新未名空间

Harvard University's Math 55 (Math 55a and Math 55b) does not have a single permanent textbook, as reading lists change depending on the professor. However, 

several classic advanced mathematics texts

 are frequently assigned or recommended across different iterations of the course. [1, 2, 3] 

Core Textbooks by Subject Area 

Linear Algebra & Abstract Algebra (Math 55a)

Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler 

Algebra by Michael Artin 

Representation Theory: A First Course by William Fulton and Joe Harris 

Finite-Dimensional Vector Spaces by Paul Halmos 

Naive Set Theory by Paul Halmos (recommended background) [2, 3, 4] 

Real & Complex Analysis and Topology (Math 55b)

Principles of Mathematical Analysis ("Baby Rudin") by Walter Rudin 

Topology by James Munkres 

Complex Analysis by Lars Ahlfors 

Calculus on Manifolds by Michael Spivak [1, 2, 3, 5] 

Historical and Reference Texts 

Advanced Calculus by Lynn H. Loomis and Shlomo Sternberg — Originally written as lecture notes for Math 55 in the 1960s by the course's founders, this text was assigned for many years as a comprehensive unified approach to abstract analysis and linear algebra. AI responses may include mistakes.

[1] https://abel.math.harvard.edu/archive/55a_fall_04/old/syllabus.html

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Math_55

[3] https://www.quora.com/What-are-the-standard-topics-covered-in-a-typical-Math-55-course-at-Harvard

[4] https://people.math.harvard.edu/_ctm/home/text/class/harvard/55a/08/html/syl.html

[5] https://www.quora.com/What-textbooks-are-used-in-Harvard-Math-55

pplar 写了： 2026年 8月 31日 10:14

Harvard University's Math 55 (Math 55a and Math 55b) does not have a single permanent textbook, as reading lists change depending on the professor. However, 

several classic advanced mathematics texts

 are frequently assigned or recommended across different iterations of the course. [1, 2, 3] 

Core Textbooks by Subject Area 

Linear Algebra & Abstract Algebra (Math 55a)

Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler 

Algebra by Michael Artin 

Representation Theory: A First Course by William Fulton and Joe Harris 

Finite-Dimensional Vector Spaces by Paul Halmos 

Naive Set Theory by Paul Halmos (recommended background) [2, 3, 4] 

Real & Complex Analysis and Topology (Math 55b)

Principles of Mathematical Analysis ("Baby Rudin") by Walter Rudin 

Topology by James Munkres 

Complex Analysis by Lars Ahlfors 

Calculus on Manifolds by Michael Spivak [1, 2, 3, 5] 

Historical and Reference Texts 

Advanced Calculus by Lynn H. Loomis and Shlomo Sternberg — Originally written as lecture notes for Math 55 in the 1960s by the course's founders, this text was assigned for many years as a comprehensive unified approach to abstract analysis and linear algebra. AI responses may include mistakes.

[1] https://abel.math.harvard.edu/archive/55a_fall_04/old/syllabus.html

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Math_55

[3] https://www.quora.com/What-are-the-standard-topics-covered-in-a-typical-Math-55-course-at-Harvard

[4] https://people.math.harvard.edu/_ctm/home/text/class/harvard/55a/08/html/syl.html

[5] https://www.quora.com/What-textbooks-are-used-in-Harvard-Math-55

这看起来是一门综合的course。

math55a 主要是线性代数和抽象代数。
math55b 主要是复分析和拓扑。

这应该是4门课。放在一起可能是要综合一下。

TheMatrix 写了： 2026年 8月 31日 10:25

这看起来是一门综合的course。

math55a 主要是线性代数和抽象代数。
math55b 主要是复分析和拓扑。

这应该是4门课。放在一起可能是要综合一下。

对，感觉国内大学的数学专业的学生不都得学这些课程吗？

pplar 写了： 2026年 8月 31日 10:28

对，感觉国内大学的数学专业的学生不都得学这些课程吗？

对。这些都是基础，肯定得学。

pplar 写了： 2026年 8月 31日 10:28

对，感觉国内大学的数学专业的学生不都得学这些课程吗？

问题这是大一，一学年的课。

Xiaofish 写了： 2026年 8月 31日 10:36

问题这是大一，一学年的课。

哈佛大一的课程？那就是introduction。

Xiaofish 写了： 2026年 8月 31日 10:36

问题这是大一，一学年的课。

学这些课的都是数学功底很好的学生，还是可以应付的

TheMatrix 写了： 2026年 8月 31日 10:38

哈佛大一的课程？那就是introduction。

math55是著名的大一课程，但是不是给普通大一学生的。没有两把刷子就不要去上。大一上这些这么多。网上能找到作业和考试吧，各位可以去试试

根据Harvard网站介绍

“Mathematics 55A “Studies in Algebra and Group Theory” and Mathematics 55B “Studies in Real and Complex Analysis,” it is technically an introductory level course.”

有一点点难度的可能是涉及到

群表示，和
微分流形

的基础。

现在来看看MIT纯数学专业：

在麻省理工学院（MIT）的纯数学专业（Course 18）中，公认最具挑战性、最令顶尖学生感到折磨的并不是基础的微积分或线性代数，而是高度抽象的进阶代数与几何课程。 [1, 2]
根据MIT本科生、研究生以及校友的长期共识，最具挑战性的本科课程主要集中在以下两门：

• 18.725 / 18.726 代数几何 (Algebraic Geometry)
• 18.712 表示论 (Representation Theory) [1, 2]

1. 为什么这些课程被视为“终极Boss”？

• 极端抽象的概念：代数几何（尤其是现代格罗滕迪克学派的方案论体系）和表示论完全脱离了具体的数字计算。学生需要在大脑中构建极其宏观、复杂的抽象数学结构。
• 恐怖的时间投入：这两门课每周的作业（Problem Sets）难度极大。即使在能够参考部分解答或同学相互讨论的情况下，纯数学专业的学生平均每周也要花费 20 到 30 个小时才能真正理解并完成作业。
• 研究生级别的门槛：虽然这些课程允许本科生选修，但其教材、讲授速度和考察深度完全是顶级研究生院的硬核标准。例如，由著名数学家 Pavel Etingof 教授的 18.712（表示论）就是出了名的高强。 [1, 3]

1. 其他极具挑战性的纯数学“拦路虎”课程
   除了上述两门最顶尖的课程外，纯数学专业的学生在不同阶段还会遇到以下几道公认的难关：
   阶段一：专业分水岭（大一/大二） • 18.100B / 18.100C 实分析 I (Real Analysis I)

   • 挑战点：这是纯数专业学生真正接触严格数学证明的第一步。很多习惯了高中竞赛或应用计算的学生，在面对微积分的底层逻辑（如 ε-δ 语言、拓扑基础）时会产生极大的挫败感，这门课也被称为纯数学 majors 的“劝退课”。 [4, 5, 6]

• 18.701 / 18.702 抽象代数 (Algebraic I & II)

• 挑战点：通常由大牛教授（如 Michael Artin 等）编写教材或授课。从群、环、域一路讲到模论与线性群，理论密度极大，作业要求极为严格的逻辑证明。 [5, 7]  

阶段二：高级核心课（大三/大四） • 18.705 交换代数 (Commutative Algebra)

• 挑战点：作为代数几何的先修课，这门课的抽象程度比普通抽象代数更上一个台阶，也是公认极度烧脑的硬核课程。 [1, 2]  

• 18.901 / 18.905 拓扑学 / 代数拓扑 (Topology / Algebraic Topology)

• 挑战点：几何直觉与代数工具的强力结合。很多擅长代数但不擅长空间想象，或者擅长分析但不擅长拓扑结构的同学，在这门课上会遭遇巨大的思维瓶颈。 [4, 8]  

总结
对于MIT的纯数本科生来说，如果你想测验自己的极限，18.725 (代数几何) 和 18.712 (表示论) 就是那两座最难攀登的学术高峰。 [1, 2]

AI responses may include mistakes.

[1] https://www.quora.com/What-is-the-harde ... ass-at-MIT
[2] https://www.quora.com/How-hard-are-the- ... ses-at-MIT
[3] https://math.mit.edu/academics/undergrad/roadmaps.html
[4] https://www.quora.com/What-is-the-harde ... ree-at-MIT
[5] https://math.mit.edu/research/highschoo ... urses.html
[6] https://mitadmissions.org/blogs/entry/course-181/
[7] 
[8] https://www.quora.com/What-was-the-hard ... ook-at-MIT

pplar 写了： 2026年 8月 31日 10:53

现在来看看MIT纯数学专业：

在麻省理工学院（MIT）的纯数学专业（Course 18）中，公认最具挑战性、最令顶尖学生感到折磨的并不是基础的微积分或线性代数，而是高度抽象的进阶代数与几何课程。 [1, 2]
根据MIT本科生、研究生以及校友的长期共识，最具挑战性的本科课程主要集中在以下两门：

• 18.725 / 18.726 代数几何 (Algebraic Geometry)
• 18.712 表示论 (Representation Theory) [1, 2]

1. 为什么这些课程被视为“终极Boss”？

• 极端抽象的概念：代数几何（尤其是现代格罗滕迪克学派的方案论体系）和表示论完全脱离了具体的数字计算。学生需要在大脑中构建极其宏观、复杂的抽象数学结构。
• 恐怖的时间投入：这两门课每周的作业（Problem Sets）难度极大。即使在能够参考部分解答或同学相互讨论的情况下，纯数学专业的学生平均每周也要花费 20 到 30 个小时才能真正理解并完成作业。
• 研究生级别的门槛：虽然这些课程允许本科生选修，但其教材、讲授速度和考察深度完全是顶级研究生院的硬核标准。例如，由著名数学家 Pavel Etingof 教授的 18.712（表示论）就是出了名的高强。 [1, 3]

1. 其他极具挑战性的纯数学“拦路虎”课程
   除了上述两门最顶尖的课程外，纯数学专业的学生在不同阶段还会遇到以下几道公认的难关：
   阶段一：专业分水岭（大一/大二） • 18.100B / 18.100C 实分析 I (Real Analysis I)

   • 挑战点：这是纯数专业学生真正接触严格数学证明的第一步。很多习惯了高中竞赛或应用计算的学生，在面对微积分的底层逻辑（如 ε-δ 语言、拓扑基础）时会产生极大的挫败感，这门课也被称为纯数学 majors 的“劝退课”。 [4, 5, 6]

• 18.701 / 18.702 抽象代数 (Algebraic I & II)

代码： 全选

• 挑战点：通常由大牛教授（如 Michael Artin 等）编写教材或授课。从群、环、域一路讲到模论与线性群，理论密度极大，作业要求极为严格的逻辑证明。 [5, 7]  

阶段二：高级核心课（大三/大四） • 18.705 交换代数 (Commutative Algebra)

代码： 全选

• 挑战点：作为代数几何的先修课，这门课的抽象程度比普通抽象代数更上一个台阶，也是公认极度烧脑的硬核课程。 [1, 2]  

• 18.901 / 18.905 拓扑学 / 代数拓扑 (Topology / Algebraic Topology)

代码： 全选

• 挑战点：几何直觉与代数工具的强力结合。很多擅长代数但不擅长空间想象，或者擅长分析但不擅长拓扑结构的同学，在这门课上会遭遇巨大的思维瓶颈。 [4, 8]  

总结
对于MIT的纯数本科生来说，如果你想测验自己的极限，18.725 (代数几何) 和 18.712 (表示论) 就是那两座最难攀登的学术高峰。 [1, 2]

AI responses may include mistakes.

[1] https://www.quora.com/What-is-the-harde ... ass-at-MIT
[2] https://www.quora.com/How-hard-are-the- ... ses-at-MIT
[3] https://math.mit.edu/academics/undergrad/roadmaps.html
[4] https://www.quora.com/What-is-the-harde ... ree-at-MIT
[5] https://math.mit.edu/research/highschoo ... urses.html
[6] https://mitadmissions.org/blogs/entry/course-181/
[7] 
[8] https://www.quora.com/What-was-the-hard ... ook-at-MIT

55又不是数学系的课，是全校公选课，大部分学生不会选数学专业。比如著名的例子，钱门同学就去上了，丫当时一心想当律师

Ai can help on the homework?

仔细读了[7], 终于找到了答案：math55其实难度不大，但修课的同学先是被惊吓到了，然后，就象神话一样，传来传去．．．

哈佛的数学不行。mit 和Princeton 学生的数学好
加上现在DEI严重，可以想象。

pplar 写了： 2026年 8月 31日 10:14

Harvard University's Math 55 (Math 55a and Math 55b) does not have a single permanent textbook, as reading lists change depending on the professor. However, 

several classic advanced mathematics texts

 are frequently assigned or recommended across different iterations of the course. [1, 2, 3] 

Core Textbooks by Subject Area 

Linear Algebra & Abstract Algebra (Math 55a)

Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler 

Algebra by Michael Artin 

Representation Theory: A First Course by William Fulton and Joe Harris 

Finite-Dimensional Vector Spaces by Paul Halmos 

Naive Set Theory by Paul Halmos (recommended background) [2, 3, 4] 

Real & Complex Analysis and Topology (Math 55b)

Principles of Mathematical Analysis ("Baby Rudin") by Walter Rudin 

Topology by James Munkres 

Complex Analysis by Lars Ahlfors 

Calculus on Manifolds by Michael Spivak [1, 2, 3, 5] 

Historical and Reference Texts 

Advanced Calculus by Lynn H. Loomis and Shlomo Sternberg — Originally written as lecture notes for Math 55 in the 1960s by the course's founders, this text was assigned for many years as a comprehensive unified approach to abstract analysis and linear algebra. AI responses may include mistakes.

[1] https://abel.math.harvard.edu/archive/55a_fall_04/old/syllabus.html

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Math_55

[3] https://www.quora.com/What-are-the-standard-topics-covered-in-a-typical-Math-55-course-at-Harvard

[4] https://people.math.harvard.edu/_ctm/home/text/class/harvard/55a/08/html/syl.html

[5] https://www.quora.com/What-textbooks-are-used-in-Harvard-Math-55

Xiaofish 写了： 2026年 8月 31日 13:30

55又不是数学系的课，是全校公选课，大部分学生不会选数学专业。比如著名的例子，钱门同学就去上了，丫当时一心想当律师

这就对了。

这个全校公选课，可能是给对数学有兴趣的学生提供一个机会，让他/她们体验一下数学的神奇之处。

还吹MIT
人家只用年
你得用两年

Haohao 写了： 2026年 8月 31日 19:39

哈佛的数学不行。mit 和Princeton 学生的数学好
加上现在DEI严重，可以想象。

全听瞎胡吹
要不是今年小邓 算0.5 本科生剃光头
先过柏克利再说

接着吹 连数竞都是不如
只不过哈现在觉得没意思 不想玩 putman