孔良：浅议现代数学物理对数学的影响

[Caravel]

https://zhuanlan.zhihu.com/p/40231587

摘抄几个片段

在数学内容上的新特征

在数学内容上，无穷维的数学展现出很多新特征和新现象，比如高阶同伦论和高阶范畴的应用，丰富的形变理论和模空间问题，很多神奇的对偶现象，等等。每一个现象都值得我们做深入的分析和解读。而在这里我们仅仅简单谈谈下面三个新特征。

代数方法的重要性：传统物理学大厦建立在微积分的基础上，牛顿把经典力学问题完全化成了微分方程的问题，电动力学和广义相对论也都建立在微分方程的基础上，所以分析的方法在经典的数学物理里面占有举足轻重的地位，大多数物理学家因此相信，方程是表达宇宙的永恒规律的唯一语言，写下以自己名字来命名的方程式大概是几乎所有物理学家的梦想。量子力学诞生以后，虽然方程仍然是主流语言，比如：薛定谔方程和狄拉克方程，但是代数的方法也越来越重要，特别是表示论的重要性变得显而易见，群论和群表示论也已经从最初的一个纯数学分支变成了所有物理学家的通用语言。而且从量子力学的起源上看，海森堡从可观测代数的角度给出的量子力学描述可能更加基本。量子场论兴起以后，分析的方法在半经典的近似下仍然有很大的作为，但是对完全量子化的场论显得有些力不从心，其根本原因是量子物理和牛顿的经典时空观念是格格不入的，而从描述量子世界的数学语言上看，微积分在本质上就是不够的，我们需要一个新的量子化的微积分[8]。 这里的“量子化”有两个不同又彼此相容的意思[9]，

一是在量子物理中，可观测量构成一个非交换的代数（海森堡图像）。如果和量子力学的建立一样，我们把可观测量看做是构建新微积分的出发点的话，那么代数方法将是这个新微积分的核心，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）发展的非交换几何是这一个思路的代表[8]；
另一个是路径积分的，从这个角度看需要无穷维，因为路径空间是无穷维的。从无穷维的角度看，实数就不是一把测量无穷维数学世界的好尺子。所以很多无穷维空间就没有传统意义上的取实数值的测度。这时候我们需要用无穷维的尺子来测量无穷维的世界。 在我们寻找适当的测量无穷维的尺子的时候，尺子内蕴的结构变得更为重要。也许我们最终还是要建立完备的分析的方法和理论，但是这个理论必须建立在我们对无穷维相关数学的基本代数结构的理解之上，就好像实数是由有理数完备化而来，但是这个完备化依赖于有理数上面的代数结构。所以对无穷维上面的数学结构的理解，应该放在完备化之前[10]。



阿兰·孔涅（照片来源：MFO）

70年代以前，物理中的代数方法主要是指群论，现在越来越多的代数结构开始在量子场论的研究中大展身手，比如：无穷维李代数、A-infinity (C-，L-infinity，etc)代数、Hopf 代数、顶点算子代数、张量范畴、factorization algebra，等等。

范畴学的兴起：范畴学起源于代数拓扑，60年代格罗腾迪克（A. Grothendieck）将其变成了代数几何的基础语言，随后其影响逐渐辐射到很多其他领域，因而成就了一股范畴论替代集合论的潮流。到了90年代这个潮流非但没有衰减，反而有了新的强大动力：量子场论或无穷维的数学结构。为什么无穷维的数学要用到范畴学？ 从代数上看，如果我们的尺子是实数（或复数），很多场论的问题就可以化成无穷维的线性代数问题，但是用有限维的尺子去测量无穷维是没有效率的，而特别有效的尺子本身往往就是无穷维的，用了这样的尺子， 很多场论的问题都可以转化成在不平凡的张量范畴里面的代数问题。更多的时候，无穷维丰富的数学结构会让研究者非常迷惑，而范畴学对数学做了一个巨大的统一，很多不同领域看似不同的数学概念，在范畴学的视角里不过是不同范畴里的同一概念。所以在研究无穷维的新数学的时候，范畴学变成了非常有用的语言和导向性工具。不但如此，在物理里面，没有结构的“存在”是不存在的，即使是“点粒子”也不是数学意义上的点而是有很多的结构，很多时候我们希望能够在每一个“点”都带有丰富结构的“数域”上积分，而范畴学其实就提供了一个结构化的微积分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范畴学的基本精神。比如，量子理论把可测量提到了一个最本质的层次，可测的不是基本粒子，而是他们之间的相互作用，没有相互作用，测量也是不可能的；而范畴学的基本精神就是认为对象之间的相互关系比对象更重要，甚至对象本身就是所有相互关系的反映[11]。

物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性：我们熟知的一个著名问题是：为什么数学对物理有不可思议的有效性（unreasonable effectiveness）[12]？而物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性， 这是一个全新的现象。 要仔细解读这个现象很难，超出了本文的范畴，我们这里只想点出，本文的核心，无穷维上的新数学，给出了一个明显的暗示。一个无穷维的数学结构，如果单从生成元和她们之间的关系的角度看，非常复杂，很难有什么数学直觉。但是如果这个无穷维的数学结构描述的是一个有无穷自由度的物理系统，比如一块固体材料，我们的物理直觉，甚至就是一块固体材料在普通视觉下的效果，也已经是做了很复杂的重整化计算的结果，即把所有微观自由度积分积出来的结果。这一个过程从数学上看是非常不平凡的，也就是说有时候物理直觉本身就是一个不平凡的对无穷自由度的计算结果。也许这就是物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性的一个重要原因。而更重要的是除了普通的视觉，物理学家还发展出很多强大的实验和理论的手段，而每一种对宏观多体系统的物理测量都可以看成是对全体微观自由度的一种类似积分的强大计算。虽然我们还不能理解这种超越性的计算的数学本质，但是可以肯定的是我们可以通过物理测量而获得对一个无穷维的数学结构的某种宏观的理解，这是完全超越传统数学工具的新的强大工具，这是大自然和物理学给数学的意外惊喜。因此我们也可以理解为什么由此发展出来的理论工具，比如一个量子场论的拉格朗日实现或哈密顿量实现，往往为我们提供了难以理解的强大直觉，为一些复杂的数学问题提供意想不到的解答。


另外借助这个语境，我们顺便提一下，无穷维的数学世界展现了很多神奇的对偶现象，这些对偶并不是局限在数学结构之间的同构，可以是更弱意义下的对应，比如一些多体系统和场论里面的 boundary-bulk duality。这些看上去低维度的多体系统能够和高维度的多体系统之间有对偶，其根本原因是二者本质上都是无穷维的。甚至在无穷维的数学世界里面，一个“点”也都是无穷维的。这可能是藏在很多物理全息现象背后的原因。我们希望以后能回到这个话题上来。

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nice

[Caravel]

nice

对，孔良老师从数学角度帮助文小刚用范畴学研究拓扑序，在中国隐然有一个school出来。姑且认为是有点干货

[TheMatrix]

看了。还看了知乎原文。写的很好。

无穷维的数学。他写的不错。

[FoxMe]

作者简介：孔良是美國新罕布夏（New Hampshire）大學數學與統計系講師，研究方向為數學物理

这不是张益唐的同事吗？也是讲师，看来不得了。

[Caravel]

作者简介：孔良是美國新罕布夏（New Hampshire）大學數學與統計系講師，研究方向為數學物理

这不是张益唐的同事吗？也是讲师，看来不得了。

海龟南方科大教授了，看经历似乎也不是很顺，不过最近他跟文小刚一起合作做的很好. 他们一起合作的几个人都拿到清华，港中文的教职。

[SOD]

孔良 研究员
邮箱：kongl@sustech.edu.cn

办公室：台州楼 502-16

研究领域：数学物理 (拓扑量子场论、2维共形场论、范畴学、表示论、拓扑物质态)

基本信息

姓名：孔良

职称：研究员

电 话（办公室）：

办公室地址：台州楼 502-16

邮 箱：kongl@sustc.edu.cn

研究领域：数学物理 (拓扑量子场论、2维共形场论、范畴学、表示论、拓扑物质态)


教育背景

2005.10 博士（数学）Rutgers, the State University of New Jersey

1997.5 硕士（物理学）美国休斯顿大学

1994.7 学士（物理学）中国科学技术大学


工作经历

2018.9- 深圳量子科学与工程研究院，南方科技大学

2017.9-2018.8 北京清华大学丘成桐数学科学中心 （副教授）

2015.7-2016.6 美国哈佛大学数学科学中心 （Research Associate）

2012.9-2017.5 美国University of New Hampshire (讲师)

2009.9--2015.7 北京清华大学高等研究院：副研究员

2005.9--2009.8 德国马普数学研究所（莱比锡、波恩）、法国高等研究院（IHES）， 美国加州理工学院 （博士后）

https://siqse.sustech.edu.cn/Zh/Index/s ... tail/id/34

[SOD]

https://kongliang.wordpress.com/

Home
Education:

Ph. D in Mathematics, Rutgers, the State University of New Jersey (2005)
M.S. in Physics, University of Houston (1997)
B.Sc. in Physics, University of Science and Technology of China (1994)
Career:

Lecturer, University of New Hampshire
Research Associate, Harvard University
Associate Member, Institute for Advanced Study at Tsinghua University, China
Postdoc, California Institute of Technology, USA
Postdoc, Hausdorff Research Institute for Mathematics, Bonn, Germany
Postdoc, Max Planck Institute for Mathematics, Bonn
Postdoc, IHÉS, France
Postdoc, Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Leipzig, Germany

[forecasting]

https://zhuanlan.zhihu.com/p/40231587

摘抄几个片段

在数学内容上的新特征

在数学内容上，无穷维的数学展现出很多新特征和新现象，比如高阶同伦论和高阶范畴的应用，丰富的形变理论和模空间问题，很多神奇的对偶现象，等等。每一个现象都值得我们做深入的分析和解读。而在这里我们仅仅简单谈谈下面三个新特征。

代数方法的重要性：传统物理学大厦建立在微积分的基础上，牛顿把经典力学问题完全化成了微分方程的问题，电动力学和广义相对论也都建立在微分方程的基础上，所以分析的方法在经典的数学物理里面占有举足轻重的地位，大多数物理学家因此相信，方程是表达宇宙的永恒规律的唯一语言，写下以自己名字来命名的方程式大概是几乎所有物理学家的梦想。量子力学诞生以后，虽然方程仍然是主流语言，比如：薛定谔方程和狄拉克方程，但是代数的方法也越来越重要，特别是表示论的重要性变得显而易见，群论和群表示论也已经从最初的一个纯数学分支变成了所有物理学家的通用语言。而且从量子力学的起源上看，海森堡从可观测代数的角度给出的量子力学描述可能更加基本。量子场论兴起以后，分析的方法在半经典的近似下仍然有很大的作为，但是对完全量子化的场论显得有些力不从心，其根本原因是量子物理和牛顿的经典时空观念是格格不入的，而从描述量子世界的数学语言上看，微积分在本质上就是不够的，我们需要一个新的量子化的微积分[8]。 这里的“量子化”有两个不同又彼此相容的意思[9]，

一是在量子物理中，可观测量构成一个非交换的代数（海森堡图像）。如果和量子力学的建立一样，我们把可观测量看做是构建新微积分的出发点的话，那么代数方法将是这个新微积分的核心，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）发展的非交换几何是这一个思路的代表[8]；
另一个是路径积分的，从这个角度看需要无穷维，因为路径空间是无穷维的。从无穷维的角度看，实数就不是一把测量无穷维数学世界的好尺子。所以很多无穷维空间就没有传统意义上的取实数值的测度。这时候我们需要用无穷维的尺子来测量无穷维的世界。 在我们寻找适当的测量无穷维的尺子的时候，尺子内蕴的结构变得更为重要。也许我们最终还是要建立完备的分析的方法和理论，但是这个理论必须建立在我们对无穷维相关数学的基本代数结构的理解之上，就好像实数是由有理数完备化而来，但是这个完备化依赖于有理数上面的代数结构。所以对无穷维上面的数学结构的理解，应该放在完备化之前[10]。



阿兰·孔涅（照片来源：MFO）

70年代以前，物理中的代数方法主要是指群论，现在越来越多的代数结构开始在量子场论的研究中大展身手，比如：无穷维李代数、A-infinity (C-，L-infinity，etc)代数、Hopf 代数、顶点算子代数、张量范畴、factorization algebra，等等。

范畴学的兴起：范畴学起源于代数拓扑，60年代格罗腾迪克（A. Grothendieck）将其变成了代数几何的基础语言，随后其影响逐渐辐射到很多其他领域，因而成就了一股范畴论替代集合论的潮流。到了90年代这个潮流非但没有衰减，反而有了新的强大动力：量子场论或无穷维的数学结构。为什么无穷维的数学要用到范畴学？ 从代数上看，如果我们的尺子是实数（或复数），很多场论的问题就可以化成无穷维的线性代数问题，但是用有限维的尺子去测量无穷维是没有效率的，而特别有效的尺子本身往往就是无穷维的，用了这样的尺子， 很多场论的问题都可以转化成在不平凡的张量范畴里面的代数问题。更多的时候，无穷维丰富的数学结构会让研究者非常迷惑，而范畴学对数学做了一个巨大的统一，很多不同领域看似不同的数学概念，在范畴学的视角里不过是不同范畴里的同一概念。所以在研究无穷维的新数学的时候，范畴学变成了非常有用的语言和导向性工具。不但如此，在物理里面，没有结构的“存在”是不存在的，即使是“点粒子”也不是数学意义上的点而是有很多的结构，很多时候我们希望能够在每一个“点”都带有丰富结构的“数域”上积分，而范畴学其实就提供了一个结构化的微积分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范畴学的基本精神。比如，量子理论把可测量提到了一个最本质的层次，可测的不是基本粒子，而是他们之间的相互作用，没有相互作用，测量也是不可能的；而范畴学的基本精神就是认为对象之间的相互关系比对象更重要，甚至对象本身就是所有相互关系的反映[11]。

物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性：我们熟知的一个著名问题是：为什么数学对物理有不可思议的有效性（unreasonable effectiveness）[12]？而物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性， 这是一个全新的现象。 要仔细解读这个现象很难，超出了本文的范畴，我们这里只想点出，本文的核心，无穷维上的新数学，给出了一个明显的暗示。一个无穷维的数学结构，如果单从生成元和她们之间的关系的角度看，非常复杂，很难有什么数学直觉。但是如果这个无穷维的数学结构描述的是一个有无穷自由度的物理系统，比如一块固体材料，我们的物理直觉，甚至就是一块固体材料在普通视觉下的效果，也已经是做了很复杂的重整化计算的结果，即把所有微观自由度积分积出来的结果。这一个过程从数学上看是非常不平凡的，也就是说有时候物理直觉本身就是一个不平凡的对无穷自由度的计算结果。也许这就是物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性的一个重要原因。而更重要的是除了普通的视觉，物理学家还发展出很多强大的实验和理论的手段，而每一种对宏观多体系统的物理测量都可以看成是对全体微观自由度的一种类似积分的强大计算。虽然我们还不能理解这种超越性的计算的数学本质，但是可以肯定的是我们可以通过物理测量而获得对一个无穷维的数学结构的某种宏观的理解，这是完全超越传统数学工具的新的强大工具，这是大自然和物理学给数学的意外惊喜。因此我们也可以理解为什么由此发展出来的理论工具，比如一个量子场论的拉格朗日实现或哈密顿量实现，往往为我们提供了难以理解的强大直觉，为一些复杂的数学问题提供意想不到的解答。


另外借助这个语境，我们顺便提一下，无穷维的数学世界展现了很多神奇的对偶现象，这些对偶并不是局限在数学结构之间的同构，可以是更弱意义下的对应，比如一些多体系统和场论里面的 boundary-bulk duality。这些看上去低维度的多体系统能够和高维度的多体系统之间有对偶，其根本原因是二者本质上都是无穷维的。甚至在无穷维的数学世界里面，一个“点”也都是无穷维的。这可能是藏在很多物理全息现象背后的原因。我们希望以后能回到这个话题上来。

那篇MIP*=RE的论文否证了孔涅的算子代数的嵌入猜想，Following work of (Fritz, Rev. Math. Phys. 2012) and (Junge et al., J. Math. Phys. 2011) our results provide a refutation of Connes' embedding conjecture from the theory of von Neumann algebras.

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那篇MIP*=RE的论文否证了孔涅的算子代数的嵌入猜想，Following work of (Fritz, Rev. Math. Phys. 2012) and (Junge et al., J. Math. Phys. 2011) our results provide a refutation of Connes' embedding conjecture from the theory of von Neumann algebras.

孔良，老中，不是孔涅

[forecasting]

孔良，老中，不是孔涅

......
一是在量子物理中，可观测量构成一个非交换的代数（海森堡图像）。如果和量子力学的建立一样，我们把可观测量看做是构建新微积分的出发点的话，那么代数方法将是这个新微积分的核心，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）发展的非交换几何是这一个思路的代表[8]；
.......

法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes），说的是他，不是孔良。

这篇论文一连证明了好几个领域/方向的好几个重量级的结论，据说有一个是Fields奖级别的。

[hci]

有“道”的味道了。

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摘抄几个片段

在数学内容上的新特征

在数学内容上，无穷维的数学展现出很多新特征和新现象，比如高阶同伦论和高阶范畴的应用，丰富的形变理论和模空间问题，很多神奇的对偶现象，等等。每一个现象都值得我们做深入的分析和解读。而在这里我们仅仅简单谈谈下面三个新特征。

代数方法的重要性：传统物理学大厦建立在微积分的基础上，牛顿把经典力学问题完全化成了微分方程的问题，电动力学和广义相对论也都建立在微分方程的基础上，所以分析的方法在经典的数学物理里面占有举足轻重的地位，大多数物理学家因此相信，方程是表达宇宙的永恒规律的唯一语言，写下以自己名字来命名的方程式大概是几乎所有物理学家的梦想。量子力学诞生以后，虽然方程仍然是主流语言，比如：薛定谔方程和狄拉克方程，但是代数的方法也越来越重要，特别是表示论的重要性变得显而易见，群论和群表示论也已经从最初的一个纯数学分支变成了所有物理学家的通用语言。而且从量子力学的起源上看，海森堡从可观测代数的角度给出的量子力学描述可能更加基本。量子场论兴起以后，分析的方法在半经典的近似下仍然有很大的作为，但是对完全量子化的场论显得有些力不从心，其根本原因是量子物理和牛顿的经典时空观念是格格不入的，而从描述量子世界的数学语言上看，微积分在本质上就是不够的，我们需要一个新的量子化的微积分[8]。 这里的“量子化”有两个不同又彼此相容的意思[9]，

一是在量子物理中，可观测量构成一个非交换的代数（海森堡图像）。如果和量子力学的建立一样，我们把可观测量看做是构建新微积分的出发点的话，那么代数方法将是这个新微积分的核心，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）发展的非交换几何是这一个思路的代表[8]；
另一个是路径积分的，从这个角度看需要无穷维，因为路径空间是无穷维的。从无穷维的角度看，实数就不是一把测量无穷维数学世界的好尺子。所以很多无穷维空间就没有传统意义上的取实数值的测度。这时候我们需要用无穷维的尺子来测量无穷维的世界。 在我们寻找适当的测量无穷维的尺子的时候，尺子内蕴的结构变得更为重要。也许我们最终还是要建立完备的分析的方法和理论，但是这个理论必须建立在我们对无穷维相关数学的基本代数结构的理解之上，就好像实数是由有理数完备化而来，但是这个完备化依赖于有理数上面的代数结构。所以对无穷维上面的数学结构的理解，应该放在完备化之前[10]。



阿兰·孔涅（照片来源：MFO）

70年代以前，物理中的代数方法主要是指群论，现在越来越多的代数结构开始在量子场论的研究中大展身手，比如：无穷维李代数、A-infinity (C-，L-infinity，etc)代数、Hopf 代数、顶点算子代数、张量范畴、factorization algebra，等等。

范畴学的兴起：范畴学起源于代数拓扑，60年代格罗腾迪克（A. Grothendieck）将其变成了代数几何的基础语言，随后其影响逐渐辐射到很多其他领域，因而成就了一股范畴论替代集合论的潮流。到了90年代这个潮流非但没有衰减，反而有了新的强大动力：量子场论或无穷维的数学结构。为什么无穷维的数学要用到范畴学？ 从代数上看，如果我们的尺子是实数（或复数），很多场论的问题就可以化成无穷维的线性代数问题，但是用有限维的尺子去测量无穷维是没有效率的，而特别有效的尺子本身往往就是无穷维的，用了这样的尺子， 很多场论的问题都可以转化成在不平凡的张量范畴里面的代数问题。更多的时候，无穷维丰富的数学结构会让研究者非常迷惑，而范畴学对数学做了一个巨大的统一，很多不同领域看似不同的数学概念，在范畴学的视角里不过是不同范畴里的同一概念。所以在研究无穷维的新数学的时候，范畴学变成了非常有用的语言和导向性工具。不但如此，在物理里面，没有结构的“存在”是不存在的，即使是“点粒子”也不是数学意义上的点而是有很多的结构，很多时候我们希望能够在每一个“点”都带有丰富结构的“数域”上积分，而范畴学其实就提供了一个结构化的微积分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范畴学的基本精神。比如，量子理论把可测量提到了一个最本质的层次，可测的不是基本粒子，而是他们之间的相互作用，没有相互作用，测量也是不可能的；而范畴学的基本精神就是认为对象之间的相互关系比对象更重要，甚至对象本身就是所有相互关系的反映[11]。

物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性：我们熟知的一个著名问题是：为什么数学对物理有不可思议的有效性（unreasonable effectiveness）[12]？而物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性， 这是一个全新的现象。 要仔细解读这个现象很难，超出了本文的范畴，我们这里只想点出，本文的核心，无穷维上的新数学，给出了一个明显的暗示。一个无穷维的数学结构，如果单从生成元和她们之间的关系的角度看，非常复杂，很难有什么数学直觉。但是如果这个无穷维的数学结构描述的是一个有无穷自由度的物理系统，比如一块固体材料，我们的物理直觉，甚至就是一块固体材料在普通视觉下的效果，也已经是做了很复杂的重整化计算的结果，即把所有微观自由度积分积出来的结果。这一个过程从数学上看是非常不平凡的，也就是说有时候物理直觉本身就是一个不平凡的对无穷自由度的计算结果。也许这就是物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性的一个重要原因。而更重要的是除了普通的视觉，物理学家还发展出很多强大的实验和理论的手段，而每一种对宏观多体系统的物理测量都可以看成是对全体微观自由度的一种类似积分的强大计算。虽然我们还不能理解这种超越性的计算的数学本质，但是可以肯定的是我们可以通过物理测量而获得对一个无穷维的数学结构的某种宏观的理解，这是完全超越传统数学工具的新的强大工具，这是大自然和物理学给数学的意外惊喜。因此我们也可以理解为什么由此发展出来的理论工具，比如一个量子场论的拉格朗日实现或哈密顿量实现，往往为我们提供了难以理解的强大直觉，为一些复杂的数学问题提供意想不到的解答。


另外借助这个语境，我们顺便提一下，无穷维的数学世界展现了很多神奇的对偶现象，这些对偶并不是局限在数学结构之间的同构，可以是更弱意义下的对应，比如一些多体系统和场论里面的 boundary-bulk duality。这些看上去低维度的多体系统能够和高维度的多体系统之间有对偶，其根本原因是二者本质上都是无穷维的。甚至在无穷维的数学世界里面，一个“点”也都是无穷维的。这可能是藏在很多物理全息现象背后的原因。我们希望以后能回到这个话题上来。

[pplar]

Ph. D in Mathematics, Rutgers, the State University of New Jersey (2005)
M.S. in Physics, University of Houston (1997)
B.Sc. in Physics, University of Science and Technology of China (1994)

看这个背景，一般。

添加个link:

https://kongliang.wordpress.com/2017/01 ... 学物理对数学的影响/

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Ph. D in Mathematics, Rutgers, the State University of New Jersey (2005)
M.S. in Physics, University of Houston (1997)
B.Sc. in Physics, University of Science and Technology of China (1994)

看这个背景，一般。

添加个link:

https://kongliang.wordpress.com/2017/01 ... 学物理对数学的影响/

出身不能说明什么，做拓扑序的数学已经做到世界的前列。

[pplar]

出身不能说明什么，做拓扑序的数学已经做到世界的前列。

合理。

看孔良PhD之后，做这么些年的博士后，肯定是抓住问题不放手的主，做研究的料。

[Caravel]

合理。

看孔良PhD之后，做这么些年的博士后，肯定是抓住问题不放手的主，做研究的料。

我看过他报告的视屏，有点狂热，但是兴趣较窄，基本他就搞自己的东西，自称民科。

[verdelite]

我看过他报告的视屏，有点狂热，但是兴趣较窄，基本他就搞自己的东西，自称民科。

兴趣宽就搞不出来东西了。兴趣窄是好事。

[forecasting]

兴趣宽就搞不出来东西了。兴趣窄是好事。

基础和兴趣可以适当宽一些，研究的方向专一点，宜于研究，也宜于拓宽，宜于发展。