共 7 条评论

1. 

   wanmeishijie[博主]

   昨天 16:17

   Caravel 写了： 昨天 15:34

   Gemini算出来就是5800K

   但他的推理过程不严谨。

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2. 

   Caravel

   昨天 15:34

   huangchong 写了： 昨天 15:17

   再说，在地面上随便弄个10cm凸透镜，就能烧着纸，显然不会只有122C。弄个大凸透镜直接汇聚一半的太阳辐射，怎么也比这强吧。

   要算光加热一个物体能达到的温度，一个必须考虑的问题是散热，如果把目标装在理想绝热材料里（比如目标放在只开小孔的热水瓶里，能量光进不出，那理论上讲，拿个手电筒都能把目标加热到很高温度。

   Gemini算出来就是5800K

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3. 

   wanmeishijie[博主]

   昨天 15:25

   huangchong 写了： 昨天 15:17

   再说，在地面上随便弄个10cm凸透镜，就能烧着纸，显然不会只有122C。弄个大凸透镜直接汇聚一半的太阳辐射，怎么也比这强吧。

   要算光加热一个物体能达到的温度，一个必须考虑的问题是散热，如果把目标装在理想绝热材料里（比如目标放在只开小孔的热水瓶里，能量光进不出，那理论上讲，拿个手电筒都能把目标加热到很高温度。

   这个物体，当然也是绝对黑体，不传导热量的，但是自己可以有辐射。

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4. 

   huangchong

   昨天 15:17

   再说，在地面上随便弄个10cm凸透镜，就能烧着纸，显然不会只有122C。弄个大凸透镜直接汇聚一半的太阳辐射，怎么也比这强吧。

   要算光加热一个物体能达到的温度，一个必须考虑的问题是散热，如果把目标装在理想绝热材料里（比如目标放在只开小孔的热水瓶里，能量光进不出，那理论上讲，拿个手电筒都能把目标加热到很高温度。

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5. 

   huangchong

   昨天 15:08

   wanmeishijie 写了： 昨天 15:04

   你这个说法我查到了，但是有问题。它的核心逻辑是，太阳在地表上成实像，实像的size不能无限小。但这个说法是有问题的。此外，AI一般将这个说法推广到一切被动光学器件，例如反射镜。但我们做思想实验，假设单位时间太阳发射出的光子数量为N，我们用N条光纤对准，将N个光子汇聚到一起，那么辐射通量密度可以达到一个极高水平。

   不用任何聚焦，月亮表面温度就有150C，所以ai说的明显不对。

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6. 

   wanmeishijie[博主]

   昨天 15:04

   superdsb 写了： 昨天 14:56

   您的问题非常深刻，它触及了热力学、光学和能量守恒的核心概念。您的直觉是正确的：虽然热力学第二定律规定了上限是太阳表面温度（_{5800K），但在实际的光学聚焦系统中，存在一个更低的、由几何光学和能量守恒决定的上限。}

   这个更高的温度来自于一个关键事实：我们收集的是来自一个有限大小的扩展光源（太阳）的光，而不是来自一个方向的光线。

   以下是详细的推导和解释：

   1. 关键概念：étendue（光学扩展量）与亮度守恒

   在光学系统中，有一个称为 étendue 或 光学扩展量 的量是守恒的（在无像差、无衍射的理想系统中）。它决定了光学系统能够传输的辐射通量以及能够达到的最大聚光能力。

   对于一个光源和光学系统，其 étendue 可以简化为：
   $$ A \Omega = \text{常数} $$
   其中：

   • $A$ 是光束横截面积
   • $\Omega$ 是光束的立体角

   亮度（Radiance） 是单位面积、单位立体角的辐射功率。亮度守恒定律指出，在一个无损耗的光学系统中，像的亮度不可能高于物的亮度。太阳表面的亮度是 $L{sun}$，那么地球上任何由太阳光形成的像，其亮度最大也只能是 $L{sun}$。

   2. 推导最大汇聚温度

   我们的目标是使用一个无限大的理想凸透镜，将太阳光聚焦到一个点上。虽然“点”在物理上不存在，但我们可以考虑聚焦到一个极小的区域。

   步骤一：计算太阳表面的亮度（Radiance）$L_{sun}$

   太阳被认为是黑体，其表面亮度由普朗克定律给出，但对全波段积分后，黑体的总亮度有一个简单的公式：
   $$ L{sun} = \frac{\sigma T{sun}⁴}{\pi} $$
   其中 $\sigma$ 是斯特藩-玻尔兹曼常数，$T_{sun} = 5800 \text{ K}$。除以 $\pi$ 是因为黑体辐射是朗伯体，其亮度是辐射出射度除以 $\pi$。

   步骤二：计算透镜收集的功率（Flux）

   太阳常数 $J = 1362 \text{ W/m}²$ 表示在地球位置，垂直于太阳光的单位面积上接收到的太阳总功率。

   对于一个面积为 $A{lens}$ 的理想透镜，它收集到的总功率 $P$ 为：
   $$ P = J \cdot A{lens} $$

   步骤三：计算焦点处的理论最小像斑面积 $A_{image}$

   这就是问题的关键。太阳不是一个点光源，而是一个张角为 $\theta$ 的扩展光源。根据几何光学，任何一个光学系统将一个扩展光源聚焦，所能得到的最小像斑（在衍射极限之前）是由这个张角决定的。

   太阳的张角很小（约0.53°），其立体角为：
   $$ \Omega_{sun} = \pi \theta² \approx \pi \left( \frac{R}{D} \right)² $$
   ($\theta \approx R/D$，因为角度很小)

   对于一个理想光学系统，它将入射光会聚到一个锥角为 $\theta$ 的圆锥内。在焦点处，这个光锥会形成一个最小的光斑，其面积 $A{image}$ 由下式给出：
   $$ A{image} \cdot \Omega{sun} = A{lens} \cdot \Omega_{lens} $$

   由于透镜收集的是整个太阳的光，$\Omega{lens}$（从光源看透镜的立体角）和 $\Omega{sun}$ 是匹配的。最终，最小像斑面积的公式可以推导为：
   $$ A{image} = \frac{A{lens}}{\pi} \left( \frac{R}{D} \right)² = \frac{A_{lens}}{\pi} \theta² $$

   步骤四：应用亮度守恒定律计算焦点处的最大功率密度

   焦点处的亮度 $L{image}$ 最大只能等于太阳表面的亮度 $L{sun}$（假设透镜完美无损耗）。
   $$ L{image}^{max} = L{sun} = \frac{\sigma T_{sun}⁴}{\pi} $$

   辐射通量密度（Irradiance）$J{focus}$ 是亮度对立体角的积分。在焦点处，光来自整个半球（$2\pi$ 球面度），但我们的光只填充了立体角 $\Omega{sun}$。因此，最大通量密度为：
   $$ J{focus}^{max} = L{image}^{max} \cdot \Omega{sun} = \left( \frac{\sigma T{sun}⁴}{\pi} \right) \cdot \left( \pi \left( \frac{R}{D} \right)² \right) = \sigma T_{sun}⁴ \left( \frac{R}{D} \right)² $$

   步骤五：将最大功率密度与黑体辐射定律关联，求解温度

   现在，假设焦点处的这个高温区域本身像一个黑体一样辐射。根据斯特藩-玻尔兹曼定律，一个温度为 $T$ 的黑体，其辐射通量为 $\sigma T⁴$。

   在热平衡状态下，它吸收的功率等于辐射的功率。因此，焦点处能达到的最高温度 $T{max}$ 满足：
   $$ \sigma T{max}⁴ = J_{focus}^{max} $$

   将第四步的公式代入：
   $$ \sigma T{max}⁴ = \sigma T{sun}⁴ \left( \frac{R}{D} \right)² $$

   两边同时除以 $\sigma$：
   $$ T{max}⁴ = T{sun}⁴ \left( \frac{R}{D} \right)² $$

   最终，得到最大温度的表达式：
   $$ T{max} = T{sun} \sqrt{ \frac{R}{D} } $$

   3. 代入数值计算

   已知：

   • $T_{sun} = 5800 \text{ K}$
   • $R = 6.96 \times 10⁸ \text{ m}$ (太阳半径)
   • $D = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$ (日地平均距离)
   • $\frac{R}{D} \approx \frac{6.96 \times 10⁸}{1.496 \times 10^{11}} \approx 4.65 \times 10^{-3}$

   代入公式：
   $$ T{max} = 5800 \text{ K} \times \sqrt{4.65 \times 10^{-3}} $$
   $$ T{max} = 5800 \text{ K} \times 0.0682 $$
   $$ T_{max} \approx 395 \text{ K} $$

   计算结果约为 395 K，即约 122 °C。

   讨论与结论

   1. 为什么不是5800K？：热力学第二定律禁止的是无代价地将低温热源的能量传递给高温热源。用一个透镜聚焦太阳光，代价就是牺牲了面积。你将一个巨大透镜（$A{lens}$）收集到的所有能量，压缩到了一个非常小的区域（$A{image}$），但这个区域的面积不可能为零，其下限由太阳的角半径 $\theta$ 决定。能量被压缩的程度是有限的，因此温度的提升也是有限的。

   2. 物理意义：公式 $T{max} = T{sun} \sqrt{R/D}$ 极其优美。它表明，最大汇聚温度只与太阳本身的温度和张角 ($\theta = R/D$) 有关，与透镜的大小无关（只要透镜足够大，能捕捉到“无限尺寸”近似下的所有光线）。更大的透镜只会收集更多功率，但也会成比例地产生更大的像斑，从而保持功率密度（即温度）不变。

   3. 现实意义：这个计算解释了为什么我们无法用任何尺寸的透镜或镜子在地球上汇聚阳光来达到太阳表面的温度（例如用于核聚变等）。即使是理想光学系统，在地球附近，太阳光汇聚的理论上限也远低于5800K，大约只有400K左右。要达到更高的温度，必须离太阳更近（减小 $D$），或者去汇聚一个张角更小的光源（例如恒星）。

   总结：使用无限大的理想凸透镜在地球上汇聚太阳光，所能达到的最高温度由公式 $T{max} = T{sun} \sqrt{R/D}$ 决定，计算结果约为395 K（122 °C），远低于太阳表面温度5800 K。这个上限是由太阳的角尺寸和亮度守恒定律共同决定的。

   你这个说法我查到了，但是有问题。它的核心逻辑是，太阳在地表上成实像，实像的size不能无限小。但这个说法是有问题的。此外，AI一般将这个说法推广到一切被动光学器件，例如反射镜。但我们做思想实验，假设单位时间太阳发射出的光子数量为N，我们用N条光纤对准，将N个光子汇聚到一起，那么辐射通量密度可以达到一个极高水平。

   评论
7. 

   superdsb

   昨天 14:56

   您的问题非常深刻，它触及了热力学、光学和能量守恒的核心概念。您的直觉是正确的：虽然热力学第二定律规定了上限是太阳表面温度（_{5800K），但在实际的光学聚焦系统中，存在一个更低的、由几何光学和能量守恒决定的上限。}

   这个更高的温度来自于一个关键事实：我们收集的是来自一个有限大小的扩展光源（太阳）的光，而不是来自一个方向的光线。

   以下是详细的推导和解释：

   1. 关键概念：étendue（光学扩展量）与亮度守恒

   在光学系统中，有一个称为 étendue 或 光学扩展量 的量是守恒的（在无像差、无衍射的理想系统中）。它决定了光学系统能够传输的辐射通量以及能够达到的最大聚光能力。

   对于一个光源和光学系统，其 étendue 可以简化为：
   $$ A \Omega = \text{常数} $$
   其中：

   • $A$ 是光束横截面积
   • $\Omega$ 是光束的立体角

   亮度（Radiance） 是单位面积、单位立体角的辐射功率。亮度守恒定律指出，在一个无损耗的光学系统中，像的亮度不可能高于物的亮度。太阳表面的亮度是 $L{sun}$，那么地球上任何由太阳光形成的像，其亮度最大也只能是 $L{sun}$。

   2. 推导最大汇聚温度

   我们的目标是使用一个无限大的理想凸透镜，将太阳光聚焦到一个点上。虽然“点”在物理上不存在，但我们可以考虑聚焦到一个极小的区域。

   步骤一：计算太阳表面的亮度（Radiance）$L_{sun}$

   太阳被认为是黑体，其表面亮度由普朗克定律给出，但对全波段积分后，黑体的总亮度有一个简单的公式：
   $$ L{sun} = \frac{\sigma T{sun}⁴}{\pi} $$
   其中 $\sigma$ 是斯特藩-玻尔兹曼常数，$T_{sun} = 5800 \text{ K}$。除以 $\pi$ 是因为黑体辐射是朗伯体，其亮度是辐射出射度除以 $\pi$。

   步骤二：计算透镜收集的功率（Flux）

   太阳常数 $J = 1362 \text{ W/m}²$ 表示在地球位置，垂直于太阳光的单位面积上接收到的太阳总功率。

   对于一个面积为 $A{lens}$ 的理想透镜，它收集到的总功率 $P$ 为：
   $$ P = J \cdot A{lens} $$

   步骤三：计算焦点处的理论最小像斑面积 $A_{image}$

   这就是问题的关键。太阳不是一个点光源，而是一个张角为 $\theta$ 的扩展光源。根据几何光学，任何一个光学系统将一个扩展光源聚焦，所能得到的最小像斑（在衍射极限之前）是由这个张角决定的。

   太阳的张角很小（约0.53°），其立体角为：
   $$ \Omega_{sun} = \pi \theta² \approx \pi \left( \frac{R}{D} \right)² $$
   ($\theta \approx R/D$，因为角度很小)

   对于一个理想光学系统，它将入射光会聚到一个锥角为 $\theta$ 的圆锥内。在焦点处，这个光锥会形成一个最小的光斑，其面积 $A{image}$ 由下式给出：
   $$ A{image} \cdot \Omega{sun} = A{lens} \cdot \Omega_{lens} $$

   由于透镜收集的是整个太阳的光，$\Omega{lens}$（从光源看透镜的立体角）和 $\Omega{sun}$ 是匹配的。最终，最小像斑面积的公式可以推导为：
   $$ A{image} = \frac{A{lens}}{\pi} \left( \frac{R}{D} \right)² = \frac{A_{lens}}{\pi} \theta² $$

   步骤四：应用亮度守恒定律计算焦点处的最大功率密度

   焦点处的亮度 $L{image}$ 最大只能等于太阳表面的亮度 $L{sun}$（假设透镜完美无损耗）。
   $$ L{image}^{max} = L{sun} = \frac{\sigma T_{sun}⁴}{\pi} $$

   辐射通量密度（Irradiance）$J{focus}$ 是亮度对立体角的积分。在焦点处，光来自整个半球（$2\pi$ 球面度），但我们的光只填充了立体角 $\Omega{sun}$。因此，最大通量密度为：
   $$ J{focus}^{max} = L{image}^{max} \cdot \Omega{sun} = \left( \frac{\sigma T{sun}⁴}{\pi} \right) \cdot \left( \pi \left( \frac{R}{D} \right)² \right) = \sigma T_{sun}⁴ \left( \frac{R}{D} \right)² $$

   步骤五：将最大功率密度与黑体辐射定律关联，求解温度

   现在，假设焦点处的这个高温区域本身像一个黑体一样辐射。根据斯特藩-玻尔兹曼定律，一个温度为 $T$ 的黑体，其辐射通量为 $\sigma T⁴$。

   在热平衡状态下，它吸收的功率等于辐射的功率。因此，焦点处能达到的最高温度 $T{max}$ 满足：
   $$ \sigma T{max}⁴ = J_{focus}^{max} $$

   将第四步的公式代入：
   $$ \sigma T{max}⁴ = \sigma T{sun}⁴ \left( \frac{R}{D} \right)² $$

   两边同时除以 $\sigma$：
   $$ T{max}⁴ = T{sun}⁴ \left( \frac{R}{D} \right)² $$

   最终，得到最大温度的表达式：
   $$ T{max} = T{sun} \sqrt{ \frac{R}{D} } $$

   3. 代入数值计算

   已知：

   • $T_{sun} = 5800 \text{ K}$
   • $R = 6.96 \times 10⁸ \text{ m}$ (太阳半径)
   • $D = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$ (日地平均距离)
   • $\frac{R}{D} \approx \frac{6.96 \times 10⁸}{1.496 \times 10^{11}} \approx 4.65 \times 10^{-3}$

   代入公式：
   $$ T{max} = 5800 \text{ K} \times \sqrt{4.65 \times 10^{-3}} $$
   $$ T{max} = 5800 \text{ K} \times 0.0682 $$
   $$ T_{max} \approx 395 \text{ K} $$

   计算结果约为 395 K，即约 122 °C。

   讨论与结论

   1. 为什么不是5800K？：热力学第二定律禁止的是无代价地将低温热源的能量传递给高温热源。用一个透镜聚焦太阳光，代价就是牺牲了面积。你将一个巨大透镜（$A{lens}$）收集到的所有能量，压缩到了一个非常小的区域（$A{image}$），但这个区域的面积不可能为零，其下限由太阳的角半径 $\theta$ 决定。能量被压缩的程度是有限的，因此温度的提升也是有限的。

   2. 物理意义：公式 $T{max} = T{sun} \sqrt{R/D}$ 极其优美。它表明，最大汇聚温度只与太阳本身的温度和张角 ($\theta = R/D$) 有关，与透镜的大小无关（只要透镜足够大，能捕捉到“无限尺寸”近似下的所有光线）。更大的透镜只会收集更多功率，但也会成比例地产生更大的像斑，从而保持功率密度（即温度）不变。

   3. 现实意义：这个计算解释了为什么我们无法用任何尺寸的透镜或镜子在地球上汇聚阳光来达到太阳表面的温度（例如用于核聚变等）。即使是理想光学系统，在地球附近，太阳光汇聚的理论上限也远低于5800K，大约只有400K左右。要达到更高的温度，必须离太阳更近（减小 $D$），或者去汇聚一个张角更小的光源（例如恒星）。

   总结：使用无限大的理想凸透镜在地球上汇聚太阳光，所能达到的最高温度由公式 $T{max} = T{sun} \sqrt{R/D}$ 决定，计算结果约为395 K（122 °C），远低于太阳表面温度5800 K。这个上限是由太阳的角尺寸和亮度守恒定律共同决定的。

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