数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

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forecasting楼主
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#1 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 forecasting楼主 »

先引wikipedia有关丢番图几何的定理:

“设C为一个非特异的、位于有理数域上且亏格数为g的代数曲线,则C上的有理点可由下列关系决定:

当g = 0时,C要不没有有理点,要不有无限多的有理点,此情况下C可视为圆锥曲线。
当g = 1时,C没有有理点,或者为一个有理点构成有限生成阿贝尔群的椭圆曲线(此即莫德尔定理,之后被推广为莫德尔-韦伊定理);此外,马祖尔挠定理对相关的挠子群的结构做出限制。
当g > 1时,根据现在又称法尔廷斯定理的莫德尔猜想,C只有有限多的有理点。”


三种情景下,有无解都可判定吗?假设不知道任何一个解,都有算法求出各个解吗?
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#2 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

forecasting 写了: 2024年 1月 16日 22:43 先引wikipedia有关丢番图几何的定理:

“设C为一个非特异的、位于有理数域上且亏格数为g的代数曲线,则C上的有理点可由下列关系决定:

当g = 0时,C要不没有有理点,要不有无限多的有理点,此情况下C可视为圆锥曲线。
当g = 1时,C没有有理点,或者为一个有理点构成有限生成阿贝尔群的椭圆曲线(此即莫德尔定理,之后被推广为莫德尔-韦伊定理);此外,马祖尔挠定理对相关的挠子群的结构做出限制。
当g > 1时,根据现在又称法尔廷斯定理的莫德尔猜想,C只有有限多的有理点。”


三种情景下,有无解都可判定吗?假设不知道任何一个解,都有算法求出各个解吗?
谁来总结一下现有知识也好。

我看了Silverman的Elliptic Curve的书,想不起哪里明确地说过有没有通用算法判定有没有有理解。

我印象Elliptic Curve应该是没有。圆锥曲线应该有吧。
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#3 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 changbaihou »

TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 09:06 谁来总结一下现有知识也好。

我看了Silverman的Elliptic Curve的书,想不起哪里明确地说过有没有通用算法判定有没有有理解。

我印象Elliptic Curve应该是没有。圆锥曲线应该有吧。
我只说说我印象中知道的,如果不准确的话见谅。好多年前当研究生时做过椭圆曲线,后来就没太关心过了。

关于找Q上曲线的有理点,genus 0的曲线不用说,太简单了。印象中genus大于等于2的曲线也有有效算法。椭圆曲线独成特殊一档,因为可能有无穷多有理点,但又不像二次曲线那么简单。Torsion part通过Nagell-Lutz定理可以很轻松地确定,自由部分没有有效可行的办法,我印象中就是蛮干。当然“蛮干”中肯定也有不少trick(比如递降法,local方法,。。。),我不做计算也不熟。我一个师弟专做计算,以前用MAGMA和SAGE算椭圆曲线算得很来劲。

给定一条椭圆曲线,其L-函数在s=1的阶是可以确定的。所以,假设BSD猜想的话,我们起码知道蛮干到啥地步停下来。从理论上来说,如果知道椭圆曲线的Mordell-Weil rank大于零的话,那曲线上(canonical) height\leq X的有理点个数是有渐近公式的(depending on the rank though),而且(heuristically) 在一定X界下的有理点应该包含了所有free part的一组生成元。但是这些渐近结果并不是effective的,所以对一条给定elliptic curve,目前并没有个确定的界X,说是找出height小于等于X的有理点就搞定了。所以只能边找有理点边检测己有点的linear dependence,直到找到一组生成元。

我们常常看到说有人确定某条椭圆曲线rank大于等于8 (for example),而不是说等于8。有可能是计算太复杂,找到一组8个点的线性无关组就停了。但也有可能其实解析rank就是8,但是因为是基于未证实的BSD猜想,严谨点就只能说是大于等于8。如果愿意的话,很多情况下其实是可以确定rank的。比如,如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话,它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。

以上仅根据我的记忆,可能有不准确的地方。
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#4 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

changbaihou 写了: 2024年 1月 17日 11:02 我只说说我印象中知道的,如果不准确的话见谅。好多年前当研究生时做过椭圆曲线,后来就没太关心过了。

关于找Q上曲线的有理点,genus 0的曲线不用说,太简单了。印象中genus大于等于2的曲线也有有效算法。椭圆曲线独成特殊一档,因为可能有无穷多有理点,但又不像二次曲线那么简单。Torsion part通过Nagell-Lutz定理可以很轻松地确定,自由部分没有有效可行的办法,我印象中就是蛮干。当然“蛮干”中肯定也有不少trick(比如递降法,local方法,。。。),我不做计算也不熟。我一个师弟专做计算,以前用MAGMA和SAGE算椭圆曲线算得很来劲。

给定一条椭圆曲线,其L-函数在s=1的阶是可以确定的。所以,假设BSD猜想的话,我们起码知道蛮干到啥地步停下来。从理论上来说,如果知道椭圆曲线的Mordell-Weil rank大于零的话,那曲线上(canonical) height\leq X的有理点个数是有渐近公式的(depending on the rank though),而且(heuristically) 在一定X界下的有理点应该包含了所有free part的一组生成元。但是这些渐近结果并不是effective的,所以对一条给定elliptic curve,目前并没有个确定的界X,说是找出height小于等于X的有理点就搞定了。所以只能边找有理点边检测己有点的linear dependence,直到找到一组生成元。

我们常常看到说有人确定某条椭圆曲线rank大于等于8 (for example),而不是说等于8。有可能是计算太复杂,找到一组8个点的线性无关组就停了。但也有可能其实解析rank就是8,但是因为是基于未证实的BSD猜想,严谨点就只能说是大于等于8。如果愿意的话,很多情况下其实是可以确定rank的。比如,如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话,它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。

以上仅根据我的记忆,可能有不准确的地方。
谢谢。

Silverman那本GTM书,我看到Tate-Shafarevich group和Selmer group就看不动了,太复杂。

一个椭圆曲线的第一个有理点是怎么算的呢?有没有算法?
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#5 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 changbaihou »

TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 11:40 谢谢。

Silverman那本GTM书,我看到Tate-Shafarevich group和Selmer group就看不动了,太复杂。

一个椭圆曲线的第一个有理点是怎么算的呢?有没有算法?
俺不知啊。你可以搜搜看有没有Magma或者Sage比较detailed的介绍,看看他们怎么弄的。
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#6 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 changbaihou »

changbaihou 写了: 2024年 1月 17日 11:50 俺不知啊。你可以搜搜看有没有Magma或者Sage比较detailed的介绍,看看他们怎么弄的。
如果椭圆曲线有2-torsion,尤其是有full 2-torsion时,我能想像2-descent应该是最intuitive的approach。
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#7 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

changbaihou 写了: 2024年 1月 17日 11:53 如果椭圆曲线有2-torsion,尤其是有full 2-torsion时,我能想像2-descent应该是最intuitive的approach。

谢谢。

搜到的说法是没有general method。但是特殊情况下,应该很多大类情况下,有一些方法。

2-torsion,那就是y=0的点吧?那倒是容易检查。
There is no general method to find the first rational point on an elliptic curve, as this problem is equivalent to finding the rank of the elliptic curve, which is a notoriously difficult and unsolved problem in number theory. However, there are some special cases where the first rational point can be found by using some algebraic or geometric techniques.
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#8 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 changbaihou »

TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 11:59 谢谢。

搜到的说法是没有general method。但是特殊情况下,应该很多大类情况下,有一些方法。

2-torsion,那就是y=0的点吧?那倒是容易检查。
对,就是Weierstrass form y^2=...下y=0的点。我想说有2-torsion时用2-descent去找所有的有理点,不是说第一个点。My bad.
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#9 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

changbaihou 写了: 2024年 1月 17日 11:02 比如,如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话,它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。
Tate-Shafarevich和Selmer group这里,Silverman的书讲得太复杂,我跟不上了。你有没有比较平易近人的讲法?
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#10 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

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这里我也没看懂。Tate-Shafarevich group类似于class group.

Class group:failure of principal ideal domain.
Tate-Shafarevich group: failure of local-global principle.

Local-global principle对二次成立,但是椭圆曲线是三次的,就不成立了。

Tate-Shafarevich和Selmer group都是针对abelian variety定义的。Selmer group是针对isogeny,是干啥的呢?
TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 12:24 Tate-Shafarevich和Selmer group这里,Silverman的书讲得太复杂,我跟不上了。你有没有比较平易近人的讲法?
上次由 FoxMe 在 2024年 1月 17日 12:58 修改。
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#11 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 FoxMe(令狐) »

Tate-Shafarevich group用像“山”字的字母表示
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#12 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 FoxMe(令狐) »

BSD猜想就是在大量数值计算的基础上产生的,可见几十年前人们就会找有理点。
changbaihou 写了: 2024年 1月 17日 11:02 我只说说我印象中知道的,如果不准确的话见谅。好多年前当研究生时做过椭圆曲线,后来就没太关心过了。

关于找Q上曲线的有理点,genus 0的曲线不用说,太简单了。印象中genus大于等于2的曲线也有有效算法。椭圆曲线独成特殊一档,因为可能有无穷多有理点,但又不像二次曲线那么简单。Torsion part通过Nagell-Lutz定理可以很轻松地确定,自由部分没有有效可行的办法,我印象中就是蛮干。当然“蛮干”中肯定也有不少trick(比如递降法,local方法,。。。),我不做计算也不熟。我一个师弟专做计算,以前用MAGMA和SAGE算椭圆曲线算得很来劲。

给定一条椭圆曲线,其L-函数在s=1的阶是可以确定的。所以,假设BSD猜想的话,我们起码知道蛮干到啥地步停下来。从理论上来说,如果知道椭圆曲线的Mordell-Weil rank大于零的话,那曲线上(canonical) height\leq X的有理点个数是有渐近公式的(depending on the rank though),而且(heuristically) 在一定X界下的有理点应该包含了所有free part的一组生成元。但是这些渐近结果并不是effective的,所以对一条给定elliptic curve,目前并没有个确定的界X,说是找出height小于等于X的有理点就搞定了。所以只能边找有理点边检测己有点的linear dependence,直到找到一组生成元。

我们常常看到说有人确定某条椭圆曲线rank大于等于8 (for example),而不是说等于8。有可能是计算太复杂,找到一组8个点的线性无关组就停了。但也有可能其实解析rank就是8,但是因为是基于未证实的BSD猜想,严谨点就只能说是大于等于8。如果愿意的话,很多情况下其实是可以确定rank的。比如,如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话,它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。

以上仅根据我的记忆,可能有不准确的地方。
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#13 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 2024年 1月 17日 12:42 这里我也没看懂。Tate-Shafarevich group类似于class group.

Class group:failure of principal ideal domain.
Tate-Shafarevich group: failure of local-global principle.

Local-global principle对二次成立,但是椭圆曲线是三次的,就不成立了。

Tate-Shafarevich和Selmer group都是针对abelian variety定义的。Selmer group是针对isogeny,是干啥的呢?
哦。很好。
The local-global principle is a philosophy in mathematics that states that some problems or properties over a global field (such as the rational numbers) can be studied by examining them over local fields (such as the real numbers and the p-adic numbers). The idea is that a solution over the global field can be obtained by combining solutions over the local fields, or vice versa.

One example of the local-global principle is the Hasse-Minkowski theorem, which says that a quadratic equation over the rational numbers has a rational solution if and only if it has a solution over the real numbers and over the p-adic numbers for every prime p. Another example is the Hasse principle for cyclic extensions, which says that an element of a number field is a relative norm for a cyclic extension if and only if it is a relative norm for every completion of the number field.

However, the local-global principle does not always hold, and there are counterexamples where a solution exists over all local fields but not over the global field, or vice versa. For instance, the cubic equation 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0 has a solution over the real numbers and over every p-adic field, but it has no nontrivial rational solution. This shows that the Hasse-Minkowski theorem does not extend to cubic forms.
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#14 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

The local-global principle is a philosophy in mathematics that states that some problems or properties over a global field (such as the rational numbers) can be studied by examining them over local fields (such as the real numbers and the p-adic numbers).
Real number是local field,我觉得挺费解的。Real number和p-adic number有什么共同点呢?

而complex number不是local field。那么就是global field了?
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#15 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 TheMatrix »

TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 14:27 Real number是local field,我觉得挺费解的。Real number和p-adic number有什么共同点呢?

而complex number不是local field。那么就是global field了?
看来是一种约定俗成。没有特别的道理。

Wiki 上是这么说的:
In mathematics, a field K is called a (non-Archimedean) local field if it is complete with respect to a topology induced by a discrete valuation v and if its residue field k is finite.[1] Equivalently, a local field is a locally compact topological field with respect to a non-discrete topology.[2] Sometimes, real numbers R, and the complex numbers C (with their standard topologies) are also defined to be local fields; this is the convention we will adopt below.
Global field似乎没有一个自然的定义,就是一种规定。

感觉主要区别为:

local field只有一个discrete valuation,比如按某素数的几次方得到的一个valuation。

global field有很多discrete valuation,比如Z/Q,每个素数都有一个valuation。
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#16 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 FoxMe(令狐) »

"Another example is the Hasse principle for cyclic extensions, which says that an element of a number field is a relative norm for a cyclic extension if and only if it is a relative norm for every completion of the number field."

这叫Hasse norm theorem。
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#17 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

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BSD猜想的这个公式可能是数论里最牛的公式:

图片
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#18 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

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FoxMe 写了: 2024年 1月 17日 16:32 BSD猜想的这个公式可能是数论里最牛的公式:

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r是rank吗?L(r)是r阶导数吗?
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#19 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 FoxMe(令狐) »

是的
TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 16:49 r是rank吗?L(r)是r阶导数吗?
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#20 Re: 数论问题:Diopthantine几何几个定理和Diophantine集合

帖子 changbaihou »

TheMatrix 写了: 2024年 1月 17日 12:24 Tate-Shafarevich和Selmer group这里,Silverman的书讲得太复杂,我跟不上了。你有没有比较平易近人的讲法?
本身就不是简单的东西。泛泛地讲就是关于离local-global principle成立有多远的问题。粗略地说,Mordell-Weil group可以认为是Selmer group的一个子群,其商群就是Sha。
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