新未名空间

两个信封里面各放着一些钱。只知道一个是另一个的两倍。
你任选一个，里面的钱归你。你打开一个信封，发现里面是10元钱。
主持说你可以选择是否换成另一个信封。
你是否应该换？如果换信封，获益期望是多少？

我知道答案，但是很疑惑。感觉是个悖论，但是到底悖论出在哪儿？

换信封 没有好处， 也没有坏处。

常见的错误是假定 另一个信封有20块或者有5块的概率都是50%。这个50%的概率是不对的

我也来出一个题：第一个信封装有10块钱，以后每一个信封都有50%的概率在前一个信封的基础上加倍或者减半，请计算第n个信封里钱的数学期望！

nk 写了： 2024年 5月 13日 19:06 换信封 没有好处， 也没有坏处。

常见的错误是假定 另一个信封有20块或者有5块的概率都是50%。这个50%的概率是不对的

为什么不对？

Caravel 写了： 2024年 5月 13日 21:06 为什么不对？

因为当你选定了一个信封之后，另一个信封的钱要么是100%的20块，要么是100%的5块，而不是50%的20块和5块。

随机的来源于开始的主持人挑选的两个信封和你从里面选的其中的一个信封。

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正确的想法是这样的

主持的两个信封的钱要么是x， 要么是2x.

随机的来源是你取的第一个信封，那个信封的钱是x 或者 2x 的概率是50%， 因此你不换信封的收益是 x/2/2+2x/2=1.25x

如果你换了信封，换之后的钱是x 或者 2x 的概率也是50%，因此你换信封的收益是 x/2/2+2x/2=1.25x， 和不换之前没有变化。

注意这个答案和x无关，也就是说主持人开始无论如何随机抽取x，换信封之后的收益都不会变好，也不会变坏。

nk 写了： 2024年 5月 13日 19:06 换信封 没有好处， 也没有坏处。

常见的错误是假定 另一个信封有20块或者有5块的概率都是50%。这个50%的概率是不对的

同意你第一段，不同意第二段

YL7983 写了： 2024年 5月 13日 19:34 我也来出一个题：第一个信封装有10块钱，以后每一个信封都有50%的概率在前一个信封的基础上加倍或者减半，请计算第n个信封里钱的数学期望！

这个题的随机性和1楼的不一样的，用 Binomial distribution, 可以很快地得到答案是 10*1.25^{n-1}

CanGuanGong 写了： 2024年 5月 14日 12:08 同意你第一段，不同意第二段

请指出第二段你不同意的地方，

或者你也来给出一个正确（或者合理）的解释，

nk 写了： 2024年 5月 14日 12:14 请指出第二段你不同意的地方，

或者你也来给出一个正确（或者合理）的解释，

按照你逻辑，扔一个公平硬币，正面反面概率也不是各50%，而是要么100%正面，要么100%反面。

扩展并跑题一下，扔一个不公平硬币，，正面反面概率不详，结论也是要么100%正面，要么100%反面

应该是 10*E{2^Y*0.5^(n-Y)}。Y是binomial(n, 0.5).

log[ E{2^Y*0.5^(n-Y)} ] >= E[ log{2^Y*0.5^(n-Y)} ]
= E{ Ylog2 - (n-Y)log2 } = 0

So, 10*E{2^Y*0.5^(n-Y)} > 10

nk 写了： 2024年 5月 14日 12:11 这个题的随机性和1楼的不一样的，用 Binomial distribution, 可以很快地得到答案是 10*1.25^{n-1}

nk 写了： 2024年 5月 14日 12:04 因为当你选定了一个信封之后，另一个信封的钱要么是100%的20块，要么是100%的5块，而不是50%的20块和5块。

随机的来源于开始的主持人挑选的两个信封和你从里面选的其中的一个信封。

-----------------------
正确的想法是这样的

主持的两个信封的钱要么是x， 要么是2x.

随机的来源是你取的第一个信封，那个信封的钱是x 或者 2x 的概率是50%， 因此你不换信封的收益是 x/2+2x/2=1.5x

如果你换了信封，换之后的钱是x 或者 2x 的概率也是50%，因此你换信封的收益是 x/2+2x/2=1.5x， 和不换之前没有变化。

注意这个答案和x无关，也就是说主持人开始无论如何随机抽取x，换信封之后的收益都不会变好，也不会变坏。

这个解释合理。

我希望尝试另外一种解释，就是如果认为x=10是随机，那么x/2和2x的概率密度其实不一样，最后可以balance到一样，这样行不行？

dalaofu 写了： 2024年 5月 14日 12:39 应该是 10*E{2^Y*0.5^(n-Y)}。Y是binomial(n, 0.5).

log[ E{2^Y*0.5^(n-Y)} ] >= E[ log{2^Y*0.5^(n-Y)} ]
= E{ Ylog2 - (n-Y)log2 } = 0

So, 10*E{2^Y*0.5^(n-Y)} > 10

我已經说了这个题和1楼的随机性不一样的， 你用 Jensen inequality 说明了比10大，而我的那个公式 10*1.25^{n-1} 自然也说明了比10大，因为1.25 比1大。

没有啥悖论。

与这个题相关的样本空间是：{5,10}, {10,20}。在没有其他信息的条件下，可以认为这个两个的可能性是0.5，0.5
你随机抽取一个信封的期待值是 0.25*(5+10+10+20) = 11.25块钱。

现在你打开一个信封看见10块钱。另外一个信封里的钱是5或者20，概率是一半一半。期待值是12.5块。该换另外一个信封。

总体来说，期待值还是 0.5*(10 + 12.5) = 11.25块钱。

FoxMe 写了： 2024年 5月 13日 16:24 我知道答案，但是很疑惑。感觉是个悖论，但是到底悖论出在哪儿？

CanGuanGong 写了： 2024年 5月 14日 12:26 按照你逻辑，扔一个公平硬币，正面反面概率也不是各50%，而是要么100%正面，要么100%反面。

扩展并跑题一下，扔一个不公平硬币，，正面反面概率不详，结论也是要么100%正面，要么100%反面

没有重复试验，无从讨论随机。

随机要从重复试验来讨论，也许我的第一句要修改一下，以后有时间再来仔细讨论，我的第一句的严格的讨论，需要用条件概率

不是三个么？两个还选什么？如果是三个的话，这个问题至少已经讨论两轮了。

FGH 写了： 2024年 5月 11日 22:18 两个信封里面各放着一些钱。只知道一个是另一个的两倍。
你任选一个，里面的钱归你。你打开一个信封，发现里面是10元钱。
主持说你可以选择是否换成另一个信封。
你是否应该换？如果换信封，获益期望是多少？

gousheng 写了： 2024年 5月 14日 13:13 不是三个么？两个还选什么？如果是三个的话，这个问题至少已经讨论两轮了。

这其实就是三门的简化版了。

这是期望不存在的场景。不能定义所有可能钱数的概率分布。

主观概率有时候和频率概率的概念重合，有时候就不存在。

因为已经框定 了，你50%选的是钱多的信封，50%选的是钱少的信封
不会再给你一次投硬币的机会，正面double，反面half。如果可以投硬币，那就投。

FoxMe 写了： 2024年 5月 13日 16:24 我知道答案，但是很疑惑。感觉是个悖论，但是到底悖论出在哪儿？

FGH 写了： 2024年 5月 14日 13:37 这其实就是三门的简化版了。

这个题和三门Monty Hall problem不一样，这个信封题里打不打开信封，主持人都没有去参与从而改变概率，或者提供有用信息

而在Monty Hall problem里，由于主持人根据你的选择去显示了一个不是答案的门，这个参与（把门打开）改变了概率的情况，或者说提供了有用的信息。