zeta(1/2)的几种算法

[TheMatrix]

1，


2，


3，

[(ッ)]

1.里面那个\sum 1/n^s和\sum 1/(2n)^s在s\in(0,1]的时候都发散了

[YouHi]

想起来大学上课的噩梦。。。

[randomatrices]

＞１时不发散就可以，(0,1]时用最右边那个形式，　所谓analytic continuation

1.里面那个\sum 1/n^s和\sum 1/(2n)^s在s\in(0,1]的时候都发散了

[(ッ)]

＞１时不发散就可以，(0,1]时用最右边那个形式，　所谓analytic continuation

s\in (0, 1]的时候，\sum 1/n^s - 2*\sum 1/(2n)^s = \sum (-1)^(n-1) / n^s非常questionable

[randomatrices]

s\in (0, 1]的时候，当然\sum 1/n^s - 2*\sum 1/(2n)^s不等于\sum (-1)^(n-1) / n^s，　一个不收敛，　一个收敛。
但是所谓解析延拓就是，　因为在s>1时，\sum 1/n^s - 2*\sum 1/(2n)^s = \sum (-1)^(n-1) / n^s，　所以在s\in (0, 1]时，用那个收敛的级数形式\sum (-1)^(n-1) / n^s。
这就是亚纯函数的精髓啊，　在一个小的区域内定义的级数就定义了整个复平面上的函数（除掉几个奇点外），　并且是唯一的。　

s\in (0, 1]的时候，\sum 1/n^s - 2*\sum 1/(2n)^s = \sum (-1)^(n-1) / n^s非常questionable

[randomatrices]

把我以前在版上关于解析延拓的发言再贴一下：

复变函数的精华是解析延拓。
解析延拓仿似“有物浑然天成，天然去雕琢，妙手偶得之。不增不减，此物唯一”。不似实变函数可以人工裁剪粘贴，如 y = exp(-1/x) when x > 0, y = 0, when x <= 0, 虽然在整个实数轴上无穷可微但它就不是一个天然的复平面上的解析函数， 人工斧凿总归不能胜天工。

解析延拓虽然绝大多数教课书上都是以 power series 的一个一个小收敛圆去逐渐开拓，但实际上的被研究的著名函数很少有这样被拓展的， 如黎曼 zeta 函数， 原因之一当然是因为zeta函数初定义是dirichlet series, 而dirichlet series的收敛域是部分半平面不是收敛圆。黎曼在18xx是怎么想到从复变函数去研究dirichlet series的？实在让人惊叹。

[forecasting]

把我以前在版上关于解析延拓的发言再贴一下：

复变函数的精华是解析延拓。
解析延拓仿似“有物浑然天成，天然去雕琢，妙手偶得之。不增不减，此物唯一”。不似实变函数可以人工裁剪粘贴，如 y = exp(-1/x) when x > 0, y = 0, when x <= 0, 虽然在整个实数轴上无穷可微但它就不是一个天然的复平面上的解析函数， 人工斧凿总归不能胜天工。

解析延拓虽然绝大多数教课书上都是以 power series 的一个一个小收敛圆去逐渐开拓，但实际上的被研究的著名函数很少有这样被拓展的， 如黎曼 zeta 函数， 原因之一当然是因为zeta函数初定义是dirichlet series, 而dirichlet series的收敛域是部分半平面不是收敛圆。黎曼在18xx是怎么想到从复变函数去研究dirichlet series的？实在让人惊叹。

从代数方程的解，代数函数推广，想实现以奇点，零点表示函数而不是解析式或闭式表示。

[TheMatrix]

s\in (0, 1]的时候，当然\sum 1/n^s - 2*\sum 1/(2n)^s不等于\sum (-1)^(n-1) / n^s，　一个不收敛，　一个收敛。
但是所谓解析延拓就是，　因为在s>1时，\sum 1/n^s - 2*\sum 1/(2n)^s = \sum (-1)^(n-1) / n^s，　所以在s\in (0, 1]时，用那个收敛的级数形式\sum (-1)^(n-1) / n^s。
这就是亚纯函数的精髓啊，　在一个小的区域内定义的级数就定义了整个复平面上的函数（除掉几个奇点外），　并且是唯一的。　

对。

这个地方实际上有唯一一个疑点是：最右边那个alternating级数收敛，本来是对实数s的，能不能扩展到复数s。原帖有一个注释的，我没贴：



https://math.stackexchange.com/question ... 4603545088

[TheMatrix]

2，

第二个也非常有意思：
2√N = ∫₀^N 1/√x，
所以ζ(1/2)比较的是
(1+1/√2+1/√3+...)
和 ∫ 1/√x。

和欧拉常数 γ 相似。所以 γ 对应 ζ(1)。

[TheMatrix]

把我以前在版上关于解析延拓的发言再贴一下：

复变函数的精华是解析延拓。
解析延拓仿似“有物浑然天成，天然去雕琢，妙手偶得之。不增不减，此物唯一”。不似实变函数可以人工裁剪粘贴，如 y = exp(-1/x) when x > 0, y = 0, when x <= 0, 虽然在整个实数轴上无穷可微但它就不是一个天然的复平面上的解析函数， 人工斧凿总归不能胜天工。

解析延拓虽然绝大多数教课书上都是以 power series 的一个一个小收敛圆去逐渐开拓，但实际上的被研究的著名函数很少有这样被拓展的， 如黎曼 zeta 函数， 原因之一当然是因为zeta函数初定义是dirichlet series, 而dirichlet series的收敛域是部分半平面不是收敛圆。黎曼在18xx是怎么想到从复变函数去研究dirichlet series的？实在让人惊叹。

解析延拓确实玄妙。

能不能说一个复变函数，只要在复平面的一个open disk上解析，就一定能够解析延拓到全平面？其中可以有一些pole。

[TheMatrix]

第二个也非常有意思：
2√N = ∫₀^N 1/√x，
所以ζ(1/2)比较的是
(1+1/√2+1/√3+...)
和 ∫ 1/√x。

和欧拉常数 γ 相似。所以 γ 对应 ζ(1)。

绿色的曲线是1/√x，红色的曲线是 1/x²。两条曲线是关于y=x对称的。

按照前面的公式，ζ(1/2)和ζ(2)各自代表的面积也是清楚的。



ζ(1/2)是柔软的部分。ζ(2)是刚强的部分。

不过它们之间好像没有简单的关系。

[FoxMe]

不能同意更多。为啥有解析数论？这是原因之一。

把我以前在版上关于解析延拓的发言再贴一下：

复变函数的精华是解析延拓。
解析延拓仿似“有物浑然天成，天然去雕琢，妙手偶得之。不增不减，此物唯一”。不似实变函数可以人工裁剪粘贴，如 y = exp(-1/x) when x > 0, y = 0, when x <= 0, 虽然在整个实数轴上无穷可微但它就不是一个天然的复平面上的解析函数， 人工斧凿总归不能胜天工。

解析延拓虽然绝大多数教课书上都是以 power series 的一个一个小收敛圆去逐渐开拓，但实际上的被研究的著名函数很少有这样被拓展的， 如黎曼 zeta 函数， 原因之一当然是因为zeta函数初定义是dirichlet series, 而dirichlet series的收敛域是部分半平面不是收敛圆。黎曼在18xx是怎么想到从复变函数去研究dirichlet series的？实在让人惊叹。

[FoxMe]

对。我记得只要有一个收敛点列，就可以确定该函数。

解析延拓确实玄妙。

能不能说一个复变函数，只要在复平面的一个open disk上解析，就一定能够解析延拓到全平面？其中可以有一些pole。

[TheMatrix]

对。我记得只要有一个收敛点列，就可以确定该函数。

但是能不能扩展到全复平面？

或者有一个最大范围，再也扩展不出去了？感觉不太可能。

搜了一下，也没有结果。

[FoxMe]

你这么一说，我也不大确定是否能扩展到全复平面了。

收敛点列我记得是在Rudin的书里看到的。

https://math.stackexchange.com/question ... ntinuation

Let 𝑓 and 𝑔 be two holomorphic functions on a domain 𝐷 such that 𝑓=𝑔 on a subset 𝑆⊂𝐷 that contains a limit point, then 𝑓=𝑔 on the whole 𝐷

但是能不能扩展到全复平面？

或者有一个最大范围，再也扩展不出去了？感觉不太可能。

搜了一下，也没有结果。

[san721]

解析延拓确实玄妙。

能不能说一个复变函数，只要在复平面的一个open disk上解析，就一定能够解析延拓到全平面？其中可以有一些pole。

The answer is no. Power series that are lacunary enough cannot be analytically extended beyond the disk of convergence. You can google Hadamard's Gap Theorem for such results.

[TheMatrix]

The answer is no. Power series that are lacunary enough cannot be analytically extended beyond the disk of convergence. You can google Hadamard's Gap Theorem for such results.

哦。谢谢。

查了一下，真的有这样的解析函数，只在unit disk里面解析，不能向外面扩展一点点了：Σ z²ⁿ
https://en.wikipedia.org/wiki/Lacunary_function
解了我很久的疑惑。

在unit disk边界点上，应该每一点都是essential singularity吧？

[forecasting]

哦。谢谢。

查了一下，真的有这样的解析函数，只在unit disk里面解析，不能向外面扩展一点点了：Σ z²ⁿ
https://en.wikipedia.org/wiki/Lacunary_function
解了我很久的疑惑。

在unit disk边界点上，应该每一点都是essential singularity吧？

natural boundary

[randomatrices]

记错了，我还以为是同样的例子。
一本很老的（1950）数学物理教材（Jeffreys)上举过不同的例子。

哦。谢谢。

查了一下，真的有这样的解析函数，只在unit disk里面解析，不能向外面扩展一点点了：Σ z²ⁿ
https://en.wikipedia.org/wiki/Lacunary_function
解了我很久的疑惑。

在unit disk边界点上，应该每一点都是essential singularity吧？