新未名空间

别处听到的题：一架客机100个座位，100名乘客排队登机，每人都预先定好了座位号；第一位乘客忘了自己的座位号，于是随机选了一个座位；后面的乘客们都能记住自己的座位号，同时每个人都采取如下策略：如果自己的座位空着就在自己的座位落座，如果自己的座位被别人占了就随机找一个空位坐下。

1. 你是排队的最后一位（第100位登机），问：你的座位仍然空着的概率是多少？
2. 附加题：如果你是第n位登机的乘客（1 < n < 101），你登机后的你座位仍然空着的概率是多少？

令第k人登机时，自己座位被占的概率为Pk。则P2=1/100。
P3=1/100+P2*1/99。
P4=1/100+P2*1/99+P3*1/98。
P100=1/100+P2*1/99+...+P99*1/2。

完

verdelite 写了： 2022年 12月 29日 20:01 令第k人登机时，自己座位被占的概率为Pk。则P2=1/100。
P3=1/100+P2*1/99。
P4=1/100+P2*1/99+P3*1/98。
P100=1/100+P2*1/99+...+P99*1/2。

完

你这是按条件概率推的，公式正确。

但是，P100等于多少？（提示：P100是一个很简洁的数，也可以通过别的思考方式得到；一般的Pk可能会很繁（我不清楚）。）

1/2

没意思，问题太老了

shuntianfu 写了： 2022年 12月 29日 20:251/2

shuntianfu 写了： 2022年 12月 29日 20:27没意思，问题太老了

世界上哪有那么多真正的新题啊。能不能说说你的1/2是怎么推出来的？

YWY 写了： 2022年 12月 29日 20:40 世界上哪有那么多真正的新题啊。能不能说说你的1/2是怎么推出来的？

背出来的

shuntianfu 写了： 2022年 12月 29日 20:43 背出来的

你这属于头脑里面的无用知识。

YWY 写了： 2022年 12月 29日 20:21 你这是按条件概率推的，公式正确。

但是，P100等于多少？（提示：P100是一个很简洁的数，也可以通过别的思考方式得到；一般的Pk可能会很繁（我不清楚）。）

按照上面公式:


1/100, 1/99, 1/98,...,1/3, 1/2

（ヅ） 写了： 2022年 12月 29日 21:46 按照上面公式:


1/100, 1/99, 1/98,...,1/3, 1/2

是的，我没有继续到完成。当时以为复杂。

令第k人登机时，自己座位被占的概率为Pk。则P2=1/100。
P3=1/100+P2*1/99=1/100（1+1/99）=1/99。
P4=1/100+P2*1/99+P3*1/98=P3+P3*1/98=1/98。
P100=1/100+P2*1/99+...+P99*1/2=1/2。

（ヅ） 写了： 2022年 12月 29日 21:46 按照上面公式:

1/100, 1/99, 1/98,...,1/3, 1/2

verdelite 写了： 2022年 12月 29日 21:50 是的，我没有继续到完成。当时以为复杂。

令第k人登机时，自己座位被占的概率为Pk。则P2=1/100。
P3=1/100+P2*1/99=1/100（1+1/99）=1/99。
P4=1/100+P2*1/99+P3*1/98=P3+P3*1/98=1/98。
P100=1/100+P2*1/99+...+P99*1/2=1/2。

如此简单的答案，背后有个比较直观的解释。换个角度看问题，可能会有奇妙的效果。

YWY 写了： 2022年 12月 29日 19:14 别处听到的题：一架客机100个座位，100名乘客排队登机，每人都预先定好了座位号；第一位乘客忘了自己的座位号，于是随机选了一个座位；后面的乘客们都能记住自己的座位号，同时每个人都采取如下策略：如果自己的座位空着就在自己的座位落座，如果自己的座位被别人占了就随机找一个空位坐下。

1. 你是排队的最后一位（第100位登机），问：你的座位仍然空着的概率是多少？
2. 附加题：如果你是第n位登机的乘客（1 < n < 101），你登机后的你座位仍然空着的概率是多少？

上面的答案和解题思路完全正确，但也可以通过下面的思考方式得到：方便起见，假定你是排队登机的第n个乘客，前面的乘客都就座了。此时可以肯定的是，第2名一直到第n-1名乘客的预定座位都有人落座，同时还有一人坐在了第2名到第n-1名乘客的预定座位集合的外面，假定这个座位是预定给乘客x的。能够看出，x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。所以，第n位乘客登机时（n > 1），x = n的概率是1/(100-n+2)，也就是自己座位被别人坐下的概率。

YWY 写了： 2022年 12月 30日 12:32 上面的答案和解题思路完全正确，但也可以通过下面的思考方式得到：方便起见，假定你是排队登机的第n个乘客，前面的乘客都就座了。此时可以肯定的是，第2名一直到第n-1名乘客的预定座位都有人落座，同时还有一人坐在了第2名到第n-1名乘客的预定座位集合的外面，假定这个座位是预定给乘客x的。能够看出，x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。所以，第n位乘客登机时（n > 1），x = n的概率是1/(100-n+2)，也就是自己座位被别人坐下的概率。

这表述有点问题吧 。里面有：“x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。”。如果我们令乘客按照高矮排队给号，x等于集合里任一乘客的概率就不相等了。但是原题结论应该不变。所以此题应该和乘客与号码的对应关系是不是随机无关。

verdelite 写了： 2022年 12月 30日 13:02 这表述有点问题吧 。里面有：“x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。”。如果我们令乘客按照高矮排队给号，x等于集合里任一乘客的概率就不相等了。但是原题结论应该不变。所以此题应该和乘客与号码的对应关系是不是随机无关。

令乘客按照高矮排队给号，也可以啊（假定第一个忘记自己座位），依旧是x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。

YWY 写了： 2022年 12月 30日 13:09 令乘客按照高矮排队给号，也可以啊（假定第一个忘记自己座位），依旧是x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。

第n个座位必定是预定给旅客x=n的，x=n的概率是1，等于别的数字的概率是0。

verdelite 写了： 2022年 12月 30日 13:14 第n个座位必定是预定给旅客x=n的，x=n的概率是1，等于别的数字的概率是0。

那你先说“令乘客按照高矮排队给号”是啥意思？我以为是登机时让乘客按身高排队，而乘客的的座位都提前预定好了。

你难道是说按乘客们的身高预定座位？然后登机时令乘客按照高矮排队？其实即便这样的话，假定第一个乘客（真的）忘了自己的座位，然后随机找一个座位，后面的乘客也按照我一楼说的那样做，那么等第n位登机时，依旧是x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。

YWY 写了： 2022年 12月 30日 13:25 那你先说“令乘客按照高矮排队给号”是啥意思？我以为是登机时让乘客按身高排队，而乘客的的座位都提前预定好了。

你难道是说按乘客们的身高发放座位？其实即便这样的话，假定第一个乘客忘了自己的座位，然后随机找一个座位，后面的乘客也按照我一楼说的那样做，那么依旧是x属于集合{1, n, n+1, ..., 100}，而且x等于集合里任一乘客的概率相等。

我的意思的是顾客预订的时候是按照身高顺序预定的。来登机也是按照身高顺序排队的。

我的意思是随机性来源于顾客看到自己的座位被占后随机选座，不来自于第x个顾客是不是第n个。所以你的答案里面那个表述是不必要的，混淆了随机性的来源。

verdelite 写了： 2022年 12月 30日 13:36 我的意思的是顾客预订的时候是按照身高顺序预定的。来登机也是按照身高顺序排队的。

我的意思是随机性来源于顾客看到自己的座位被占后随机选座，不来自于第x个顾客是不是第n个。所以你的答案里面那个表述是不必要的，混淆了随机性的来源。

我上面已经回答了。请注意我在上面是怎么定义x的。

YWY 写了： 2022年 12月 30日 13:37 我上面已经回答了。请注意我在上面是怎么定义x的。

重看了几遍才看明白我前面看错了，那我去把帖子里的错话划掉。