新未名空间

Gauss-Bonnet 是这个的最经典的情况，是二维的。其实，一维曲线就已经有这个性质了。

首先，曲率是什么意思？曲率就是方向转的快慢。一维是单位切向量对弧长的导数，二维是单位法向量对面积的导数，这是经典的高斯曲率的定义。

那和拓扑什么关系呢？就是积分起来是定下的。

\(\int_C k\, ds=2\pi\)

\(\int_S K\, d\sigma = 2\pi \chi(S)\)

这里，C是平面上的单闭曲线，S是空间中的曲面。第二个就是高斯--博内。

那空间中的单闭曲线的曲率积分是多少？Fenchel 说至少是\(2\pi\), Milnor 是本科生的时候，把Fox 写在黑板上的conjecture 错认为是作业，证明了如果曲线打结的话（nontrivial knot), 曲率积分至少是 \(4\pi\).

书是有点过时啦。蒸馏了所有书和人类的AI，跟它学起来又快又好，唉。

三农 写了： 今天 15:25

Gauss-Bonnet 是这个的最经典的情况，是二维的。其实，一维曲线就已经有这个性质了。

首先，曲率是什么意思？曲率就是方向转的快慢。一维是单位切向量对弧长的导数，二维是单位法向量对面积的导数，这是经典的高斯曲率的定义。

高斯曲率等于两条正交曲线的曲线曲率的乘积。对吧？

TheMatrix 写了： 今天 16:22

高斯曲率等于两条正交曲线的曲线曲率的乘积。对吧？

不是任意两条正交曲线，是 两个主方向。也不是最初的曲线曲率，是法曲率--曲线曲率在法方向的投影。

这两个主方向是shape operator \(A\)的特征方向，一定是正交的。

其实就是有第一，第二基本形
\(II(v, w) = I(Av, w)\)

很像平面上有点积，那另一个对称矩阵就可以对角化，有axes。

三农 写了： 今天 15:25

Gauss-Bonnet 是这个的最经典的情况，是二维的。其实，一维曲线就已经有这个性质了。

首先，曲率是什么意思？曲率就是方向转的快慢。一维是单位切向量对弧长的导数，二维是单位法向量对面积的导数，这是经典的高斯曲率的定义。

那和拓扑什么关系呢？就是积分起来是定下的。

\(\int_C k\, ds=2\pi\)

\(\int_S K\, d\sigma = 2\pi \chi(S)\)

这里，C是平面上的单闭曲线，S是空间中的曲面。第二个就是高斯--博内。

那空间中的单闭曲线的曲率积分是多少？Fenchel 说至少是\(2\pi\), Milnor 是本科生的时候，把Fox 写在黑板上的conjecture 错认为是作业，证明了如果曲线打结的话（nontrivial knot), 曲率积分至少是 \(4\pi\).

本科生把教授黑板上的猜想当作业做出的桥段，好像就单纯形之父Dantzig的是真的。Milnor这个是真实地吗？