给定一个函数f(x)，我们希望能把自变量替换成y=f'(x)。能够这样做的唯一条件是f'(x)是一一映射。一一映射的话 x <--> y 用哪个做自变量都是可以的。f'(x)是一一映射，就意味着这个导函数单调 - 单增或单减。所以原函数 f(x)就是凸函数。
因为y=f'(x)是一一映射，所以 x=f'^{-1}(y)。我们还希望找到一个函数g，使 x=g'(y)。因为导函数比反函数容易计算。用分部积分法，我们有，g = \int x dy = xy - \int y dx = xy - f。
现在不但把自变量 x 换成了 y，还找到了一个函数 g，使得 x=g'(y)。这个换元的方法，就叫Legendre transformation。函数也算上的话，也可以把 {x,f} --> {y,g} 一起叫做Legendre transformation。
显然，{y,g} --> {x,f} 也是Legendre transformation。
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下面讲一下 Legendre transformation 的 motivation。
这在分析力学里非常关键：拉格朗日量为 L(q,x)，其中q是configuration space里的坐标，x=\dot{q}，是q的时间导数。如果 L(q,x)关于x为凸函数，用Legendre transformation，x换元成y，其中 y= d/dx L(q,x)，其中d为偏导数 (fix q)，同时还得到一个 H(q,y) = xy - L，哈密顿量。
为什么要用导函数 y 来替换 x？这是因为拉格朗日动力学方程可以写为：
d/dq L = d/dt (d/dx L)
换元之后，
d/dq L = d/dt y
二阶微分方程变成了一阶微分方程。
d/dq L = - d/dq H，因为我们对q求偏导，fix x，同时也fix y。
所以 d/dt y = - d/dq H (1)。
再加上Legendre transformation自带的：
x = d/dy H
也就是 d/dt q = d/dy H (2)。
(1)(2)放在一起：
d/dt (y,q) = (-d/dq H, d/dy H)，这就是哈密顿力学的运动学方程。
动力学方程变成运动学方程。