从reflection和rotation为例看clifford algebra

[TheMatrix]

反射：x -> -nxn
旋转：x - > RxR^(-1)，R是两个vector a, b 的geometry product ab

这里有点怪：x - > axa^(-1)不也是旋转吗（这里对a有限制，要保证axa^(-1)还在向量空间内）？为啥要两个向量a,b？对a,b有限制吗？

应该是这样的：考虑的是线性（有内积）空间V的旋转，也就是考虑一般的x∈V。如果a∈V，b∈V，那么
x - > axa^(-1)
x - > bxb^(-1)
都是反射，不是旋转。但是，
x - > (ab)x(ab)^(-1)
是旋转。

[TheMatrix]

不是用一对矢量cover整个SO(n). 刚好有n(n-1)/2独立的矢量对, 就是n(n-1)/2独立的角度。

另外CA是用bivector表示旋转，这在高维有很大的优势，3d的情形也可以用旋转轴矢量表示，但是4d的时候，旋转轴就不唯一了，bivector更体现了旋转的本质。

嗯。对。看矢量对也就是bivector所在空间的维度，而且是在CA空间看。在4d的时候bivector的基为
{e₁e₂,e₁e₃,e₁e₄,e₂e₃,e₂e₄,e₃e₄}，也就是4选2，维度等于6。

我前面两个矢量的维度我计算的不对。维度应该是相乘，不是相加。然后还要考虑关联，这就复杂了。

[Caravel]

嗯。对。看矢量对也就是bivector所在空间的维度，而且是在CA空间看。在4d的时候bivector的基为
{e₁e₂,e₁e₃,e₁e₄,e₂e₃,e₂e₄,e₃e₄}，也就是4选2，维度等于6。

我前面两个矢量的维度我计算的不对。维度应该是相乘，不是相加。然后还要考虑关联，这就复杂了。

我这几天每天重读一遍wiki，看看能懂多少

[TheMatrix]

我这几天每天重读一遍wiki，看看能懂多少

wiki上CA的切入点没有你这个好。我感觉wiki我都看懂了，但是又感觉没懂。

[Caravel]

wiki上CA的切入点没有你这个好。我感觉wiki我都看懂了，但是又感觉没懂。

能看懂已经厉害了，我只能看懂一部分，很多数学家的话看不惯

[Caravel]

wiki上CA的切入点没有你这个好。我感觉wiki我都看懂了，但是又感觉没懂。

我现在对spinor与ca的关系感兴趣，还没有厘清头绪

[FoxMe]

感觉这是CA的主要卖点

我现在对spinor与ca的关系感兴趣，还没有厘清头绪

[TheMatrix]

不是用一对矢量cover整个SO(n). 刚好有n(n-1)/2独立的矢量对, 就是n(n-1)/2独立的角度。

另外CA是用bivector表示旋转，这在高维有很大的优势，3d的情形也可以用旋转轴矢量表示，但是4d的时候，旋转轴就不唯一了，bivector更体现了旋转的本质。

我再展开一下：

对于任意单位矢量n，x -> nxn^-1是V空间的反射，反射平面为以n为法向量的超平面。反射是一个保长度的线性变换，但是不保符号，也可以叫orientation，或parity，也可以说是座标架的顺序。那么两个反射就负负得正，既保长度又保符号，所以就是一个旋转，也就是SO(n)中的一个元素。SO(n)理解为座标架的转动比较容易，等同于空间的旋转。

所以两个反射等于一个旋转。四个反射也等于一个旋转。

SO(n)的维度是n(n-1)/2，也就是n取2。这个是其他方法证明的。但是它正好等于Clifford Algebra中2阶空间的维度，也就是比如这个空间{e₁e₂,e₁e₃,e₁e₄,e₂e₃,e₂e₄,e₃e₄}。这好像是个巧合。因为还没考虑4阶空间呢，也就是{e₁e₂e₃e₄ ,...}这样的空间。

[Caravel]

我再展开一下：

对于任意单位矢量n，x -> nxn^-1是V空间的反射，反射平面为以n为法向量的超平面。反射是一个保长度的线性变换，但是不保符号，也可以叫orientation，或parity，也可以说是座标架的顺序。那么两个反射就负负得正，既保长度又保符号，所以就是一个旋转，也就是SO(n)中的一个元素。SO(n)理解为座标架的转动比较容易，等同于空间的旋转。

所以两个反射等于一个旋转。四个反射也等于一个旋转。

SO(n)的维度是n(n-1)/2，也就是n取2。这个是其他方法证明的。但是它正好等于Clifford Algebra中2阶空间的维度，也就是比如这个空间{e₁e₂,e₁e₃,e₁e₄,e₂e₃,e₂e₄,e₃e₄}。这好像是个巧合。因为还没考虑4阶空间呢，也就是{e₁e₂e₃e₄ ,...}这样的空间。

不是巧合，都是C(n,2), SO(n)是正交矩阵，只有一半的free element。

[TheMatrix]

不是巧合，都是C(n,2), SO(n)是正交矩阵，只有一半的free element。

嗯。SO(n)是一个李群，不是一个线性空间。所以CA二阶元素空间应该是SO(n)的李代数。它正好有n(n-1)/2维，也就是SO(n)的维度。而CA高阶（偶）元素，比如e₁e₂e₃e₄这样的元素，不是独立的，它存在于CA二阶空间的李代数中。而二阶空间的李代数可以做exponential map，得到SO(n)，这和你前面用的exp对上了。

[Caravel]

嗯。SO(n)是一个李群，不是一个线性空间。所以CA二阶元素空间应该是SO(n)的李代数。它正好有n(n-1)/2维，也就是SO(n)的维度。而CA高阶（偶）元素，比如e₁e₂e₃e₄这样的元素，不是独立的，它存在于CA二阶空间的李代数中。而二阶空间的李代数可以做exponential map，得到SO(n)，这和你前面用的exp对上了。

对，应该说SO(n)的一个representation是正交矩阵，其实归结到物理本质就是3d旋转可以用三个角度来表征

[FoxMe]

有点道理

应该是这样的：考虑的是线性（有内积）空间V的旋转，也就是考虑一般的x∈V。如果a∈V，b∈V，那么
x - > axa^(-1)
x - > bxb^(-1)
都是反射，不是旋转。但是，
x - > (ab)x(ab)^(-1)
是旋转。

[FoxMe]

什么时候用bivector, 什么时候用multivector?

属实，spin(n) 只包括rotation，加上reflections的group叫 pin(n). Rotation在Clifford的里面也非常简洁，

基本型是
x - > RxR^(-1)

R是两个vector a, b 的geometry product ab, 也叫Versor. a，b的平面是旋转平面，比较奇怪的是a，b的夹角不是 theta 而是 theta/2.

x可以推广到clifford 代数里面一般的multi-vector。

这个旋转的idea可能是从四元数借鉴来的，但是clifford把很多不同的数学概念统一在一个框架里面。

[Caravel]

什么时候用bivector, 什么时候用multivector?

bivector 是a ^ b的外积， rotor就是表示rotation的R，是ab的geometry product，如果两个向量不正交，得到不是bivector， 比如 e1 (e1+e2) = 1 + e1e2, 这属于一般的multi-vector，

“In geometric algebra, a multivector is defined to be the sum of different-grade k-blades, such as the summation of a scalar, a vector, and a 2-vector.”

[hci]

bivector是一种单位，比如寸。

multivector是具体的量，比如3尺5寸。

这就是为啥叫几何代数，把空间当成了数来处理了，变得可以算了。

为啥要这么大，因为空间就是这么大。

什么时候用bivector, 什么时候用multivector?

[FoxMe]

我看一般反射都写作
x -> - axa^(-1)，有负号，不是axa^(-1)。
这里区别是啥？

应该是这样的：考虑的是线性（有内积）空间V的旋转，也就是考虑一般的x∈V。如果a∈V，b∈V，那么
x - > axa^(-1)
x - > bxb^(-1)
都是反射，不是旋转。但是，
x - > (ab)x(ab)^(-1)
是旋转。

[TheMatrix]

我看一般反射都写作
x -> - axa^(-1)，有负号，不是axa^(-1)。
这里区别是啥？

我写错了。要有负号。我验证过。

[FoxMe]

没有负号是旋转，有负号是反射。难以理解。

旋转对应的矩阵det = 1, 反射对应的矩阵det = - 1. 这个负号把det从1变为-1,怎么解释？我感觉负号对应的矩阵det = (-1)^n，和维数n有关，可能是1，也可能是-1.

我写错了。要有负号。我验证过。

[TheMatrix]

没有负号是旋转，有负号是反射。难以理解。

旋转对应的矩阵det = 1, 反射对应的矩阵det = - 1. 这个负号把det从1变为-1,怎么解释？我感觉负号对应的矩阵det = (-1)^n，和维数n有关，可能是1，也可能是-1.

是这样：
如果x∈V，a∈V，那么
x -> -axa^-1
是反射。

如果b∈V，那么
x -> (-)(-)baxa^-1b^-1
就成了旋转。

[Caravel]

没有负号是旋转，有负号是反射。难以理解。

旋转对应的矩阵det = 1, 反射对应的矩阵det = - 1. 这个负号把det从1变为-1,怎么解释？我感觉负号对应的矩阵det = (-1)^n，和维数n有关，可能是1，也可能是-1.

不是一个东西，一个vector，一个是两个vector的几何积