 这是哪本书?
就是约化产生奇点的就是坏约化,或者wild reduction。顺便说一句,我要修改一下我第一个post了,含糊容易误解
我主要是对singular point的代数定义没有理解。
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#12 Re: 椭圆曲线的Conductor
E/Q的singular point怎么定义的?
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#17 Re: 椭圆曲线的Conductor
咋一看,都无比复杂困难,其实都是一些很直观的东西冠上了吓人的名字,主要是定义抽象,不说来龙去脉。
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#18 Re: 椭圆曲线的Conductor
从定义来看,椭圆曲线的singular point就是满足:
f(x,y)=y2-(x3+ax+b)=0
∂f/∂x=∂f/∂y=0
的点。
所以mod 7的8个解中,(4,0)点为singular point。
不过我看不到它的几何/分析意义。
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#19 Re: 椭圆曲线的Conductor
哦。我说的E/Q就是指椭圆曲线,over Q的。forecasting 写了: ↑3月 16, 2024, 5:47 am 素理想在扩张的域中的分歧指数?素理想对应到黎曼面的素点,进而对应到分歧点?由分歧点引出奇点?
我也是才想到应该是这样定义的。
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#20 Re: 椭圆曲线的Conductor
又理解了一点:
以 y2=x3+ax+b 的形式来看椭圆曲线的话,singular point如果存在,必然在x轴上,也就是y=0。而且是曲线两次通过x轴的点,也就是x3+ax+b的double root。也就是方程能写成 y2=(x-x0)2(x+x1)的形式。那么(x0,0)就是椭圆曲线的singular point。只能有一个singular point,而且x0必然是实数。x1也必然是实数,而且还要非负。
平移到使x0=0的地方,方程变为y2=x2(x+x1)。可以求出singular point处两条切线的斜率为 ±√x1。如果x1不等于0,那么两条切线不同,这样的singular point叫node。如果x1等于0,那么两条切线重合,这样的singular point叫cusp。
这些条件从纯代数的角度看,也都是可以说得通的。这里只涉及到多项式因式分解,以及formal derivative。所以在有理数域,甚至有限数域的情况下,这些条件都可以说。这应该就成了good/bad reduction,以及bad reduction的node和cusp分类的定义。
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#22 Re: 椭圆曲线的Conductor
椭圆曲线的奇点不依赖于坐标选择。引入特定坐标也只因为理解方便,还得小心带进去一些容易误解的东西。TheMatrix 写了: ↑3月 17, 2024, 5:33 pm 又理解了一点:
以 y2=x3+ax+b 的形式来看椭圆曲线的话,singular point如果存在,必然在x轴上,也就是y=0。而且是曲线两次通过x轴的点,也就是x3+ax+b的double root。也就是方程能写成 y2=(x-x0)2(x+x1)的形式。那么(x0,0)就是椭圆曲线的singular point。只能有一个singular point,而且x0必然是实数。x1也必然是实数,而且还要非负。
平移到使x0=0的地方,方程变为y2=x2(x+x1)。可以求出singular point处两条切线的斜率为 ±√x1。如果x1不等于0,那么两条切线不同,这样的singular point叫node。如果x1等于0,那么两条切线重合,这样的singular point叫cusp。
这些条件从纯代数的角度看,也都是可以说得通的。这里只涉及到多项式因式分解,以及formal derivative。所以在有理数域,甚至有限数域的情况下,这些条件都可以说。这应该就成了good/bad reduction,以及bad reduction的node和cusp分类的定义。