江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b

[yuzhou]

填空 a+b = ？ 要快

a, b均为正整数

[Tesla]

穷举法应该也很快

[yuzhou]

穷举法应该也很快

五分钟能出来不，最好三分钟

[OPQ]

90

[Tesla]

90

[Fnhdx]

有不是穷举法的解法吗？

[OPQ]

4 | 4068， 9 | 4068，

So the problem reduces to a^2+b^2=113.

Now apply the method of enumeration.

[Tesla]

4 | 4068， 9 | 4068，

So the problem reduces to a^2+b^2=113.

Now apply the method of enumeration.

不理解

[greenspring]

36是perfect square 可以化简成 6*(7+8)

不理解

[OPQ]

不理解

The problem reduces to (6 x)^2 + (6 y)^2 = 4068.

That is, x^2+y^2=113.

x = 7, y=8.

a=6x=42, b=6y=48.

a+b=90.

[LittleBear]

90

[Tesla]

The problem reduces to (6 x)^2 + (6 y)^2 = 4068.

That is, x^2+y^2=113.

x = 7, y=8.

a=6x=42, b=6y=48.

a+b=90.

你这个得已经知道两个都是6的倍数，

[OPQ]

你这个得已经知道两个都是6的倍数，

这个是推出来的。已经说了，4 | 4068， 9 | 4068。
如果学过初等数论，这一步是显然的。

[Tesla]

这个是推出来的。已经说了，4 | 4068， 9 | 4068。
如果学过初等数论，这一步是显然的。

太费力了，还是直接穷举简单，也就5分钟的事
再说正整数是不是多此一举啊？整数也可以啊，大不了多几个答案

[OPQ]

太费力了，还是直接穷举简单，也就5分钟的事
再说正整数是不是多此一举啊？整数也可以啊，大不了多几个答案

如果你知道数论的那几个相关定理，得到 “The problem reduces to (6 x)^2 + (6 y)^2 = 4068" 这个结论就是几秒钟的事情。

当然，学数论确实费时间。

[FGH]

用复数

[kuku]

丢番图？

[bam]

太费力了，还是直接穷举简单，也就5分钟的事
再说正整数是不是多此一举啊？整数也可以啊，大不了多几个答案

直接穷举慢啊

[MCJ]

很简单的两个数字事实：
1）因为4068被4整除，a和b必须都是偶数。 奇数（2x+1）的平方产生4 余1
2）因为4068被9整除，a和b必须都是3倍数。 任何（3x+1) 和（3x+2）的平方之和产生3倍余数

所以原问题简化看4068/36=113是哪两个整数平方之和？答案是7和8，也就是a和b是42，48

[sgisp2]

排除法来做：

4068=4*1017，所以a和b一定是偶数；

a=2*a1,b=2*b1, a1^2+b1^2=1017 所以 a1和b1一个为奇数一个为偶数

a1=2*a2 b1=2*b2+1

则，这a2^2+b2*（b2+1）=254,

下面就数吧， b2=1...15, a2

b2=10,a2=12

b=42,a=48