从reflection和rotation为例看clifford algebra

[Caravel]

一般的材料谈clifford algebra都是从抽象代数的角度，看了没有什么直观的感受。

这里我们从一个具体的算例来展示一下clifford algebra的用法。

clifford algebra，又称geometry algebra，指的是在一个vector space V，上面定义了一个geometry product，结果会在一个更大的vector space上面闭合。

开始举例，假设初始的vector space是二维的，有一组正交基 {e₁, e₂}, 则对于空间中的两个向量a， b可以定义geometry product
ab = a.b + a ^ b
根据这个定义，e₁e₁ = e₂e₂ = 1， 相同的单位矢量相乘为1
还有anti communitive 关系， e₁e₂ = -e₂e₁

新的空间有下面的basis， {1, e₁, e₂, e₁e₂}

rule定义完了，开始计算。

这里想计算的是reflection。clifford algebra声称自己可以非常自然的生成发射和旋转操作。假设有单位向量n，则空间中任意的向量x，可以被下面的操作对n做反射。

x -> nxn

这里面所有的product都是geometry product。

带入数字，假设n是 （1/sqrt(2) , 1/sqrt(2)) , x 是 （1，0），关于45度线反射之后应该是（0，1），看看这个公式行不行。

n = 1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂
x = e₁

则xn = e₁（1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂ )
= 1/sqrt(2) e₁e₁ + 1/sqrt(2) e₁ e₂
= 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) e₁ e₂

nxn = (1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂ ) (1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) e₁ e₂ )
= 1/2 e₁ + 1/2 e₂ + 1/2e₁ e₁ e₂ + 1/2 e₂ e₁ e₂
= 1/2 e₁ + 1/2 e₂ + 1/2 e₂ - 1/2 e₁
= e₂

看来是对的。

这个计算看上去并没有什么优势，但是好处是非常容易机械化，可以推广到高维空间的向量反射。旋转也是类似的情形。只要知道了旋转把一个矢量A转动到B，就可以空间中任意矢量的旋转表示出来。

就这么多，大家再议议。

[FoxMe]

总结的很好。我也有两点体会：

1. 向量空间中，一般向量不能相乘（不包括平凡的点积）。如果实在想要相乘怎么办？最简单的方法是用tensor product，所以n维空间上定义的Clifford algebra的维数是2^n；但是这样乘法太没章法了，就加个条件，这就是geometry product。

2. Clifford algebra用来研究向量空间的正交群，看起来高大上。但是正交群的东西都可以用反射或旋转来实现，而这些操作也可以在向量空间内部实现，那么为啥还要搞Clifford algebra这么复杂的怪物呢？

[Caravel]

总结的很好。我也有两点体会：

1. 向量空间中，一般向量不能相乘（不包括平凡的点积）。如果实在想要相乘怎么办？最简单的方法是用tensor product，所以n维空间上定义的Clifford algebra的维数是2^n；但是这样乘法太没章法了，就加个条件，这就是geometry product。

2. Clifford algebra用来研究向量空间的正交群，看起来高大上。但是正交群的东西都可以用反射或旋转来实现，而这些操作也可以在向量空间内部实现，那么为啥还要搞Clifford algebra这么复杂的怪物呢？

tensor product太大，e1e1e1,e1e2e3也是一个基，于是往回收一收，两个相同的ei ei = 1,新空间的基不会太多。wiki上把clifford algebra叫做tensor代数的quotient algebra。

[TheMatrix]

一般的材料谈clifford algebra都是从抽象代数的角度，看了没有什么直观的感受。

这里我们从一个具体的算例来展示一下clifford algebra的用法。

clifford algebra，又称geometry algebra，指的是在一个vector space V，上面定义了一个geometry product，结果会在一个更大的vector space上面闭合。

开始举例，假设初始的vector space是二维的，有一组正交基 {e₁, e₂}, 则对于空间中的两个向量a， b可以定义geometry product
ab = a.b + a ^ b
根据这个定义，e₁e₁ = e₂e₂ = 1， 相同的单位矢量相乘为1
还有anti communitive 关系， e₁e₂ = -e₂e₁

新的空间有下面的basis， {1, e₁, e₂, e₁e₂}

rule定义完了，开始计算。

这里想计算的是reflection。clifford algebra声称自己可以非常自然的生成发射和旋转操作。假设有单位向量n，则空间中任意的向量x，可以被下面的操作对n做反射。

x -> nxn

这里面所有的product都是geometry product。

带入数字，假设n是 （1/sqrt(2) , 1/sqrt(2)) , x 是 （1，0），关于45度线反射之后应该是（0，1），看看这个公式行不行。

n = 1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂
x = e₁

则xn = e₁（1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂ )
= 1/sqrt(2) e₁e₁ + 1/sqrt(2) e₁ e₂
= 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) e₁ e₂

nxn = (1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂ ) (1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) e₁ e₂ )
= 1/2 e₁ + 1/2 e₂ + 1/2e₁ e₁ e₂ + 1/2 e₂ e₁ e₂
= 1/2 e₁ + 1/2 e₂ + 1/2 e₂ - 1/2 e₁
= e₂

看来是对的。

这个计算看上去并没有什么优势，但是好处是非常容易机械化，可以推广到高维空间的向量反射。旋转也是类似的情形。只要知道了旋转把一个矢量A转动到B，就可以空间中任意矢量的旋转表示出来。

就这么多，大家再议议。

新的空间（{1, e₁, e₂, e₁e₂}）是四维的啊。

你的reflection的例子好像是二维的。剩下的两维哪去了？

[Caravel]

新的空间（{1, e₁, e₂, e₁e₂}）是四维的啊。

你的reflection的例子好像是二维的。剩下的两维哪去了？

实现的是二维空间的反射，中间过程出去了，但是最后又回来了

[TheMatrix]

实现的是二维空间的反射，中间过程出去了，但是最后又回来了

嗯。对。看来这是Clifford algebra的物理意义啊。

[hci]

是的，用上升到高维来简化在低维的操作。

嗯。对。看来这是Clifford algebra的物理意义啊。

[Caravel]

是的，用上升到高维来简化在低维的操作。

其实这个技巧经常用，比如电流的振幅实数，但是经常表示成复数，运算到最后取实数部分就可以了

[TheMatrix]

一般的材料谈clifford algebra都是从抽象代数的角度，看了没有什么直观的感受。

这里我们从一个具体的算例来展示一下clifford algebra的用法。

clifford algebra，又称geometry algebra，指的是在一个vector space V，上面定义了一个geometry product，结果会在一个更大的vector space上面闭合。

开始举例，假设初始的vector space是二维的，有一组正交基 {e₁, e₂}, 则对于空间中的两个向量a， b可以定义geometry product
ab = a.b + a ^ b
根据这个定义，e₁e₁ = e₂e₂ = 1， 相同的单位矢量相乘为1
还有anti communitive 关系， e₁e₂ = -e₂e₁

新的空间有下面的basis， {1, e₁, e₂, e₁e₂}

rule定义完了，开始计算。

这里想计算的是reflection。clifford algebra声称自己可以非常自然的生成发射和旋转操作。假设有单位向量n，则空间中任意的向量x，可以被下面的操作对n做反射。

x -> nxn

这里面所有的product都是geometry product。

带入数字，假设n是 （1/sqrt(2) , 1/sqrt(2)) , x 是 （1，0），关于45度线反射之后应该是（0，1），看看这个公式行不行。

n = 1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂
x = e₁

则xn = e₁（1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂ )
= 1/sqrt(2) e₁e₁ + 1/sqrt(2) e₁ e₂
= 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) e₁ e₂

nxn = (1/sqrt(2) e₁ + 1/sqrt(2) e₂ ) (1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) e₁ e₂ )
= 1/2 e₁ + 1/2 e₂ + 1/2e₁ e₁ e₂ + 1/2 e₂ e₁ e₂
= 1/2 e₁ + 1/2 e₂ + 1/2 e₂ - 1/2 e₁
= e₂

看来是对的。

这个计算看上去并没有什么优势，但是好处是非常容易机械化，可以推广到高维空间的向量反射。旋转也是类似的情形。只要知道了旋转把一个矢量A转动到B，就可以空间中任意矢量的旋转表示出来。

就这么多，大家再议议。

以正交基{e₁,e₂,...}的方式来看Clifford algebra，看来是正确的打开方式。

正交基的角度也比较接近组合的角度：一个n维欧几里得空间，固定一组正交基，也可以看成是n个symbol {e₁,e₂,...}。这n个symbol的组合空间
{
{e₁,e₂},
{e₁,e₂,e₃},
...
}
总共有2ⁿ = C_n⁰+C_n¹+C_n²...个元素。

这n个symbol的组合空间可以定义乘法：两个组合相乘，用换序和相消的规则：
(e₁e₂)(e₁e₂e₃)
=e₁e₂e₁e₂e₃
=-e₁e₁e₂e₂e₃
=-e₃

换序和相消的规则是从两个symbol之间的规则来的：
ab = a.b + a ^ b
比如e₁.e₁=1，e₁^e₁=0，所以e₁e₁=1
而e₁.e₂=0，e₁^e₂=-e₂^e₁，所以e₁e₂=-e₂e₁

然后n个symbol的组合空间，可以再加上系数进行线性组合，和polynomial很像：
5e₁e₂-3e₁e₂e₃+4e₁e₃+...

这些元素在n个symbol的组合空间的乘法基础上可以相加和相乘，也和polynomial的相加相乘很像。这就构成了代数。这就是Clifford algebra。

[Caravel]

以正交基{e₁,e₂,...}的方式来看Clifford algebra，看来是正确的打开方式。

正交基的角度也比较接近组合的角度：一个n维欧几里得空间，固定一组正交基，也可以看成是n个symbol {e₁,e₂,...}。这n个symbol的组合空间
{
{e₁,e₂},
{e₁,e₂,e₃},
...
}
总共有2ⁿ = C_n⁰+C_n¹+C_n²...个元素。

这n个symbol的组合空间可以定义乘法：两个组合相乘，用换序和相消的规则：
(e₁e₂)(e₁e₂e₃)
=e₁e₂e₁e₂e₃
=-e₁e₁e₂e₂e₃
=-e₃

换序和相消的规则是从两个symbol之间的规则来的：
ab = a.b + a ^ b
比如e₁.e₁=1，e₁^e₁=0，所以e₁e₁=1
而e₁.e₂=0，e₁^e₂=-e₂^e₁，所以e₁e₂=-e₂e₁

然后n个symbol的组合空间，可以再加上系数进行线性组合，和polynomial很像：
5e₁e₂-3e₁e₂e₃+4e₁e₃...

这些元素在n个symbol的组合空间的乘法基础上可以相加和相乘，也和polynomial的相加相乘很像。这就构成了代数。这就是Clifford algebra。

这个规则很简单，可以推广到任意维度，用python实现估计200行就行了。Hamilton，Grassman这些人当初就是用简单的方式打开，后来才搞得越来越抽象。

里面的e₁^e₂^e₂称为一个n-blade，最一般的形式是所有n-blade加起来，称之为multivector。一般的multivector不能写成n-blade的形式，这个和量子纠缠态的精神一样。

[Caravel]

以正交基{e₁,e₂,...}的方式来看Clifford algebra，看来是正确的打开方式。

正交基的角度也比较接近组合的角度：一个n维欧几里得空间，固定一组正交基，也可以看成是n个symbol {e₁,e₂,...}。这n个symbol的组合空间
{
{e₁,e₂},
{e₁,e₂,e₃},
...
}
总共有2ⁿ = C_n⁰+C_n¹+C_n²...个元素。

这n个symbol的组合空间可以定义乘法：两个组合相乘，用换序和相消的规则：
(e₁e₂)(e₁e₂e₃)
=e₁e₂e₁e₂e₃
=-e₁e₁e₂e₂e₃
=-e₃

换序和相消的规则是从两个symbol之间的规则来的：
ab = a.b + a ^ b
比如e₁.e₁=1，e₁^e₁=0，所以e₁e₁=1
而e₁.e₂=0，e₁^e₂=-e₂^e₁，所以e₁e₂=-e₂e₁

然后n个symbol的组合空间，可以再加上系数进行线性组合，和polynomial很像：
5e₁e₂-3e₁e₂e₃+4e₁e₃+...

这些元素在n个symbol的组合空间的乘法基础上可以相加和相乘，也和polynomial的相加相乘很像。这就构成了代数。这就是Clifford algebra。

除了空间的维度，inner product也很重要，决定了是欧几里得空间，还是闵可夫司机时空。

[TheMatrix]

这里想计算的是reflection。clifford algebra声称自己可以非常自然的生成发射和旋转操作。假设有单位向量n，则空间中任意的向量x，可以被下面的操作对n做反射。

x -> nxn

这里面所有的product都是geometry product。

嗯。x和n都必须是最开始的vector space V中的向量。也就是Clifford algebra中的一阶元素，也就是不能包含形如e₁e₂这样的分量。在这种条件下，nxn仍然回到V中，也就是nxn在Clifford algebra中仍然是一阶元素。

[FoxMe]

量子和Clifford有联系，感觉Clifford代数（2^n维）的操作可以用量子计算机实现（n个量子比特）。

这个规则很简单，可以推广到任意维度，用python实现估计200行就行了。Hamilton，Grassman这些人当初就是用简单的方式打开，后来才搞得越来越抽象。

里面的e₁^e₂^e₂称为一个n-blade，最一般的形式是所有n-blade加起来，称之为multivector。一般的multivector不能写成n-blade的形式，这个和量子纠缠态的精神一样。

[弃婴千枝]

https://www.reed.edu/physics/faculty/wh ... lgebra.pdf

[FoxMe]

n不一定在向量空间内，也可以在Clifford内。这样的n有一个专有名词： even Clifford algebra, 即它的偶部分（修改：只在quaternion的情况成立，一般情况只是偶部分的子集）：

{n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}. （如果n的norm为1，那么n=n^{-1}, 也可以写成nxn）

比如上面的quaternion就是偶部分，可以用来做三维空间的旋转。在计算机图形学中，比用三维矩阵来做旋转要快。

感觉Clifford algebra的好处就这么一点点？用2^n维的工具来操作n维向量，杀鸡用牛刀？因为你能做的旋转/反射，我也能在向量空间内做，不需要Clifford algebra完全也能做到。感觉Clifford algebra的好处会随着n 增大而消失，因为2^n维实在太大了，除非你用量子计算机。

嗯。x和n都必须是最开始的vector space V中的向量。也就是Clifford algebra中的一阶元素，也就是不能包含形如e₁e₂这样的分量。在这种条件下，nxn仍然回到V中，也就是nxn在Clifford algebra中仍然是一阶元素。

[Caravel]

https://www.reed.edu/physics/faculty/wh ... lgebra.pdf

这个材料不错，这个人似乎学Clifford也学了很多年，跟我们类似

[TheMatrix]

n不一定在向量空间内，也可以在Clifford内。这样的n有一个专有名词： even Clifford algebra, 即它的偶部分：

even Clifford algebra = {n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}. （如果n的norm为1，那么n=n^{-1}, 也可以写成nxn）

比如上面的quaternion就是偶部分，可以用来做三维空间的旋转/反射。在计算机图形学中，比用三维矩阵来做旋转要快。

感觉Clifford algebra的好处就这么一点点？用2^n维的工具来操作n维向量，杀鸡用牛刀？因为你能做的旋转/反射，我也能在向量空间内做，不需要Clifford algebra完全也能做到。感觉Clifford algebra的好处会随着n 增大而消失，因为2^n维实在太大了，除非你用量子计算机。

Clifford algebra 的偶部分怎么定义的？是Clifford algebra的偶subalgebra，还是某一个偶subspace？

even Clifford algebra = {n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}. 这个是定义还是定理？

[FoxMe]

就是偶subalgebra。

>even Clifford algebra = {n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}.

这里记错了，只对quaternion成立。{n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}是一个子集，但好像没有专门取名字，已修正。

这里又牵扯出两个名词：

spin group = {以上的n, 并且n 的norm=1}；所以我说的那个集合基本上是spin group: 这也好理解，这个群就是用来做旋转的。

还有spinor norm = n的norm，基本上。

大致上spin group + spinor norm完整地刻画了上面那个子集。

Clifford algebra 的偶部分怎么定义的？是Clifford algebra的偶subalgebra，还是某一个偶subspace？

even Clifford algebra = {n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}. 这个是定义还是定理？

[Caravel]

https://www.reed.edu/physics/faculty/wh ... lgebra.pdf

弃婴，翻了一下，你这个资料像数学手册一样，不如这篇文章有意思
http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-conte ... Millen.pdf

[Caravel]

n不一定在向量空间内，也可以在Clifford内。这样的n有一个专有名词： even Clifford algebra, 即它的偶部分（修改：只在quaternion的情况成立，一般情况只是偶部分的子集）：

{n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}. （如果n的norm为1，那么n=n^{-1}, 也可以写成nxn）

比如上面的quaternion就是偶部分，可以用来做三维空间的旋转/反射。在计算机图形学中，比用三维矩阵来做旋转要快。

感觉Clifford algebra的好处就这么一点点？用2^n维的工具来操作n维向量，杀鸡用牛刀？因为你能做的旋转/反射，我也能在向量空间内做，不需要Clifford algebra完全也能做到。感觉Clifford algebra的好处会随着n 增大而消失，因为2^n维实在太大了，除非你用量子计算机。

旋转的处理是clifford的精髓，用两个反射代替旋转的技巧是Hamilton想出来的。