differential form你们学过么？

[FoxMe]

没学过，一直没搞懂。你讲讲？

感觉这个概念很重要，和场论有异曲同工之妙，可惜的时候普通的高等微积分课都不学。

[弃婴千枝]

没学过，一直没搞懂。你讲讲？

读读这本书,讲得非常浅显又渗入,把从diff form,quantum group,gauge field...到chern form的思想都讲清楚了

这也是world' scientific这个鼻屎国的垃圾出版社出版过的少见的好书,更重要的是-便宜

https://www.amazon.com/GAUGE-FIELDS-KNO ... 9810220340

[VladPutin]

感觉这个概念很重要，和场论有异曲同工之妙，可惜的时候普通的高等微积分课都不学。

你如果研究的问题不牵涉高维空间的连续坐标变换就没有必要引进这个技术。

[rgg]

why do we need form? can we do the work in vector space?

因为方便。
例如说一个函数的梯度。在一个函数一点,你给一个方向向量，塞梯度里给一个数值出来，是方向导数。 那在这个语境里，梯度和方向向量的向量显然不是同一种向量，它们在自己的空间里， 而且有关系。 所以另起个名字form/slot machine 比较方便。你叫他form,他自然把向量变成一个数；你要非把它叫做向量， 还得定义等价的两个向量的内积。

[TheMatrix]

因为方便。
例如说一个函数的梯度。在一个函数一点,你给一个方向向量，塞梯度里给一个数值出来，是方向导数。 那在这个语境里，梯度和方向向量的向量显然不是同一种向量，它们在自己的空间里， 而且有关系。 所以另起个名字form/slot machine 比较方便。你叫他form,他自然把向量变成一个数；你要非把它叫做向量， 还得定义等价的两个向量的内积。

有道理。看来form这个词确实是这么来的。

[Caravel]

读读这本书,讲得非常浅显又渗入,把从diff form,quantum group,gauge field...到chern form的思想都讲清楚了

这也是world' scientific这个鼻屎国的垃圾出版社出版过的少见的好书,更重要的是-便宜

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看本简单的微分几何就可以了

[Caravel]

[media][/media]

抽象代数比线性代数抽象得多。感觉趣味不太一样。抽象代数的门坎比较高。

这是这一套语言，什么线性空间之类的，同构同态之类的，如果没接触过很害怕。看多了就那么回事。

[Caravel]

因为方便。
例如说一个函数的梯度。在一个函数一点,你给一个方向向量，塞梯度里给一个数值出来，是方向导数。 那在这个语境里，梯度和方向向量的向量显然不是同一种向量，它们在自己的空间里， 而且有关系。 所以另起个名字form/slot machine 比较方便。你叫他form,他自然把向量变成一个数；你要非把它叫做向量， 还得定义等价的两个向量的内积。

引入了切空间TpC，抽象层次又高了一点

[Caravel]

没学过，一直没搞懂。你讲讲？

我在看这个note，不长

https://arxiv.org/abs/math/0306194v1

[longtian]

本科有比较简单的微分几何，算是入门。研究生有微分几何系列课，对微分方程代数要求都很高。

国家队奥数金牌选手大一的时候很厉害，2，3年之后就大部分很一般了，很多人打游戏挂科

微分几何数学系都选修？

我的意思是微积分和线代的一个简化版本应该高中就开始学。

知乎上一个回答我很赞同

作者：Zeldovich Yakov

数学竞赛可以选拔出技术能力特别强的学生，这对发现数学研究人才是有帮助的，苏联、匈牙利等国也确实靠数学竞赛发现了很多优秀的数学人才，从这个角度来说，数学竞赛拿第一，这不是个坏事。但是中国的数学竞赛这个搞法，我觉得不是个好事。现在进国家队的学生训练时间普遍非常早，大部分都是从初二以前就开始搞竞赛了，这种搞法显然不对头。即便是最早开始提倡奥数，而且主持建立了俄罗斯的理科特长教育体系，同时也是教育家的俄罗斯数学大师Andrey Kolmogorov，也很明确的指出”有些家长和老师就想从10岁～12岁左右的学生中挖掘有数学才能的孩子，这样做会害了孩子，但孩子到了14～16岁，情况就不一样了。“[1]和其它国家的参赛选手比，中国选手在竞赛上花的时间极长，不但起步时间早，而且平常花时间也非常长，停课搞竞赛的并不是个例，论花费的时间来说，中国选手和很多国家的选手比，那就是专业选手PK业余选手，赢了才正常，不赢反而不正常。另外一方面，中国的竞赛训练也过于应试，很多地方的竞赛培训就是讲题做题，纯粹的应试导向，完全不涉及高等数学的知识，反而时常会可以避开高等数学。反观俄罗斯、美国等国，做法则大不相同，他们的数学竞赛培训里面还包括线性代数、数学分析和现代组合学等，下图就是去年秋天莫斯科市队准备全俄数学奥林匹克竞赛决赛的训练营线性代数训练题。从美国国集训练营的日程表也可以看出，美国的竞赛培训包含了线性代数等内容，他们甚至还讲了椭圆曲线和p-adic。如果读过xyz出版社出版的竞赛教材，例如Titu Andreescu和Gabriel Dospinescu合著的Problems from the Book的话，也会发现这一点，就是他们的竞赛教材不会刻意回避高等数学，比如里面有专门的章节讲线性代数在组合学中的应用，以及用积分证明不等式等等，xyz出版社出的大部分竞赛教材，如Titu Andreescu和Gabriel Dospinescu合著的数论，还有Evan Chen的平面几何等，写法就是正常数学书的写法，不像中国的竞赛教材，如小丛书和命题人讲座里面的很多分册，几乎就是简单粗暴的讲技巧堆题目，学生除了学到一堆支离破碎的奇技淫巧就没别的了。还有像罗马尼亚这样的国家，中学奥数干脆就把抽象代数、线性代数、数学分析全都放进考试大纲，大家去AOPS论坛翻一下罗马尼亚国家数学奥林匹克竞赛11、12年级组的真题就知道了[2]。就算都拿了金牌，那个含金量更高，明眼人都心知肚明。这种搞法下选拔出来的学生，显然很难符合社会大众的预期，据我所知，今年的国家队选手都没有选择数学专业，全都准备去姚班学计算机，虽然数学竞赛选手去学计算机也挺正常，但国家队全都去学计算机，这还是有点不正常，这和举办数学竞赛的最初目标差异还是不小的，为什么会这样，这绝对值得检讨。事实上，虽然韦东奕有些争议，但差不多同时代的国家队选手里面像张瑞祥、李嘉伦，现在的表现都算很不错，而自韦东奕那批国家队以后，后面表现特别好的中国学生里面，几乎看不到国家队选手的身影，唐珑珂也不是国家队选手。

[Yellen]

微分形式还有张量这些，物理，天文，地质，无线电等理工专业都有教基本的吧？其实当年也就当个数学工具讲，觉得理解的还是不深。

[TheMatrix]

读读这本书,讲得非常浅显又渗入,把从diff form,quantum group,gauge field...到chern form的思想都讲清楚了

这也是world' scientific这个鼻屎国的垃圾出版社出版过的少见的好书,更重要的是-便宜

https://www.amazon.com/GAUGE-FIELDS-KNO ... 9810220340

John Baez是数学家。这本书是数学-友好的。

电场E和磁场B，我初等的理解，它们是一个矢量，也就是它们本身在线性空间里。

这里把它们看作differential form，也就是它们是函数。作用在矢量上。作用在的应该是空间矢量。得到的是什么？有没有电场和磁场的量纲？

这好像是covariant 和 contravariant vector的区别。

[Caravel]

John Baez是数学家。这本书是数学-友好的。

电场E和磁场B，我初等的理解，它们是一个矢量，也就是它们本身在线性空间里。

这里把它们看作differential form，也就是它们是函数。作用在矢量上。作用在的应该是空间矢量。得到的是什么？有没有电场和磁场的量纲？

这好像是covariant 和 contravariant vector的区别。

1-Form在每个点是一个dual vector，也是一个向量空间。
切空间是一个完全独立的空间，还是需要和原空间有几何联系？

[TheMatrix]

1-Form在每个点是一个dual vector，也是一个向量空间。
切空间是一个完全独立的空间，还是需要和原空间有几何联系？

切空间肯定和原空间（曲面）有几何联系。

切空间的定义很复杂。我说的是考虑非嵌入式的抽象的manifold上的切空间。它的定义很复杂。

怎么才能说清楚呢？

[弃婴千枝]

John Baez是数学家。这本书是数学-友好的。

电场E和磁场B，我初等的理解，它们是一个矢量，也就是它们本身在线性空间里。

这里把它们看作differential form，也就是它们是函数。作用在矢量上。作用在的应该是空间矢量。得到的是什么？有没有电场和磁场的量纲？

vector bundle

这好像是covariant 和 contravariant vector的区别。

是的;所以一般只考虑电场

[TheMatrix]

John Baez是数学家。这本书是数学-友好的。

电场E和磁场B，我初等的理解，它们是一个矢量，也就是它们本身在线性空间里。

这里把它们看作differential form，也就是它们是函数。作用在矢量上。作用在的应该是空间矢量。得到的是什么？有没有电场和磁场的量纲？

这好像是covariant 和 contravariant vector的区别。

电场和磁场，初等的理解，是vector field，也就是空间上的vector-valued函数 - 每一点上有一个场强，是矢量。写成函数就是 E,B: R³-->R³，带上时间变化的话，就是 E,B: R⁴-->R³。

而form，实际上是这样一个函数：
form: M --> (R⁴ --> R)，这是1-form。
2-form是 2-form: M -->((R⁴,R⁴) --> R)。

M就是原来的平直空间现在变成manifold了。括号里的R⁴是M上每一点的切空间。

E和B由原来的一个箭头的函数，变成了两个箭头的函数。我还是不太理解。

[TheMatrix]

电场和磁场，初等的理解，是vector field，也就是空间上的vector-valued函数 - 每一点上有一个场强，是矢量。写成函数就是 E,B: R³-->R³，带上时间变化的话，就是 E,B: R⁴-->R³。

而form，实际上是这样一个函数：
form: M --> (R⁴ --> R)，这是1-form。
2-form是 2-form: M -->((R⁴,R⁴) --> R)。

M就是原来的平直空间现在变成manifold了。括号里的R⁴是M上每一点的切空间。

E和B由原来的一个箭头的函数，变成了两个箭头的函数。我还是不太理解。

我是看这段的：

[Caravel]

我是看这段的：

这里面说的是
E 被写成 1-form，
B 被写成 2-form，
这是在4d Minkowski时空。 Wedge product能揭示物理量量纲的区别。你这是什么书？这两天看了一点微分形式，基本已经能读懂这段话什么意思了，呵呵，看来没有白看。

[弃婴千枝]

这里面说的是
E 被写成 1-form，
B 被写成 2-form，
这是在4d Minkowski时空。 Wedge product能揭示物理量量纲的区别。你这是什么书？这两天看了一点微分形式，基本已经能读懂这段话什么意思了，呵呵，看来没有白看。

https://www.amazon.com/GAUGE-FIELDS-KNO ... 810220340
我前面说的
这本书从diff form 讲到chern form，非常accessiable

[Caravel]

https://www.amazon.com/GAUGE-FIELDS-KNO ... 810220340
我前面说的
这本书从diff form 讲到chern form，非常accessiable

你这书我前几天找的那个PDF不太清楚，2页面印在一页，矩阵这个版本比较清楚