请教一个傅立叶级数的问题

[monday]

本人初学，请高手指教

如图一

右上角水平线段为f(t)

左上角为频率图，这里看上去欧米伽为连续的任意real number

可是图二里的n为啥是整数而非任意real number？

[ɓuoɥɔɓuɐnɥ]

你第一个是傅里叶变换哦

傅里叶级数作用对象是有限范围周期函数

[上理夏潼]

你搞混了“变换”和“级数”的区别

因为前者是属于连续频率，也就是属于R
后者级数离散状态，也就是属于Z

[Caravel]

本人初学，请高手指教

如图一

右上角水平线段为f(t)

左上角为频率图，这里看上去欧米伽为连续的任意real number

可是图二里的n为啥是整数而非任意real number？

傅立叶级数是周期函数，你这里是傅立叶变换

[verdelite]

本人初学，请高手指教

如图一

右上角水平线段为f(t)

左上角为频率图，这里看上去欧米伽为连续的任意real number

可是图二里的n为啥是整数而非任意real number？

图二左上角写着：if f(t) is a function with period 2\pi。图一的f(t)显然没有这个周期。楼主需要先学图二的东西，搞明白傅里叶级数后，书上会通过padding过度到图一的傅里叶变换。

[monday]

谢了

有没有YouTube教学视频把这二者的区别讲一下的？

[knockwood]

变换的本质就是通过变量变换把函数形式转换，可以有很多变换方式，傅里叶变换只是一种。跟坐标系变换一个意思。如果函数没有周期，只能从连续到连续，不然自由度就缺了，变换后的函数跟之前没法表达同样的东西。如果有周期，说明函数自由度降级了，变换后函数就是整数变量函数（n序列)。不是很合理吗。

[monday]

为啥傅里叶变换里的欧米伽不能是整数而必须连续？

[monday]

谢了

变换的本质就是通过变量变换把函数形式转换，可以有很多变换方式，傅里叶变换只是一种。跟坐标系变换一个意思。如果函数没有周期，只能从连续到连续，不然自由度就缺了，变换后的函数跟之前没法表达同样的东西。如果有周期，说明函数自由度降级了，变换后函数就是整数变量函数（n序列)。不是很合理吗。

[knockwood]

整数序列跟实数序列显然不对等，虽然都是无穷多。就像本来是3个自由度的东西，你用两个自由度来对等，肯定不行。

[ɓuoɥɔɓuɐnɥ]

变换的本质就是通过变量变换把函数形式转换，可以有很多变换方式，傅里叶变换只是一种。跟坐标系变换一个意思。如果函数没有周期，只能从连续到连续，不然自由度就缺了，变换后的函数跟之前没法表达同样的东西。如果有周期，说明函数自由度降级了，变换后函数就是整数变量函数（n序列)。不是很合理吗。

变换的本质就是在不同的基底下表示同一个函数

f(t)就是在{1}为基底下的表示： f(t) = f(t) * 1，那么有人想问了，如果在{sin(nt), cos(nt)}这一组(正交)基底下是什么形式呢？f(t) = \Sum a_n sin(nt) + b_n cos(nt)求系数a_n, b_n

利用<sin(nt), sin(mt)> = 0, <cos(nt), cos(mt)> = 0, <sin(nt), cos(mt)> = 0, <sin(nt), cos(nt)> = 0这个正交特性，算出a_n = <f(t), sin(nt)> / <sin(nt), sin(nt)>, b_n = <f(t), cos(nt)> / <cos(nt), cos(nt)>这些在新基底下的系数

[monday]

那为啥傅里叶级数就简化为正整数？

为啥n不是连续的

[Caravel]

那为啥傅里叶级数就简化为正整数？

为啥n不是连续的

因为要满足周期边界条件，exp（i k x）k只能是离散的数

[island]

先问是不是，再问为什么 ：）

傅立叶变换中的欧米伽可以是任何实数，当然可以是整数。

当它是整数时，你得到的就是傅立叶级数展开中的系数（乘个常数）。

为啥傅里叶变换里的欧米伽不能是整数而必须连续？

[monday]

谢谢楼上各位

找到了这个，里面说得很清楚

https://www.zhihu.com/question/21665935

[fatalme]

要系统地学，看signal process ing那本书。

谢了

有没有YouTube教学视频把这二者的区别讲一下的？

[da1gaku]

所谓变换，就是用另一组坐标基。

傅里叶级数使用一些不同频率的正弦（余弦）函数来当坐标基，因为都是周期函数，所以相加后也只能合成周期函数。
傅里叶变换可以理解成用连续频率的正弦函数来当坐标基。因为频率连续，所以这个时候变换不能用加法，要积分。积分出来的函数可以没有周期性。

不过“傅里叶变换”得到的是在新坐标下的“系数”（也是连续函数），如果要用它来表达原函数（也就相当于写成级数形式），要用逆变换表达式。逆变换是积分（对应级数的求和）。

[Caravel]

所谓变换，就是用另一组坐标基。

傅里叶级数使用一些不同频率的正弦（余弦）函数来当坐标基，因为都是周期函数，所以相加后也只能合成周期函数。
傅里叶变换可以理解成用连续频率的正弦函数来当坐标基。因为频率连续，所以这个时候变换不能用加法，要积分。积分出来的函数可以没有周期性。

用复数的话，两个基是一样的，都是 e^ikx, 不同的是傅立叶级数是一个固定周期T的周期函数，属于一个subset

[verynb]

所谓变换，就是用另一组坐标基。

傅里叶级数使用一些不同频率的正弦（余弦）函数来当坐标基，因为都是周期函数，所以相加后也只能合成周期函数。
傅里叶变换可以理解成用连续频率的正弦函数来当坐标基。因为频率连续，所以这个时候变换不能用加法，要积分。积分出来的函数可以没有周期性。

不过“傅里叶变换”得到的是在新坐标下的“系数”（也是连续函数），如果要用它来表达原函数（也就相当于写成级数形式），要用逆变换表达式。逆变换是积分（对应级数的求和）。

我觉得版上将军们讲得都比信号与系统这本书里清楚

[da1gaku]

我觉得版上将军们讲得都比信号与系统这本书里清楚

好多东西都是学了以后好几年才有更精炼的体会。学的时候都是在做题。