Gauge field and gauge symmetry

[TheMatrix]

哈哈。这个题目挺吓人的。我先扔在这。no obligation.

[TheMatrix]

这不是我第一次写这个题目了。第n次，n >= 3。

更不是第一次想这个事。第m次，m >= 10。

就好像翻开圣经，每次都从马太福音开始，走着走着，疲惫了，并没有打通。而下一次还是从马太福音开始，因为马太福音又忘得差不多了。

但是每次思考也不是完全的重复，至少感觉不是。我感到每次思考都有新的体会。

我的每一次发言，都代表我现在的水平。没有一件事情我可以说“二十年前我就懂了”。

但是反过来说，我每天都在进步。

[TheMatrix]

Gauge field
Gauge symmetry
Gauge transformation
Gauge group
Gauge invariance

[TheMatrix]

Gauge field是个什么呢？elegant的说，是个联络，纤维丛上的联络。

但这个说法太吓人了。down to earth的说，它就是函数 - 但不是一个函数。在四维时空上就是4个函数，在三维空间就是3个函数，在二维空间就是两个函数。

我想完全用自然语言来说，但感觉还是有点说不清楚。还是得有数学语言。

考虑二维空间。也就是一个平面。平面上面有一根一根的细丝，垂直于平面的。这就叫纤维丛。

现在考虑一个问题：平面上两个点a和b，a点上有一根细丝，叫A（集合），b点上有一根细丝，叫B（集合）。A集合和B集合应该怎么对应呢？

naive的说，A中的x如果和B中的y一样高，那就对应咯。这个对应能扩展到平面上每一个点上面的细丝上，看起来就是一个一个的横截面。

但是，谁说非要一样高才可以对应？我偏要斜着对应。我还可以波浪式的对应。也就是说相对应的这个面不是平的横截面，可以是斜的，还可以是波浪式的曲截面。因为没有人说非要一样高才可以对应。是我们形象化思考的时候，头脑中自然有一个“高度”的概念。这实际上是个暗示，但是没有人说要按照这个暗示来。

类比一下更清楚：美国有3亿人，这就是那个平面，每个人是一个点。每个人钱包里都有钱，钱数就是每个点上的细丝。平面加上一根根细丝就是纤维丛。我兜里的钱和你兜里的钱应该怎么对应才“合理”？这就是前面那个问题。naive的说，我兜里的5块钱就应该对应你兜里的5块钱。一样高嘛。但是，转念一想，不对啊，我兜里的10000块钱和比尔盖茨兜里的10000块钱怎么能对应呢？我丢10000块钱我得哭死。比尔盖茨丢10000块钱，啥事没有。所以我想到，不能按照“高度”来对应。以其它方式来对应，是有合理性的。

回答这个对应关系，也就是这个对应关系是一个平的横截面，或者是一个斜面，或者是一个波浪式的曲面，这，就叫联络。纤维丛上的联络。

我靠。我本来是要写down to earth的函数的，结果还是写成elegant的了。

[FoxMe]

这里的gauge是啥意思? 数学里也有个gauge function:

https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_functional

基本上就是norm，度量的意思

[TheMatrix]

这里的gauge是啥意思? 数学里也有个gauge function:

https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_functional

基本上就是norm，度量的意思

对。gauge应该是度量，规范，校正，这些意思。

gauge field，从名字来看，是一个校正field，也就是空间中的每一点都有一个校正。

从纤维丛上的联络来看，确实可以看成是一种校正：这根纤维上的一点和那根纤维上的哪个点相对应，这可以看成是一种校正。

但是这个名字使gauge field听起来不像一个物理量。其实它是一个物理量。

gauge field为什么是一个物理量呢？因为空间一点处校正的大小，是和该点处的比如“物质密度”有关的，所以这是一个物理量。

[TheMatrix]

Gauge field是个什么呢？elegant的说，是个联络，纤维丛上的联络。

但这个说法太吓人了。down to earth的说，它就是函数 - 但不是一个函数。在四维时空上就是4个函数，在三维空间就是3个函数，在二维空间就是两个函数。

我想完全用自然语言来说，但感觉还是有点说不清楚。还是得有数学语言。

考虑二维空间。也就是一个平面。平面上面有一根一根的细丝，垂直于平面的。这就叫纤维丛。

现在考虑一个问题：平面上两个点a和b，a点上有一根细丝，叫A（集合），b点上有一根细丝，叫B（集合）。A集合和B集合应该怎么对应呢？

naive的说，A中的x如果和B中的y一样高，那就对应咯。这个对应能扩展到平面上每一个点上面的细丝上，看起来就是一个一个的横截面。

但是，谁说非要一样高才可以对应？我偏要斜着对应。我还可以波浪式的对应。也就是说相对应的这个面不是平的横截面，可以是斜的，还可以是波浪式的曲截面。因为没有人说非要一样高才可以对应。是我们形象化思考的时候，头脑中自然有一个“高度”的概念。这实际上是个暗示，但是没有人说要按照这个暗示来。

类比一下更清楚：美国有3亿人，这就是那个平面，每个人是一个点。每个人钱包里都有钱，钱数就是每个点上的细丝。平面加上一根根细丝就是纤维丛。我兜里的钱和你兜里的钱应该怎么对应才“合理”？这就是前面那个问题。naive的说，我兜里的5块钱就应该对应你兜里的5块钱。一样高嘛。但是，转念一想，不对啊，我兜里的10000块钱和比尔盖茨兜里的10000块钱怎么能对应呢？我丢10000块钱我得哭死。比尔盖茨丢10000块钱，啥事没有。所以我想到，不能按照“高度”来对应。以其它方式来对应，是有合理性的。

回答这个对应关系，也就是这个对应关系是一个平的横截面，或者是一个斜面，或者是一个波浪式的曲面，这，就叫联络。纤维丛上的联络。

我靠。我本来是要写down to earth的函数的，结果还是写成elegant的了。

纤维丛上的联络是什么样子的呢？



我在网上搜了一下图片，没有找到合适的图片。问了ChatGPT，优化了几次，差不多要找到合适的图片了，上面就是ChatGPT生成的图片。想要再优化一次，但是ChatGPT告诉我：每天图片数量限制到了。

这是我要问的：

a curved surface as a section of a bunch of vertile lines that are perpendicular to a plane like a shape of a hat

[弃婴千枝]

gauge field是个错误的历史名称，最早由德国人Hermann Weyl提出，
Weyl是个搞数学的，对物理狗屁不通，当年schroding对氢原子的电子
能量量子化后，在试图量子化光子能量的事后傻眼了，因为光子是约束场，
也就是说，电磁场的变量E,B不是独立变量，还要受一个约束条件f(E,B)=0的约束，
用数学的语言来说，这是holonomic的，就像你骑自行车，你的自行车是不能
脱离地面，于是地面就是个holonomic的条件。于是Weyl突发奇想认为只要
做个矫正就可以把约束，即所谓gauge去掉了，但是试图搞定光子量子化的
时候失败了。

历史也证明weyl的gauge这个概念是彻底失败的，后来82的yang-mills理论
提出，才知道需要用李代数。

详细参阅
viewtopic.php?t=63760

对。gauge应该是度量，规范，校正，这些意思。

gauge field，从名字来看，是一个校正field，也就是空间中的每一点都有一个校正。

从纤维丛上的联络来看，确实可以看成是一种校正：这根纤维上的一点和那根纤维上的哪个点相对应，这可以看成是一种校正。

但是这个名字使gauge field听起来不像一个物理量。其实它是一个物理量。

gauge field为什么是一个物理量呢？因为空间一点处校正的大小，是和该点处的比如“物质密度”有关的，所以这是一个物理量。

[TheMatrix]

gauge field是个错误的历史名称，最早由德国人Hermann Weyl提出，
Weyl是个搞数学的，对物理狗屁不通，当年schroding对氢原子的电子
能量量子化后，在试图量子化光子能量的事后傻眼了，因为光子是约束场，
也就是说，电磁场的变量E,B不是独立变量，还要受一个约束条件f(E,B)=0的约束，
用数学的语言来说，这是holonomic的，就像你骑自行车，你的自行车是不能
脱离地面，于是地面就是个holonomic的条件。于是Weyl突发奇想认为只要
做个矫正就可以把约束，即所谓gauge去掉了，但是试图搞定光子量子化的
时候失败了。

历史也证明weyl的gauge这个概念是彻底失败的，后来82的yang-mills理论
提出，才知道需要用李代数。

详细参阅
viewtopic.php?t=63760

听弃婴的。那就把gauge field这个词作为一个历史名词来处理。

但是gauge field是纤维丛上的联络，这还是对的。

[弃婴千枝]

听弃婴的。那就把gauge field这个词作为一个历史名词来处理。

但是gauge field是纤维丛上的联络，这还是对的。

最后gauge field这个名称归德国人
gauge field名称里面的定义归中国人

就像你们数学里的lie algebra一样，实际上也是这么回事

[TheMatrix]

Gauge field是个什么呢？elegant的说，是个联络，纤维丛上的联络。

但这个说法太吓人了。down to earth的说，它就是函数 - 但不是一个函数。在四维时空上就是4个函数，在三维空间就是3个函数，在二维空间就是两个函数。

我想完全用自然语言来说，但感觉还是有点说不清楚。还是得有数学语言。

考虑二维空间。也就是一个平面。平面上面有一根一根的细丝，垂直于平面的。这就叫纤维丛。

现在考虑一个问题：平面上两个点a和b，a点上有一根细丝，叫A（集合），b点上有一根细丝，叫B（集合）。A集合和B集合应该怎么对应呢？

naive的说，A中的x如果和B中的y一样高，那就对应咯。这个对应能扩展到平面上每一个点上面的细丝上，看起来就是一个一个的横截面。

但是，谁说非要一样高才可以对应？我偏要斜着对应。我还可以波浪式的对应。也就是说相对应的这个面不是平的横截面，可以是斜的，还可以是波浪式的曲截面。因为没有人说非要一样高才可以对应。是我们形象化思考的时候，头脑中自然有一个“高度”的概念。这实际上是个暗示，但是没有人说要按照这个暗示来。

类比一下更清楚：美国有3亿人，这就是那个平面，每个人是一个点。每个人钱包里都有钱，钱数就是每个点上的细丝。平面加上一根根细丝就是纤维丛。我兜里的钱和你兜里的钱应该怎么对应才“合理”？这就是前面那个问题。naive的说，我兜里的5块钱就应该对应你兜里的5块钱。一样高嘛。但是，转念一想，不对啊，我兜里的10000块钱和比尔盖茨兜里的10000块钱怎么能对应呢？我丢10000块钱我得哭死。比尔盖茨丢10000块钱，啥事没有。所以我想到，不能按照“高度”来对应。以其它方式来对应，是有合理性的。

回答这个对应关系，也就是这个对应关系是一个平的横截面，或者是一个斜面，或者是一个波浪式的曲面，这，就叫联络。纤维丛上的联络。

我靠。我本来是要写down to earth的函数的，结果还是写成elegant的了。

现在开始说gauge field作为函数的理解了。直接说它作为函数的话，好像缺了一个形象的理解。

一个纤维丛上的联络也就是一组曲面，每一个都罩在作为底座的平面上，数学上叫一组section，翻译成横截面，但不是平的，是弯曲的，一组curved surface。从曲面上某一个点开始，也就是底座平面某点的纤维（细丝）上的某点开始，沿着弯曲的横截面，可以走到另一点上，也就是底座平面另一点的纤维上的某点。这样就把底座平面两个点上的两个纤维的点集对应了起来。这就是联络。

这组曲面有一个特点，就是两两不相交，一层一层的。

这个特点正是微分方程的解的特点。

也就是，想象你身处这个弯曲的横截面的某一点，周围各个方向一看，也就是微分的看，你知道每个方向应该怎么走，才能trace out这个弯曲的横截面。

所以要描述这样一组弯曲的横截面，在底座平面是二维的情况下，需要两个函数：x方向上的导数函数，y方向上的导数函数。这两个函数每一个都是平面上的函数，也就是定义域是平面，也就是两个变量的函数。值域是什么呢？是纤维到纤维的一个变换，纤维如果是一维的，一根细丝的话，那么值域还是一个数，而已。

也就是要描述这一组弯曲的横截面，需要两个函数，两个二元函数。作为x和y方向的偏导数函数。然后解一个微分方程，就得到这么一组弯曲的横截面，也就是纤维丛上的联络。

也就是，纤维丛上的联络就等价于底座平面上的两个函数。

底座平面如果是三维的，就需要三个函数。四维的就需要四个函数。

[forecasting]

gauge field是个错误的历史名称，最早由德国人Hermann Weyl提出，
Weyl是个搞数学的，对物理狗屁不通，当年schroding对氢原子的电子
能量量子化后，在试图量子化光子能量的事后傻眼了，因为光子是约束场，
也就是说，电磁场的变量E,B不是独立变量，还要受一个约束条件f(E,B)=0的约束，
用数学的语言来说，这是holonomic的，就像你骑自行车，你的自行车是不能
脱离地面，于是地面就是个holonomic的条件。于是Weyl突发奇想认为只要
做个矫正就可以把约束，即所谓gauge去掉了，但是试图搞定光子量子化的
时候失败了。

历史也证明weyl的gauge这个概念是彻底失败的，后来82的yang-mills理论
提出，才知道需要用李代数。

详细参阅
viewtopic.php?t=63760

呵呵。Weyl算数学家吗？至多算数学物理学家。你一会儿说杨摘Weyl的桃子，一会儿说Weyl不懂物理，不自相矛盾？

是这本书吧？https://libgen.is/book/index.php?md5=8F ... 2F8027C05F

你对Weyl的Gauge的评论怎么来的？怎么跟我的印象相差这么远？

[弃婴千枝]

呵呵。Weyl算数学家吗？至多算数学物理学家。你一会儿说杨摘Weyl的桃子，一会儿说Weyl不懂物理，不自相矛盾？

是这本书吧？https://libgen.is/book/index.php?md5=8F ... 2F8027C05F

你对Weyl的Gauge的评论怎么来的？怎么跟我的印象相差这么远？

https://sci-hub.ru/10.1103/revmodphys.72.1

https://journals.aps.org/rmp/abstract/1 ... dPhys.72.1
Rev. Mod. Phys. 72, 1
Gauge theory: Historical origins and some modern developments

[forecasting]

https://sci-hub.ru/10.1103/revmodphys.72.1

https://journals.aps.org/rmp/abstract/1 ... dPhys.72.1
Rev. Mod. Phys. 72, 1
Gauge theory: Historical origins and some modern developments

靠得住吗？也有二十多年了。

小爱和老杨都讨论过Weyl的gauge theory，但印象不是你说的这样。

对了，我让人念gauge，都念成了go：加个尾音，没一个念做gei加尾音的。当然都不是学物理的。

[TheMatrix]

现在开始说gauge field作为函数的理解了。直接说它作为函数的话，好像缺了一个形象的理解。

一个纤维丛上的联络也就是一组曲面，每一个都罩在作为底座的平面上，数学上叫一组section，翻译成横截面，但不是平的，是弯曲的，一组curved surface。从曲面上某一个点开始，也就是底座平面某点的纤维（细丝）上的某点开始，沿着弯曲的横截面，可以走到另一点上，也就是底座平面另一点的纤维上的某点。这样就把底座平面两个点上的两个纤维的点集对应了起来。这就是联络。

这组曲面有一个特点，就是两两不相交，一层一层的。

这个特点正是微分方程的解的特点。

也就是，想象你身处这个弯曲的横截面的某一点，周围各个方向一看，也就是微分的看，你知道每个方向应该怎么走，才能trace out这个弯曲的横截面。

所以要描述这样一组弯曲的横截面，在底座平面是二维的情况下，需要两个函数：x方向上的导数函数，y方向上的导数函数。这两个函数每一个都是平面上的函数，也就是定义域是平面，也就是两个变量的函数。值域是什么呢？是纤维到纤维的一个变换，纤维如果是一维的，一根细丝的话，那么值域还是一个数，而已。

也就是要描述这一组弯曲的横截面，需要两个函数，两个二元函数。作为x和y方向的偏导数函数。然后解一个微分方程，就得到这么一组弯曲的横截面，也就是纤维丛上的联络。

也就是，纤维丛上的联络就等价于底座平面上的两个函数。

底座平面如果是三维的，就需要三个函数。四维的就需要四个函数。

所以down to earth的说，一个gauge field就是
一个平面，再加上平面上的两个函数，
也可以是一个三维空间，再加上三维空间上的三个函数，
或者一个四维空间，再加上四维空间上的四个函数。

这么理解就很看得见摸得着。

这样理解有点像通过Christoffel symbol计算曲率。不需要理解曲率的几何意义，就是通过函数一步一步算就行了。一个不懂几何的人也可以编程序算曲率。

[FoxMe]

规范场论（英語：gauge theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。规范场论可分为阿贝尔规范场论和非阿贝尔规范场论。非阿贝尔群（非交换对称群）的规范场论最常見的例子为杨-米尔斯理论。

[forecasting]

gauge field是个错误的历史名称，最早由德国人Hermann Weyl提出，
Weyl是个搞数学的，对物理狗屁不通，当年schroding对氢原子的电子
能量量子化后，在试图量子化光子能量的事后傻眼了，因为光子是约束场，
也就是说，电磁场的变量E,B不是独立变量，还要受一个约束条件f(E,B)=0的约束，
用数学的语言来说，这是holonomic的，就像你骑自行车，你的自行车是不能
脱离地面，于是地面就是个holonomic的条件。于是Weyl突发奇想认为只要
做个矫正就可以把约束，即所谓gauge去掉了，但是试图搞定光子量子化的
时候失败了。

历史也证明weyl的gauge这个概念是彻底失败的，后来82的yang-mills理论
提出，才知道需要用李代数。

详细参阅
viewtopic.php?t=63760

Weyl这本书叫Space， time，and matter，是推广相对论的不变性原理以统一广义相对论和电磁场。但他的变换是关于量杆或者尺度的。后来小爱批评其变换并不能保持不变性，于是失败了。老杨后来改量杆变换为李群元素的变换。

当然老杨的思想不完全来自Weyl的Gauge theory，还来自电磁场理论（应该叫啥？）和同位旋不变性（现代场论叫啥？），并且主要来自后两者。

千枝子怪老杨娶了翁帆，就厚诬老杨摘了Weyl的桃子，你咋不说老杨摘了麦克斯韦和海森堡的桃子？现在又反过来说Weyl的gauge思想彻底失败，Weyl完全不懂物理。你咋不说，Hilbert也完全不懂物理呢？

[TheMatrix]

规范场论（英語：gauge theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。规范场论可分为阿贝尔规范场论和非阿贝尔规范场论。非阿贝尔群（非交换对称群）的规范场论最常見的例子为杨-米尔斯理论。

关于全局和局部对称性，我写一下我的认识。

全局对称性经典理论就知道了 - 平移对称性和旋转对称性。这是从观察者的角度可以推出的 - 因为观察者置身事外，他进行一个平移或者旋转的观察位置的变化，不应该影响被观察的系统的物理规律。所以物理规律应该满足平移对称性和旋转对称性。在相对论的度规下，就是Poincare Group，也就是闵可夫斯基空间的保长变换群。

局部对称性是场论特有的。因为场论所研究的系统，其状态由场表达，也就是 ψ: R⁴ --> Y，也就是场是一个四维空间的函数。每一点都可以有对称性，这叫局部对称性。每一点的对称性只能在Y上，所以要看Y是什么。

最简单的 Y = C，也就是复数。这又是从哪来得呢？这是从量子力学来的。因为量子力学里的波函数必须是complex valued - 它理论就是这样，不知道为什么，但是很成功。而C有U(1)对称性，也就是复数的相位变化一下，对量子力学的可观测量没有影响。所以局部的U(1)对称性就出来了。

从这里可见，规范场论的局部对称性，从一开始，就是瞄着量子力学的。

第二简单的，就是 Y = C²，也就是二维复空间。这又是从哪来的呢？这是从电子自旋来的。因为有了C²就可以解释电子自旋，包括为什么只有两个观察值：±1/2。而C²有SU(2)对称性，或者说我们认为SU(2)不影响电子的状态。这样就有了场论的SU(2)局部对称性。

再往上，就自然往上走了：Y = C³。这就是SU(3)局部对称性。

[TheMatrix]

局部对称性是场论特有的。因为场论所研究的系统，其状态由场表达，也就是 ψ: R⁴ --> Y，也就是场是一个四维空间的函数。每一点都可以有对称性，这叫局部对称性。每一点的对称性只能在Y上，所以要看Y是什么。

每一点都可以有对称性，它隐含着每一点是一个粒子，或者每一点是一个密度，总之是一个物理的东西。而整个场，就是由这些东西稠密的组成。这是从多体到场过渡的角度来看的。

[TheMatrix]

关于全局和局部对称性，我写一下我的认识。

全局对称性经典理论就知道了 - 平移对称性和旋转对称性。这是从观察者的角度可以推出的 - 因为观察者置身事外，他进行一个平移或者旋转的观察位置的变化，不应该影响被观察的系统的物理规律。所以物理规律应该满足平移对称性和旋转对称性。在相对论的度规下，就是Poincare Group，也就是闵可夫斯基空间的保长变换群。

局部对称性是场论特有的。因为场论所研究的系统，其状态由场表达，也就是 ψ: R⁴ --> Y，也就是场是一个四维空间的函数。每一点都可以有对称性，这叫局部对称性。每一点的对称性只能在Y上，所以要看Y是什么。

最简单的 Y = C，也就是复数。这又是从哪来得呢？这是从量子力学来的。因为量子力学里的波函数必须是complex valued - 它理论就是这样，不知道为什么，但是很成功。而C有U(1)对称性，也就是复数的相位变化一下，对量子力学的可观测量没有影响。所以局部的U(1)对称性就出来了。

从这里可见，规范场论的局部对称性，从一开始，就是瞄着量子力学的。

第二简单的，就是 Y = C²，也就是二维复空间。这又是从哪来的呢？这是从电子自旋来的。因为有了C²就可以解释电子自旋，包括为什么只有两个观察值：±1/2。而C²有SU(2)对称性，或者说我们认为SU(2)不影响电子的状态。这样就有了场论的SU(2)局部对称性。

再往上，就自然往上走了：Y = C³。这就是SU(3)局部对称性。

这里应该补充一下，ψ: R⁴ --> Y 并不是规范场，而是物质场，是研究对象，研究目标。而规范场可以说是一个研究辅助。规范场是 A: R⁴ --> T。这两个都是场，可以说是在同一个定义域上的场。A和ψ的关系是，在每一个点 x ∈ R⁴上，A(x)作用在ψ(x)上。