如何理论导出电子自旋

[TheMatrix]

Schrodinger方程应该是不能导出电子自旋的。

Schrodinger方程里的波函数ψ的值是复数，一个复数，而不是C²或者Cⁿ。所以它不能导出电子自旋。这是我目前的理解。

自旋和旋转有关，旋转是SO(3)，在相对论坐标系下是SO(1,3)。

乍一看，SO(3)可以作用在ψ上，因为 ψ : (t,x,y,z) --> C 也是空间的函数，而SO(3)可以作用在空间(x,y,z)上。但是这个作用必须作用在整个系统上，是所谓的全局对称性。它得到的是系统的角动量，以及角动量的量子化。而不是电子的自旋。

电子自旋是所谓的内禀属性，内禀属性必须反映在 ψ 的函数值上，而不是 ψ 的定义域上。所以必须 ψ : (t,x,y,z) --> C²，或者更高的 Cⁿ，才能得到自旋。C²的话，就可以有SU(2)对称性，SU(2)是SO(3)的double cover，这应该就可以反映自旋了。内禀对称性，到场论中，就过渡到局部对称性。

波函数 ψ : (t,x,y,z) --> C² 的就是Dirac方程。Dirac方程我还不太理解。

但是无论Schrodinger方程还是Dirac方程，都是单系统方程，是从单体到多体这个方向发展上来的。它不是场论方程。

[Waa]

Schrodinger方程应该是不能导出电子自旋的。

Schrodinger方程里的波函数ψ的值是复数，一个复数，而不是C²或者Cⁿ。所以它不能导出电子自旋。这是我目前的理解。

自旋和旋转有关，旋转是SO(3)，在相对论坐标系下是SO(1,3)。

乍一看，SO(3)可以作用在ψ上，因为 ψ : (t,x,y,z) --> C 也是空间的函数，而SO(3)可以作用在空间(x,y,z)上。但是这个作用必须作用在整个系统上，是所谓的全局对称性。它得到的是系统的角动量，以及角动量的量子化。而不是电子的自旋。

电子自旋是所谓的内禀属性，内禀属性必须反映在 ψ 的函数值上，而不是 ψ 的定义域上。所以必须 ψ : (t,x,y,z) --> C²，或者更高的 Cⁿ，才能得到自旋。C²的话，就可以有SU(2)对称性，SU(2)是SO(3)的double cover，这应该就可以反映自旋了。内禀对称性，到场论中，就过渡到局部对称性。

波函数 ψ : (t,x,y,z) --> C² 的就是Dirac方程。Dirac方程我还不太理解。

但是无论Schrodinger方程还是Dirac方程，都是单系统方程，是从单体到多体这个方向发展上来的。它不是场论方程。

啥玩意？

薛定谔写出方程的时候，电子自旋还没有被发现。
狄拉克方程产生后，有了电子自旋。


后来人们修改了薛定谔方程。

后来人们又发现，电子的自旋和 “旋转”没啥关系。

[Waa]

结论是，你这是啥狗屁不通的话。

自旋和旋转相关？ 哈哈

[forecasting]

Schrodinger方程应该是不能导出电子自旋的。

Schrodinger方程里的波函数ψ的值是复数，一个复数，而不是C²或者Cⁿ。所以它不能导出电子自旋。这是我目前的理解。

自旋和旋转有关，旋转是SO(3)，在相对论坐标系下是SO(1,3)。

乍一看，SO(3)可以作用在ψ上，因为 ψ : (t,x,y,z) --> C 也是空间的函数，而SO(3)可以作用在空间(x,y,z)上。但是这个作用必须作用在整个系统上，是所谓的全局对称性。它得到的是系统的角动量，以及角动量的量子化。而不是电子的自旋。

电子自旋是所谓的内禀属性，内禀属性必须反映在 ψ 的函数值上，而不是 ψ 的定义域上。所以必须 ψ : (t,x,y,z) --> C²，或者更高的 Cⁿ，才能得到自旋。C²的话，就可以有SU(2)对称性，SU(2)是SO(3)的double cover，这应该就可以反映自旋了。内禀对称性，到场论中，就过渡到局部对称性。

波函数 ψ : (t,x,y,z) --> C² 的就是Dirac方程。Dirac方程我还不太理解。

但是无论Schrodinger方程还是Dirac方程，都是单系统方程，是从单体到多体这个方向发展上来的。它不是场论方程。

Dirac当时想把Schrodinger方程修改成狭义相对论变换下不变的。我看他当时的推导/推测，也很震惊，为了消除平方形式，他假设了一个公式，满足相对论不变。而这个公式其实是四个微分方程，或者说4×4矩阵的形式（对比 Pauli2×2形式，Pauli是为了解释自旋相反的电子）。有两个很容易解释，对应电子的两个互为相反的自旋。另两个就很难解释。Dirac这家伙又是神来之笔，说存在带正电荷的电子，这两个是自旋相反的正电子。然后由此解释了正负电子湮灭和高能光子从真空中创生正负电子等等。

于是真空就再也不是真空了。

[rgg]

Schrodinger方程应该是不能导出电子自旋的。

Schrodinger方程里的波函数ψ的值是复数，一个复数，而不是C²或者Cⁿ。所以它不能导出电子自旋。这是我目前的理解。

自旋和旋转有关，旋转是SO(3)，在相对论坐标系下是SO(1,3)。

乍一看，SO(3)可以作用在ψ上，因为 ψ : (t,x,y,z) --> C 也是空间的函数，而SO(3)可以作用在空间(x,y,z)上。但是这个作用必须作用在整个系统上，是所谓的全局对称性。它得到的是系统的角动量，以及角动量的量子化。而不是电子的自旋。

电子自旋是所谓的内禀属性，内禀属性必须反映在 ψ 的函数值上，而不是 ψ 的定义域上。所以必须 ψ : (t,x,y,z) --> C²，或者更高的 Cⁿ，才能得到自旋。C²的话，就可以有SU(2)对称性，SU(2)是SO(3)的double cover，这应该就可以反映自旋了。内禀对称性，到场论中，就过渡到局部对称性。

波函数 ψ : (t,x,y,z) --> C² 的就是Dirac方程。Dirac方程我还不太理解。

但是无论Schrodinger方程还是Dirac方程，都是单系统方程，是从单体到多体这个方向发展上来的。它不是场论方程。

薛定谔方程是作用到希尔伯特空间的态矢上的，波函数只是最简单场景。 而态矢还必须在庞加莱群的不可约表示的子空间里，其中最简单的两维不可约表示就刚好是自旋。

过程是这样的：
复函数波函数-> 希尔伯特空间的态矢 ->（要求相对论协变）庞加莱群的不可约表示-> 自旋以及其它。

[TheMatrix]

薛定谔方程是作用到希尔伯特空间的态矢上的，波函数只是最简单场景。 而态矢还必须在庞加莱群的不可约表示的子空间里，其中最简单的两维不可约表示就刚好是自旋。

过程是这样的：
复函数波函数-> 希尔伯特空间的态矢 ->（要求相对论协变）庞加莱群的不可约表示-> 自旋以及其它。

态矢就是一个函数：ψ: R⁴ --> Cⁿ。

最近我有一些新的认识，还没有完全打通，但是我觉得说庞加莱群是不对的。

庞加莱群只作用在自变量空间上，R⁴=(t,x,y,z)。因为庞加莱群包含旋转和平移，而平移是不能作用在值域Cⁿ上的。

庞加莱群作用在自变量上，得到的是动量和角动量，（还有能量）。其中角动量是系统的角动量，不是自旋的角动量。

能作用在值域上的，只有SU(n)。因为我们假定态函数ψ在（整体）SU(n)作用下，系统的物理状态不受影响。

而SU(2)作用在C²上，刚好可以解释电子自旋。

值域上的对称性是内禀对称性。相当于一个异度空间，我们无法打开，但是可以诱导出一些性质。自旋就是这样的一个性质。

但是从SU(2)刚好是SO(3)的double cover上看，这个异度空间里发生的，应该和旋转有关。

[TheMatrix]

Dirac当时想把Schrodinger方程修改成狭义相对论变换下不变的。我看他当时的推导/推测，也很震惊，为了消除平方形式，他假设了一个公式，满足相对论不变。而这个公式其实是四个微分方程，或者说4×4矩阵的形式（对比 Pauli2×2形式，Pauli是为了解释自旋相反的电子）。有两个很容易解释，对应电子的两个互为相反的自旋。另两个就很难解释。Dirac这家伙又是神来之笔，说存在带正电荷的电子，这两个是自旋相反的正电子。然后由此解释了正负电子湮灭和高能光子从真空中创生正负电子等等。

于是真空就再也不是真空了。

我有一本电子书，现在找不着了。里面讲了Dirac方程的数学来历，和消除平方有关，我觉得讲得挺好的。

是一个数学物理方面的人写的，好像也是个巴西或者阿根廷的作者。

当然，我知道这方面的书很多。我如果找不到那本的话，就随便找一本看看。

[TheMatrix]

结论是，你这是啥狗屁不通的话。

自旋和旋转相关？ 哈哈

对。自旋一定和旋转相关。只不过是在异度空间。

[forecasting]

我有一本电子书，现在找不着了。里面讲了Dirac方程的数学来历，和消除平方有关，我觉得讲得挺好的。

是一个数学物理方面的人写的，好像也是个巴西或者阿根廷的作者。

当然，我知道这方面的书很多。我如果找不到那本的话，就随便找一本看看。

Dirac的Principle of quantum mechanics就有，原汁原味。

[Waa]

对。自旋一定和旋转相关。只不过是在异度空间。

滚！

这个自旋是历史留下的一个错误。

现在也不改了。 只是在定义里注释了一下。

你这种历史文科生。

对物理基本概念有太多误解。

[TheMatrix]

Dirac的Principle of quantum mechanics就有，原汁原味。

这本书知道。我以前有过，也没看。

问了chatgpt，基本上明白了。这种经典内容，chatgpt已经可以讲得很好了。

主要我也不是第一次看，我知道该问什么。

[TheMatrix]

Dirac当时想把Schrodinger方程修改成狭义相对论变换下不变的。我看他当时的推导/推测，也很震惊，为了消除平方形式，他假设了一个公式，满足相对论不变。而这个公式其实是四个微分方程，或者说4×4矩阵的形式（对比 Pauli2×2形式，Pauli是为了解释自旋相反的电子）。有两个很容易解释，对应电子的两个互为相反的自旋。另两个就很难解释。Dirac这家伙又是神来之笔，说存在带正电荷的电子，这两个是自旋相反的正电子。然后由此解释了正负电子湮灭和高能光子从真空中创生正负电子等等。

于是真空就再也不是真空了。

感觉量子世界是一种塑造。只要逻辑上不错，就都能发生。

[TheMatrix]

这本书知道。我以前有过，也没看。

问了chatgpt，基本上明白了。这种经典内容，chatgpt已经可以讲得很好了。

主要我也不是第一次看，我知道该问什么。

又看了一下wiki的，比chatgpt的难多了。

[TheMatrix]

我感觉我可以再总结一下了。

看来解释自旋，唯一正确的方法就是Pauli的。Pauli matrix作用在C²上。也就是SU(2)在C²上的不可约表示。

其他方法，如果正确，那就和Pauli的方法是同构的。正确的东西都是同构的。

Dirac的方法，在于以一种“合理”的方式引入Pauli的解释。

[TheMatrix]

我感觉我可以再总结一下了。

看来解释自旋，唯一正确的方法就是Pauli的。Pauli matrix作用在C²上。也就是SU(2)在C²上的不可约表示。

其他方法，如果正确，那就和Pauli的方法是同构的。正确的东西都是同构的。

Dirac的方法，在于以一种“合理”的方式引入Pauli的解释。

因为自旋只有±1/2两个值，这是实验发现并确定了的。

理论要解释它，就是要找一个operator（可观察量），作用在一个空间（态矢）上，只有两个本征值，一个+1/2，一个-1/2。

那这个空间只能是二维的 - 两个本征值决定了只有两个本征态，两个本征态决定了这个空间就是二维的。C²。

SU(2)的Lie algebra su(2)，就是自旋这个可观察量(operator)的集合。

SU(2)是SO(3)的double cover，所以它们两个的Lie algebra是一样的，（维度相同，都是单位元附近的切空间）。所以所谓SO(3)的spin representation，就是SO(3) Lie algebra su(2)的representation。SO(3)作为group，本身是没有二维不可约表示的。

[TheMatrix]

因为自旋只有±1/2两个值，这是实验发现并确定了的。

理论要解释它，就是要找一个operator（可观察量），作用在一个空间（态矢）上，只有两个本征值，一个+1/2，一个-1/2。

那这个空间只能是二维的 - 两个本征值决定了只有两个本征态，两个本征态决定了这个空间就是二维的。C²。

SU(2)的Lie algebra su(2)，就是自旋这个可观察量(operator)的集合。

SU(2)是SO(3)的double cover，所以它们两个的Lie algebra是一样的，（都是单位元附近的切空间）。所以所谓SO(3)的spin representation，就是SO(3) Lie algebra su(2)的representation。SO(3)作为group，本身是没有二维不可约表示的。

听起来有点任意。随便找一个空间，再找一个operator作用在它上面，只要能得出想要的两个本征值，就可以说找到了可观察量和相应的态矢了吗？

这件事我思考过很久。我的答案是：是。

只有两个本征值，也就是只有两个可观察值，这本身就说明这是一种“简化”。但在这件事上，这是大自然帮我们做的简化，内禀的，intrinsic，流露在外的，就只有两个值。原因不明。

那么它的态矢也必须是简单的。它“本身”不一定简单，但是都包装起来了，流露在外的，就只相当于C²。

[TheMatrix]

听起来有点任意。随便找一个空间，再找一个operator作用在它上面，只要能得出想要的两个本征值，就可以说找到了可观察量和相应的态矢了吗？

这件事我思考过很久。我的答案是：是。

只有两个本征值，也就是只有两个可观察值，这本身就说明这是一种“简化”。但在这件事上，这是大自然帮我们做的简化，内禀的，intrinsic，流露在外的，就只有两个值。原因不明。

那么它的态矢也必须是简单的。它“本身”不一定简单，但是都包装起来了，流露在外的，就只相当于C²。

C²和其他态矢的结合也很简单，比如薛定谔方程的态矢是
ψ: R⁴ --> C

C²和这个态矢结合就变成了：
ψ₂: R⁴ --> C²

因为 ψ₂ = ψ ⊕ C²。

ψ₂看起来顺眼多了。

[TheMatrix]

C²和其他态矢的结合也很简单，比如薛定谔方程的态矢是
ψ: R⁴ --> C

C²和这个态矢结合就变成了：
ψ₂: R⁴ --> C²

因为 ψ₂ = ψ ⊕ C²。

ψ₂看起来顺眼多了。

等一下，也许是 ψ₂ = ψ ⊗ C²。这个我得想想。

嗯。tensor相乘是对的。从维度上看是对的。因为维度是乘以2，不是加2。内容上也是对的。

[TheMatrix]

那我们就来复习一下Dirac方程是怎么“推导”出来的。

要注意Dirac方程不是必然推导出来的，它要有一步跳跃。所以没有“正确”的推导方式，只有最快的推导方式 - 也很合理。这是我在chatgpt上看来的。

首先是薛定谔方程：

i∂_tψ=Hψ=p²/2m ψ

这里只有动能项，也就是自由粒子，没有势能。

这个方程不满足狭义相对论的Lorentz变换，所以要改造成满足Lorentz变换的，也就是Klein-Gordon方程。

从狭义相对论能量公式出发：
E²=p²c²+m²c⁴
用一下c=1，
E²=p²+m²

然后把E和p都换成算符：
i∂_t <---> E
-i∇ <---> p

-∂²/∂t²ψ = (-∇²+m²)ψ，算符的平方就是连续用两次这个算符。
(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ

这应该就自动满足了狭义相对论的Lorentz变换，因为是从狭义相对论能量公式出发。这就是Klein-Gordon方程。

这时的ψ是：ψ: R⁴ --> C，单复数值。

[japamer]

难得楼主把学习心得写出来，非常感谢。
我只学过普通物理，对高等物理一窍不通，不能发表意见。
但，对于学过高等物理的人，这难道不是基础的经典么？
怎么也一声不吭，难道也是囫囵吞枣？