Galois group representation

[TheMatrix]

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ChatGPT的介绍还是比较平易近人的。

不过看起来好像这方面还没有什么重大的结果，和应用。属于纯数学的范畴。

[TheMatrix]

复习一下。wiki上的。

Galois group的定义是：the automorphism group of a normal and separable algebraic field extension E/F.

Field extension E/F 是指域 F 是域 E 的子域。

Algebraic field extension 是指 E的每一个元素都algebraic over F。也就是每一个元素都有一个minimal polynomial，该元素是这个minimal polynomial的root。这个minimal polynomial在F中肯定是不可因式分解的，degree也肯定大于1，所以就肯定有不止一个root。

normal要求其他root也在E中。separable要求没有repeated root。

Automorphism group of E/F 是指 E 上的 automorphism 但是 fix F。E 上的 automorphism 是 f: E --> E 作为 ring 是一个 ring homomorphism，而且是 isomorphism，也就是一一映射。fix F 是指 f(a)=a for all a in F。

数学就是这样。每个词都得解释。

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复习一下。wiki上的。

Galois group的定义是：the automorphism group of a normal and separable algebraic field extension E/F.

Field extension E/F 是指域 F 是域 E 的子域。

Algebraic field extension 是指 E的每一个元素都algebraic over F。也就是每一个元素都有一个minimal polynomial，该元素是这个minimal polynomial的root。这个minimal polynomial在F中肯定是不可因式分解的，degree也肯定大于1，所以就肯定有不止一个root。

normal要求其他root也在E中。separable要求没有repeated root。

Automorphism group of E/F 是指 E 上的 automorphism 但是 fix F。E 上的 automorphism 是 f: E --> E 作为 ring 是一个 ring homomorphism，而且是 isomorphism，也就是一一映射。fix F 是指 f(a)=a for all a in F。

数学就是这样。每个词都得解释。

简化一下，最关键的就是automorphism group of E。

也就是 f: E --> E 是一个field homomorphism，同时还是一一映射。而field homomorphism就是ring homomorphism。field比ring的结构多一点，多了一个乘法可逆。但是field homomorphism和ring homomorphism是完全一样的。也就是一个映射如果保持了加法和乘法的结构，它就自动保持了乘法可逆的结构。这在group homomorphism也有：保持了乘法的结构，就自动也保持了乘法可逆的结构。

而且还保持1，也就是f(1)=1。这也是自动的。加法的0也被保持，f(0)=0，道理也是一样。group homomorphism也有这个现象。

任何一个field E中都有一个有理数Q的copy：因为E中有1，所以就有2,3,...，同时又有m/n，所以就有Q。所以任何一个E，都是E/Q。

f保持了1也就保持了2,3,...，也就是f(n)=n。同时也保持了分数：f(m/n)=m/n。也就是说任何一个automorphism f，都自动保持了E中的Q。所以可以说automorphism group of E就是automorphism group of E/Q，Aut(E)=Aut(E/Q)。

现在换成E/F，F里也有Q的copy。所以是E/F and F/Q，或者E/F/Q。所以automorphism group of E/F是把Q换成F，也就是本来自动保持Q，现在换成要保持一个更大一点的F，是一种限制，group结果更小。

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简化一下，最关键的就是automorphism group of E。

也就是 f: E --> E 是一个field homomorphism，同时还是一一映射。而field homomorphism就是ring homomorphism。field比ring的结构多一点，多了一个乘法可逆。但是field homomorphism和ring homomorphism是完全一样的。也就是一个映射如果保持了加法和乘法的结构，它就自动保持了乘法可逆的结构。这在group homomorphism也有：保持了乘法的结构，就自动也保持了乘法可逆的结构。

而且还保持1，也就是f(1)=1。这也是自动的。加法的0也被保持，f(0)=0，道理也是一样。group homomorphism也有这个现象。

任何一个field E中都有一个有理数Q的copy：因为E中有1，所以就有2,3,...，同时又有m/n，所以就有Q。所以任何一个E，都是E/Q。

f保持了1也就保持了2,3,...，也就是f(n)=n。同时也保持了分数：f(m/n)=m/n。也就是说任何一个automorphism f，都自动保持了E中的Q。所以可以说automorphism group of E就是automorphism group of E/Q，Aut(E)=Aut(E/Q)。

现在换成E/F，F里也有Q的copy。所以是E/F and F/Q，或者E/F/Q。所以automorphism group of E/F是把Q换成F，也就是本来自动保持Q，现在换成要保持一个更大一点的F，是一种限制，group结果更小。

Automorphism group of E，写做Aut(E)。Automorphism group of E/F，写做Aut(E/F)。

所以Galois group，基本上是Aut(E/F)，而它又是Aut(E)的一种限制。

[pplar]

数学家的耐心和乐趣让人佩服！

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Automorphism group of E，写做Aut(E)。Automorphism group of E/F，写做Aut(E/F)。

所以Galois group，基本上是Aut(E/F)，而它又是Aut(E)的一种限制。

Aut(E)，automorphism group of E，一句话就说完了。但是它很大。汪洋大海。

同时它也太“简单”，结构太少。又像汪洋大海，未划分结构之前，只能说一个字：水。

不加限制的automorphism group都有这个特点。比如diffeomorphism group of the circle。Circle就是S¹，最简单的一维compact manifold。Diffeomorphism就是manifold上的automorphism，光滑自映射。所以它是Aut(S¹)。还是一句话就说完了。但是它大啊！infinite dimensional。汪洋大海。

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Aut(E)，automorphism group of E，一句话就说完了。但是它很大。汪洋大海。

同时它也太“简单”，结构太少。又像汪洋大海，未划分结构之前，只能说一个字：水。

不加限制的automorphism group都有这个特点。比如diffeomorphism group of the circle。Circle就是S¹，最简单的一维compact manifold。Diffeomorphism就是manifold上的automorphism，光滑自映射。所以它是Aut(S¹)。还是一句话就说完了。但是它大啊！infinite dimensional。汪洋大海。

所以“大”不是好事。“大”说明这个概念还在初级阶段。

要加以限制，加限制就是加结构。加到“合适”的限制，内部还要有足够多的元素。加限制的方法不止一种。加到一个“好”的限制，就是一个好的领域。

所以第一个限制就是Aut(E/F)，automorphism group of E that fix F。

F也可大可小 - 是指和E之间相对的大小。相对的大小还可以加一个限制：algebraic extension。这样Aut(E/F)就小多了。

E和F相对的大小，还可以从另外一个角度看。就是生成元的角度。E/F，那么E就是一个F-algebra。E可以是F再加一个元素生成的：E=F(x)，也可以是两个元素，三个元素：F(x,y), F(x,y,z)...。这样相对大小就有了等级。

F(x)是F[x]的fraction field。F[x]就是以F为系数的一元polynomial。F(x)又叫function field。然后还有二元F(x,y)，三元F(x,y,z)，...。这样algebraic number theory和algebraic geometry都在里面了。

[FoxMe]

群论本身没啥好研究的了，但是如果是Galois group，就变得高端大气。

Galois representation,以前不大明白。看了以下，有但不限于以下两种情况：

1. 域的Galois extension，这个已经非常成熟；
2. 椭圆曲线上的作用，这个对我来说比较新鲜，更近一步，就和代数几何联系上了。

由于抗量子密码用到代数数论和椭圆曲线，Galois group的实际应用很多。如果再往深里走，估计也能用上Galois representation。

[FoxMe]

Galois representation和modular form怎么联系上？

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所以“大”不是好事。“大”说明这个概念还在初级阶段。

要加以限制，加限制就是加结构。加到“合适”的限制，内部还要有足够多的元素。加限制的方法不止一种。加到一个“好”的限制，就是一个好的领域。

所以第一个限制就是Aut(E/F)，automorphism group of E that fix F。

F也可大可小 - 是指和E之间相对的大小。相对的大小还可以加一个限制：algebraic extension。这样Aut(E/F)就小多了。

E和F相对的大小，还可以从另外一个角度看。就是生成元的角度。E/F，那么E就是一个F-algebra。E可以是F再加一个元素生成的：E=F(x)，也可以是两个元素，三个元素：F(x,y), F(x,y,z)...。这样相对大小就有了等级。

F(x)是F[x]的fraction field。F[x]就是以F为系数的一元polynomial。F(x)又叫function field。然后还有二元F(x,y)，三元F(x,y,z)，...。这样algebraic number theory和algebraic geometry都在里面了。

如果E/F中，E=F(x)，也就是E是F再加E中一个元素x生成的，那么这个x还可以有两种情况。一个是x做某种加加乘乘的操作后，等于0。另一个是x不论怎么加加乘乘，都不能等于0。

第一种就是algebraic。加加乘乘就是代数操作，也就是polynomial，也就是x有minimal polynomial。

第二种x就叫transcendental，超越数。比如π。π对于有理数就是超越数。它不能通过有理系数以及自身的加加乘乘得到0。x作为一个symbol来说，也是超越数，也就是x在F(x)中是transcendental。

如果x是algebraic，那么F(x)=F[x]，也就是F[x]本身就是域。其中每一个polynomial都有倒数，倒数也是polynomial。这是因为x不是任意的，不是symbol，是一个具体的值，应该用α，它满足一个关系，也就是minimal polynomial。

所以Galois group就是E=F[x]，或者E=F[x,y]，或者E=F[x,y,z...]，x,y,z algebraic，这样的extension E/F，它的automorphism group。

[TheMatrix]

群论本身没啥好研究的了，但是如果是Galois group，就变得高端大气。

Galois representation,以前不大明白。看了以下，有但不限于以下两种情况：

1. 域的Galois extension，这个已经非常成熟；
2. 椭圆曲线上的作用，这个对我来说比较新鲜，更近一步，就和代数几何联系上了。

由于抗量子密码用到代数数论和椭圆曲线，Galois group的实际应用很多。如果再往深里走，估计也能用上Galois representation。

椭圆曲线上，Galois group有一个Tate module representation。看了一点。但是没有看出很深的意义。

Galois group和modular form的关系，我也没联系上。

希望谁能介绍一下。

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椭圆曲线上，Galois group有一个Tate module representation。看了一点。但是没有看出很深的意义。

Galois group和modular form的关系，我也没联系上。

希望谁能介绍一下。

我把思路再理一理。很多地方没有打通。

椭圆曲线和field extension的关系，可以类比于polynomial和field extension的关系：

在一个base field，比如Q，中考虑polynomial，说的是一元polynomial Q[x]。它的root α可以不在Q中，那么就有了field extention Q[α]。

同理，椭圆曲线是一个二元polynomial y²=x³+ax+b。假设在Q中考虑这个二元polynomial，那么它的root，也就是椭圆曲线上的点 P=(x_P,y_P) 也可以不在Q中，也就是不是有理点，也就是x_P和y_P至少有一个不是有理数。那么也可以做field extension Q[P]=Q[x_P,y_P]。

这就是和椭圆曲线有关的field extension。

[TheMatrix]

我把思路再理一理。很多地方没有打通。

椭圆曲线和field extension的关系，可以类比于polynomial和field extension的关系：

在一个base field，比如Q，中考虑polynomial，说的是一元polynomial Q[x]。它的root α可以不在Q中，那么就有了field extention Q[α]。

同理，椭圆曲线是一个二元polynomial y²=x³+ax+b。假设在Q中考虑这个二元polynomial，那么它的root，也就是椭圆曲线上的点 P=(x_P,y_P) 也可以不在Q中，也就是不是有理点，也就是x_P和y_P至少有一个不是有理数。那么也可以做field extension Q[P]=Q[x_P,y_P]。

这就是和椭圆曲线有关的field extension。

当然，这个field extension所得到的，仍然不超过algebraic number。

所以考虑全部algebraic number，Q^a，以及Q的algebraic closure Q^*。为什么要考虑全部的呢？因为早晚要走到这一步上来。。。现在还不知道。为什么要考虑algebraic closure呢？因为closure有很多好处。。。

Q^a和Q^*还不完全一样。Q^a是全部algebraic number的集合，它是可数的。Q^*是closure，是某种拓扑下的completion，它是不可数的。它们两个的拓扑是不一样的。但是代数功能是差不多的。

所以就考虑Galois group of Q^*/Q，Gal(Q^*/Q)，也就是Aut(Q^*/Q)。实际上就是Aut(Q^*)，因为任何automorphism都必定fix Q。

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当然，这个field extension所得到的，仍然不超过algebraic number。

所以考虑全部algebraic number，Q^a，以及Q的algebraic closure Q^*。为什么要考虑全部的呢？因为早晚要走到这一步上来。。。现在还不知道。为什么要考虑algebraic closure呢？因为closure有很多好处。。。

Q^a和Q^*还不完全一样。Q^a是全部algebraic number的集合，它是可数的。Q^*是closure，是某种拓扑下的completion，它是不可数的。它们两个的拓扑是不一样的。但是代数功能是差不多的。

所以就考虑Galois group of Q^*/Q，Gal(Q^*/Q)，也就是Aut(Q^*/Q)。实际上就是Aut(Q^*)，因为任何automorphism都必定fix Q。

实际上它考虑的还是具体的Q[α], Q[α,β], Q[α,β,...] over Q。只不过为了通用性，为了不具体的代入一个α或者β，就考虑Q^*，以及Gal(Q^*/Q)。

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当然，这个field extension所得到的，仍然不超过algebraic number。

所以考虑全部algebraic number，Q^a，以及Q的algebraic closure Q^*。为什么要考虑全部的呢？因为早晚要走到这一步上来。。。现在还不知道。为什么要考虑algebraic closure呢？因为closure有很多好处。。。

Q^a和Q^*还不完全一样。Q^a是全部algebraic number的集合，它是可数的。Q^*是closure，是某种拓扑下的completion，它是不可数的。它们两个的拓扑是不一样的。但是代数功能是差不多的。

所以就考虑Galois group of Q^*/Q，Gal(Q^*/Q)，也就是Aut(Q^*/Q)。实际上就是Aut(Q^*)，因为任何automorphism都必定fix Q。

Gal(Q^*/Q)叫absolute Galois group。也可以考虑一个一般的域K：Gal(K^*/K)。

Galois group，或者absolute Galois group，的representation，叫Galois representation。

现在考虑从椭圆曲线上得到的Galois representation。

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Gal(Q^*/Q)叫absolute Galois group。也可以考虑一个一般的域K：Gal(K^*/K)。

Galois group，或者absolute Galois group，的representation，叫Galois representation。

现在考虑从椭圆曲线上得到的Galois representation。

这个是从椭圆曲线的torsion points得来的。

椭圆曲线是一个variety，同时也是一个群，一个加法群。torsion points就是nP=P+P+...=0的那种points。这就是n-torsion points：E[n] = {P: nP=0}。

在Q中考虑椭圆曲线的话，torsion points为有限。

但是在Q^*考虑的话，torsion points为无限。对于任意n，n-torsion points的个数是n²。这是一个子群，同构于(Z/nZ)²。可以看成是一个二维的module，Z-module，或者(Z/nZ)-module。

Gal(Q^*/Q)的action来了：σ ∈ Gal(Q^*/Q)，也就是σ ∈ Aut(Q^*/Q)，或者σ ∈ Aut(Q^*)，
1，如果P=(x_P,y_P)在椭圆曲线上，考虑的是over Q^*，那么σ(P)=(σ(x_P),σ(y_P))也在椭圆曲线上。
2，P和σ(P)有相同的torsion。

所以Gal(Q^*/Q)作用在E[n]，这个二维的(Z/nZ)-module上。

但是Z/nZ作为module的系数，只是一个ring，不是field。要成为field，要考虑Z/pZ，p为素数。这样torsion points E[p]就是一个二维的(Z/pZ)-module，也就是一个(Z/pZ)-vector space。这就是一个Gal(Q^*/Q)的representation。

对于任意一个p，都有一个二维的Gal(Q^*/Q)的representation。

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这个是从椭圆曲线的torsion points得来的。

椭圆曲线是一个variety，同时也是一个群，一个加法群。torsion points就是nP=P+P+...=0的那种points。这就是n-torsion points：E[n] = {P: nP=0}。

在Q中考虑椭圆曲线的话，torsion points为有限。

但是在Q^*考虑的话，torsion points为无限。对于任意n，n-torsion points的个数是n²。这是一个子群，同构于(Z/nZ)²。可以看成是一个二维的module，Z-module，或者(Z/nZ)-module。

Gal(Q^*/Q)的action来了：σ ∈ Gal(Q^*/Q)，也就是σ ∈ Aut(Q^*/Q)，或者σ ∈ Aut(Q^*)，
1，如果P=(x_P,y_P)在椭圆曲线上，考虑的是over Q^*，那么σ(P)=(σ(x_P),σ(y_P))也在椭圆曲线上。
2，P和σ(P)有相同的torsion。

所以Gal(Q^*/Q)作用在E[n]，这个二维的(Z/nZ)-module上。

但是Z/nZ作为module的系数，只是一个ring，不是field。要成为field，要考虑Z/pZ，p为素数。这样torsion points E[p]就是一个二维的(Z/pZ)-module，也就是一个(Z/pZ)-vector space。这就是一个Gal(Q^*/Q)的representation。

对于任意一个p，都有一个二维的Gal(Q^*/Q)的representation。

对于任意p，Z/pZ是一个abelian group，一个ring，一个field，也写做F_p。

但是对于p²，Z/p²Z是一个ring，不是field。p²也可以有field，写做F_p²，但是它和Z/p²Z结构不同：F_p² != Z/p²Z。

作为ring，Z/p²Z --> Z/pZ 有一个ring homomorphism，是一个projection。
作为field，F_p --> F_p² 有一个field homomorphism，是一个injection。
注意这两个方向不同。

同理，作为ring，有
... --> Z/p³Z --> Z/p²Z --> Z/pZ

反向有一个inverse limit Z_p：
Z_p --> ... --> Z/p³Z --> Z/p²Z --> Z/pZ
这个叫p-adic integer。

它的fraction field，Q_p，叫p-adic number。

注意还有另一个链条：
F_p --> F_p² --> F_p³ --> ...
这是一个pⁿ field inclusion链条。但是p-adic number不是从这个链条得到的。

[TheMatrix]

对于任意p，Z/pZ是一个abelian group，一个ring，一个field，也写做F_p。

但是对于p²，Z/p²Z是一个ring，不是field。p²也可以有field，写做F_p²，但是它和Z/p²Z结构不同：F_p² != Z/p²Z。

作为ring，Z/p²Z --> Z/pZ 有一个ring homomorphism，是一个projection。
作为field，F_p --> F_p² 有一个field homomorphism，是一个injection。
注意这两个方向不同。

同理，作为ring，有
... --> Z/p³Z --> Z/p²Z --> Z/pZ

反向有一个inverse limit Z_p：
Z_p --> ... --> Z/p³Z --> Z/p²Z --> Z/pZ
这个叫p-adic integer。

它的fraction field，Q_p，叫p-adic number。

注意还有另一个链条：
F_p --> F_p² --> F_p³ --> ...
这是一个pⁿ field inclusion链条。但是p-adic number不是从这个链条得到的。

Gal(Q^*/Q)可以作用在
E[p]=(Z/pZ)²
E[p²]=(Z/p²Z)²
E[p³]=(Z/p³Z)²
...

take inverse limit，就可以作用在
T_p=Z_p²
上。这是一个module，系数为Z_p，是一个ring。因此这是一个Z_p-module。

Gal(Q^*/Q)可以作用在它上，也就是Gal(Q^*/Q)的一个representation。这个叫Tate module。

[FoxMe]

懂了，Tate module是Zp-module.