椭圆曲线的Conductor

[FoxMe]

很形象，奇异点的定义应该就是这么来的。

奇异点对应于重根，ramified。数域上ramified prime也能整除discriminant。

y²=x³-3x+2
变为
x³-3x+2-y²=0

看曲面 z=f(x,y)=x³-3x+2-y² 的形状：

z=0就是图中黄蓝交接的曲线。它有一个singular point，在红色圆圈的中心。这个奇点在曲面上是一个马鞍点。



从斜上方看：

[TheMatrix]

椭圆曲线的奇点不依赖于坐标选择。引入特定坐标也只因为理解方便，还得小心带进去一些容易误解的东西。

椭圆曲线的奇点是怎么定义的？我只找到具体的定义，没有找到抽象general的定义。

[TheMatrix]

很形象，奇异点的定义应该就是这么来的。

奇异点对应于重根，ramified。数域上ramified prime也能整除discriminant。

嗯。数域的discriminant我不太了解。

[TheMatrix]

所以conductor是对bad reduction prime的encoding：记录了bad reduction的prime，还记录了bad reduction的形态。

和以polynomial来encode一组数，比如(1,7,2,9) --> 1+7x+2x²+9x³的想法是差不多的。

[forecasting]

椭圆曲线的奇点是怎么定义的？我只找到具体的定义，没有找到抽象general的定义。

非光滑点啊，如尖点，结点等等，光滑点一般就是有限阶可微。

[TheMatrix]

非光滑点啊，如尖点，结点等等，光滑点一般就是有限阶可微。

哦。那你说的还是分析的定义啊。

我说的是代数的定义。比如y²=x³-3x+2 (mod 7) 在(4,0)点是singular point，这是怎么定义的？