这么多年了，终于把Legendre变换搞明白了。

[TheMatrix]

看过很多次，都是囫囵吞枣。也认真看过两三次，还是似懂非懂。

最近才终于搞明白了。

很多地方都用到，比较分析力学，还有热力学。我想起来了，我学过热力学，变量变换来变换去，当时有点囫囵吞枣。

[shuntianfu]

这怕不是个弱智，就这智商连学物理都不够，还不如多去艹两个妞

[TheMatrix]

这怕不是个弱智，就这智商连学物理都不够，还不如多去艹两个妞

不要瞎吹牛。谈两句漏一下底才好。

[TheMatrix]

我明确的告诉你这就是物理内容，这才是真正的物理，用几句话就能解释清楚的逻辑也不是套公式什么的

我并没有顾左右而言他，而是如果你连这都解释不了，就说明你连高中生的物理水平都没到

先把这个题解释清楚你再提学什么吧

看来你不上当啊 - 你就是不说。行。

其实这个事情并不简单：学数学的一般没听过Legendre变换。学物理的又不能把Legendre变换的数学搞透。

[shuntianfu]

看来你不上当啊 - 你就是不说。行。

其实这个事情并不简单：学数学的一般没听过Legendre变换。学物理的又不能把Legendre变换的数学搞透。

晕，你就学了个凸函数的对偶就把你能的。我一句话就能给你从数学的角度讲清楚你想炫的这个东西，对任意凸的f(x)和问题 min f(x)，考虑 min max_{y,v} f(y) +v^T(y-x) 和其对偶 max min f(y) +v^T(y-x)，所谓的Legendre变换就是交换min max到max min 这么简单一回事而已

[TheMatrix]

晕，你就学了个凸函数的对偶就把你能的。我一句话就能给你从数学的角度讲清楚你想炫的这个东西，对任意凸的f(x)和问题 min f(x)，考虑 min max_{y,v} f(y) +v^T(y-x) 和其对偶 max min f(y) +v^T(y-x)，所谓的Legendre变换就是交换min max到max min 这么简单一回事而已

你这，学物理的人看不懂。

我看着都晕。我没仔细看，说不定不对 - 但是这种没有物理的，不值得看。

[verdelite]

看过很多次，都是囫囵吞枣。也认真看过两三次，还是似懂非懂。

最近才终于搞明白了。

很多地方都用到，比较分析力学，还有热力学。我想起来了，我学过热力学，变量变换来变换去，当时有点囫囵吞枣。

我2018年夏天学的时候肯定是学懂了。只是三年半过去我又忘记了。如果要想起了得回头去看看。

[TheMatrix]

我2018年夏天学的时候肯定是学懂了。只是三年半过去我又忘记了。如果要想起了得回头去看看。

你看。这就是懂的人。:)

[shuntianfu]

你看。这就是懂的人。:)

考虑一个函数 f(x) 和 问题 min f(x)，

反正你也没有多余的信息，就直接加个变量y让他等于x, 这个问题是不是就等价于 min_{y=x} f(y)，那加上拉格朗日乘子是不是就是等价于 min_{x,y}max v f(y)-v^T{y-x}.

如果 min max 和 max min 可以交换的话，那是不是就是


min_{x}max_{v}min_{y} f(y)-v^T(y-x)， 那是不是就是等价于

max_{x}min_{v} -v^Tx - max (v^T y-f(y))

最里面这个max里面的是不是就是 Legendre Transformation

[TheMatrix]

考虑一个函数 f(x) 和 问题 min f(x)，

反正你也没有多余的信息，就直接加个变量y让他等于x, 这个问题是不是就等价于 min_{y=x} f(y)，那加上拉格朗日乘子是不是就是等价于 min_{x,y}max v f(y)-v^T{y-x}.

如果 min max 和 max min 可以交换的话，那是不是就是


min_{x}max_{v}min_{y} f(y)-v^T(y-x)， 那是不是就是等价于

max_{x}min_{v} -v^Tx - max (v^T y-f(y))

最里面这个max里面的是不是就是 Legendre Transformation

唉。我本来已经懂了。看了你这个，我又不懂了。：）

[shuntianfu]

唉。我本来已经懂了。看了你这个，我又不懂了。：）

听我一句，世间行乐多艹妞，现代的那么多物理学家科学家，你看着他们很拉风，里面有多少傻逼你都想不到，很多都是自己都没学明白就出来祸祸的

[TheMatrix]

听我一句，世间行乐多艹妞，现代的那么多物理学家科学家，你看着他们很拉风，里面有多少傻逼你都想不到，很多都是自己都没学明白就出来祸祸的

我也没问你这些啊。

[bhold]

一个凸函数 f 可以有不同表达形式 即自变量可以取x 也可以换成 x 的导数df/dx

[TheMatrix]

一个凸函数 f 可以有不同表达形式 即自变量可以取x 也可以换成 x 的导数df/dx

这个是对的 - 我不是说数学，数学你当然是对的 - 我说的是直指人心，你是对的 - 还差一点点。

[verdelite]

一个凸函数 f 可以有不同表达形式 即自变量可以取x 也可以换成 x 的导数df/dx

感觉凹函数应该也可以。可能这个要求只是为了1-1mapping，防止出现ambiguity.

[TheMatrix]

感觉凹函数应该也可以。可能这个要求只是为了1-1mapping，防止出现ambiguity.

嗯。你把他差的那一点点补上了。:)

[TheMatrix]

考虑一个函数 f(x) 和 问题 min f(x)，

反正你也没有多余的信息，就直接加个变量y让他等于x, 这个问题是不是就等价于 min_{y=x} f(y)，那加上拉格朗日乘子是不是就是等价于 min_{x,y}max v f(y)-v^T{y-x}.

如果 min max 和 max min 可以交换的话，那是不是就是


min_{x}max_{v}min_{y} f(y)-v^T(y-x)， 那是不是就是等价于

max_{x}min_{v} -v^Tx - max (v^T y-f(y))

最里面这个max里面的是不是就是 Legendre Transformation

这就是这么多年我没搞明白Legendre transformation的原因 - 需要一个像我这样的人来把它写清楚，看完就明白了。

[TheMatrix]

这就是这么多年我没搞明白Legendre transformation的原因 - 需要一个像我这样的人来把它写清楚，看完就明白了。

给定一个函数f(x)，我们希望能把自变量替换成y=f'(x)。能够这样做的唯一条件是f'(x)是一一映射。一一映射的话 x <--> y 用哪个做自变量都是可以的。f'(x)是一一映射，就意味着这个导函数单调 - 单增或单减。所以原函数 f(x)就是凸函数。

因为y=f'(x)是一一映射，所以 x=f'^{-1}(y)。我们还希望找到一个函数g，使 x=g'(y)。因为导函数比反函数容易计算。用分部积分法，我们有，g = \int x dy = xy - \int y dx = xy - f。

现在不但把自变量 x 换成了 y，还找到了一个函数 g，使得 x=g'(y)。这个换元的方法，就叫Legendre transformation。函数也算上的话，也可以把 {x,f} --> {y,g} 一起叫做Legendre transformation。

显然，{y,g} --> {x,f} 也是Legendre transformation。

------------

下面讲一下 Legendre transformation 的 motivation。

这在分析力学里非常关键：拉格朗日量为 L(q,x)，其中q是configuration space里的坐标，x=\dot{q}，是q的时间导数。如果 L(q,x)关于x为凸函数，用Legendre transformation，x换元成y，其中 y= d/dx L(q,x)，其中d为偏导数 (fix q)，同时还得到一个 H(q,y) = xy - L，哈密顿量。

为什么要用导函数 y 来替换 x？这是因为拉格朗日动力学方程可以写为：
d/dq L = d/dt (d/dx L)
换元之后，
d/dq L = d/dt y
二阶微分方程变成了一阶微分方程。
d/dq L = - d/dq H，因为我们对q求偏导，fix x，同时也fix y。
所以 d/dt y = - d/dq H (1)。
再加上Legendre transformation自带的：
x = d/dy H
也就是 d/dt q = d/dy H (2)。

(1)(2)放在一起：

d/dt (y,q) = (-d/dq H, d/dy H)，这就是哈密顿力学的运动学方程。

动力学方程变成运动学方程。

[craigthone]

Legendre 变换在物理上给出共轭坐标变换，在统计物理中，描述各种系综之间的变换就是这样变换。并且不是一一映射也可以做，引入各种约束。

[craigthone]

Motivation：物理系统的描述不依赖于可观测量的选择。