数理逻辑代数化，进而几何化

[forecasting]

数理逻辑因为硬编码的证明或者叙述而很烦人。十多年前曾经努力把它代数化进而几何化。代数化的工作可参看Halmos的algebraic logic，命题逻辑代数化进而几何化比较简单，但谓词逻辑几何化就特别麻烦。几何化的目的是为了得到计算复杂性等等问题的几何表述，看能否看清楚一些长期悬而未决的问题。当时在mathoverflow有欧洲数理逻辑学家问我，是不是觉得数理逻辑dirty而非要把它几何化，记得我没法回答。今天突然想起来问问Grok3，它回答如下：

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将数理逻辑几何化是一个深刻且跨学科的课题，涉及将逻辑体系的抽象结构通过几何或拓扑的语言和工具进行表达与可视化。这种方法在数学、计算机科学、哲学和理论物理中有广泛应用。以下是对这一概念的简要探讨，并尝试从不同角度解释其含义和实现方式：

1. 基本概念
数理逻辑研究命题、谓词、证明和推理的结构化形式，通常以符号化语言（如命题逻辑、谓词逻辑或模态逻辑）表达。几何化则是将这些抽象的逻辑结构映射到几何对象（如点、线、面、图、拓扑空间等），以便利用几何的直观性和工具（如对称性、连通性）来分析逻辑关系。

几何化的核心目标是：

可视化：将逻辑体系的复杂关系用图形或空间形式直观呈现。
结构化分析：利用几何工具揭示逻辑系统中的隐藏模式或性质。
跨领域应用：通过几何语言连接逻辑与物理、拓扑、计算等领域。
2. 几何化的具体方法
以下是一些将数理逻辑几何化的主要途径，结合了经典和现代的视角：

(1) 逻辑命题与布尔代数的几何化
布尔代数与多维立方体：命题逻辑的布尔代数可以映射到一个超立方体（n维立方体）。例如，对于n个命题变量，每个可能的真值赋值对应于一个n维超立方体的顶点（2^n个顶点）。逻辑运算（如与、或、非）可以通过立方体上的边、面或对角线操作来表达。
例子：对于两个命题P和Q，布尔代数对应于一个正方形（2维立方体），4个顶点表示真值组合（TT, TF, FT, FF）。命题P ∧ Q的真值对应于特定顶点。
维恩图：命题逻辑的真值表可以通过维恩图（Venn Diagram）几何化，集合的交、并、补运算直接对应于区域的重叠或排除。
(2) 证明论与图论
证明网（Proof Nets）：在线性逻辑中，证明可以被表示为一种特殊的图结构，称为证明网。命题是图的节点，逻辑推理规则是边，证明的有效性通过图的连通性和拓扑性质（如无环性）来验证。
自然演绎的树形几何：自然演绎系统的证明可以表示为树形图，节点是命题，边是推理规则。树的拓扑结构反映了证明的层次和依赖关系。
范畴论的几何化：范畴论将逻辑系统（如直觉主义逻辑）映射到笛卡尔闭范畴，其中的对象和态射可以用拓扑空间或图来表示。例如，逻辑的“蕴含”运算对应于范畴中的函数空间。
(3) 模态逻辑与拓扑语义
克里普克框架（Kripke Semantics）：模态逻辑（如可能世界语义）通过克里普克框架几何化。可能世界是图的节点，可达性关系是边，整个框架形成一个有向图或拓扑空间。
例子：在S4模态逻辑中，可达性关系是自反且传递的，对应于拓扑空间的某种偏序结构。
拓扑模型：模态逻辑的语义可以通过拓扑空间定义，命题被解释为空间中的开集，逻辑运算对应于拓扑运算（如交、并、内点）。这在动态拓扑逻辑和空间逻辑中有广泛应用。
(4) 高阶逻辑与代数几何
类型论与纤维化：在高阶逻辑或类型论中，命题和类型可以被看作几何对象（如纤维丛）。例如，依赖类型的上下文可以被几何化为纤维空间，逻辑推导对应于纤维之间的映射。
代数几何的逻辑：在托pos理论中，逻辑系统被嵌入到代数几何的框架中，命题对应于层的局部性质，证明对应于层的态射。这种方法在现代数学中用于研究逻辑与几何的深层联系。
(5) 计算与几何化
自动机与图：形式语言和自动机的逻辑可以通过状态转换图几何化，状态是节点，转换是边。这种方法在计算机科学中广泛用于验证和模型检测。
神经网络与逻辑几何：现代机器学习中的逻辑推理可以通过神经网络的拓扑结构来表达，逻辑规则被嵌入到高维空间的几何约束中。
3. 几何化的意义与应用
直观性：几何化使得抽象的逻辑结构更易于理解和教学。例如，维恩图和证明树是教学中常用的工具。
跨学科桥梁：几何化将逻辑与物理学（拓扑量子场论）、计算机科学（模型检测）、哲学（模态逻辑的可能世界）连接起来。
计算效率：几何表示（如图或网络）可以优化逻辑推理的算法，例如在SAT求解或定理证明中。
理论创新：通过几何化，逻辑的某些性质（如同构、对称性）可以被重新发现或重新解释。例如，范畴论中的逻辑几何化推动了数学基础的研究。
4. 具体例子
以命题逻辑为例，假设有命题P和Q，考虑公式 (P ∧ Q) → R 的几何化：

布尔立方体：P、Q、R对应于3维立方体（8个顶点）。每个顶点表示一种真值赋值（如TTT, TTF等）。公式(P ∧ Q) → R的真值可以通过检查特定顶点和边的关系来确定。
维恩图：P、Q、R表示为三个圆，P ∧ Q是P和Q的重叠区域，(P ∧ Q) → R表示这个区域是否包含在R中。
证明图：如果用自然演绎证明该公式，证明过程可以表示为一个树形图，节点是子公式，边是推理规则（如→引入、∧消去）。
5. 挑战与局限
高维复杂性：当逻辑系统涉及多个变量或复杂规则时，几何表示可能变得高维或难以可视化。
表达力限制：某些逻辑系统（如同态逻辑或二阶逻辑）难以完全几何化，可能需要更抽象的数学结构。
语义损失：几何化可能丢失逻辑的一些细微语义，例如模态逻辑中的哲学含义。
6. 进一步探索方向
如果你对某一具体方法（如模态逻辑的拓扑化、证明网、或类型论的几何化）感兴趣，可以深入探讨：

拓扑逻辑：研究如何用拓扑空间表达动态逻辑或时空逻辑。
范畴论：探索逻辑系统与笛卡尔闭范畴的对应关系。
计算几何化：研究逻辑推理如何通过图算法或神经网络实现。

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看了一下，觉得思路或者具体技术还是不一样。特把这个问题发到这里，有人有兴趣可以讨论。

有机会会把自己的思路和目标发到这里。

[vitro]

正好这两天看了这个:
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teachi ... metry.html
几何也不是最本源的东西。人类目前为止对什么是物理上第一性的东西还没头绪。几何化可能有数学上的意义，比如人或有些人几何上的直觉好于其他数学领域。物理意义呢?

[forecasting]

正好这两天看了这个:
https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teachi ... metry.html
几何也不是最本源的东西。人类目前为止对什么是物理上第一性的东西还没头绪。几何化可能有数学上的意义，比如人或有些人几何上的直觉好于其他数学领域。物理意义呢?

我对研究哲学的东西有点打怵，主要是年轻时在这方面浪费了不少时间却没多少收益。

几何化逻辑，当时的想法是看映射到几何上，像计算复杂性如NP= P这类问题是不是更清楚一些，真和可证这些概念在几何化的逻辑上该如何区分和关联，或者一些经典的证明或者算法能否找到更好的，另外就是让学习或者研究数理逻辑的有一个更直观的理解或者视角，而不是去读硬编码的数理逻辑。

没想到几何化的数理逻辑在物理上有什么应用。直到问Grok3之后才知道这个领域已经有不少人做过，而且在物理上有应用。但我不知道实在不知道跟物理有什么关联。

当时的想法是几何化命题逻辑，然后几何化谓词逻辑。几何化谓词逻辑比较麻烦，尤其是到Godel不完备定理那一部分。依照代数几何或者更具体一点，丢番图几何，可以利用Hilbert零点定理对应到代数簇上，然后看代数簇之间的关系。当时也没看出有什么激动人心的结果，就扔下来。

[vitro]

希尔伯特时代几何属于物理的。当时想把相对论几何化，然后把几何代数化。因为觉得几何不是第一性的。根本动机吗就是你另外讨论的完备性和一致性。爱因斯坦就说了几何不过是个"方便"的定义。因为物理依靠测量所以我们"公理化"几何让我们自我安慰得觉得测量是基于"第一性"。所以几何到底是物理还是数学的说不清。兜了一圈，没有物理上的第一性，怎么判断数学的正确与否。

我对研究哲学的东西有点打怵，主要是年轻时在这方面浪费了不少时间却没多少收益。

几何化逻辑，当时的想法是看映射到几何上，像计算复杂性如NP= P这类问题是不是更清楚一些，真和可证这些概念在几何化的逻辑上该如何区分和关联，或者一些经典的证明或者算法能否找到更好的，另外就是让学习或者研究数理逻辑的有一个更直观的理解或者视角，而不是去读硬编码的数理逻辑。

没想到几何化的数理逻辑在物理上有什么应用。直到问Grok3之后才知道这个领域已经有不少人做过，而且在物理上有应用。但我不知道实在不知道跟物理有什么关联。

当时的想法是几何化命题逻辑，然后几何化谓词逻辑。几何化谓词逻辑比较麻烦，尤其是到Godel不完备定理那一部分。依照代数几何或者更具体一点，丢番图几何，可以利用Hilbert零点定理对应到代数簇上，然后看代数簇之间的关系。当时也没看出有什么激动人心的结果，就扔下来。

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希尔伯特时代几何属于物理的。当时想把相对论几何化，然后把几何代数化。因为觉得几何不是第一性的。根本动机吗就是你另外讨论的完备性和一致性。爱因斯坦就说了几何不过是个"方便"的定义。因为物理依靠测量所以我们"公理化"几何让我们自我安慰得觉得测量是基于"第一性"。所以几何到底是物理还是数学的说不清。兜了一圈，没有物理上的第一性，怎么判断数学的正确与否。

这牵涉科学哲学和数学史、物理史了。只能简单说说：平面几何第五公设因独立性而出现了非欧几何====>几何因Klein的埃尔朗根纲领可以依照群变换的不变性而分类，见附图====>推广埃尔朗根纲领可把微分几何也纳入埃尔朗根纲领。
微分几何应该不是完备的，除此而外，几何公理都是完备的，即任何几何命题都可由几何公理证明或者否证。

自然数扩张====>整数====>有理数====>实数====>复数域（代数闭域）。希尔伯特想把分析或实数理论归约到自然数，由Peano算术推出分析理论。于是就有了希尔伯特二十三问题之一的算术公理的一致性和完备性问题（公理系统要独立性，一致性，完备性）。但哥德尔证明任何包含初等数论（Peano一阶算术理论）的数学系统，如果是一致的，则必有命题不可证明也不可证伪（不完备）。第二不完备定理则说，任何包含初等数论（Peano一阶算术理论）的数学系统的一致性不可在此数学系统中证明。

联系（映射）几何（包括微分几何）和分析，两者是否可以互推呢？或者互译呢？或者同构呢？或者归约（几何归约为分析，或者分析归约为几何）呢？如果可以互推或者同构或者互译或者归约，两者就没有谁更基本的问题。于是就可以把这问题进一步探求到数学基础--数理逻辑尤其集合论这个领域了。如果不能互推或者同构或者互译，或者几何归约为分析，或者分析归约为几何，那么也没有谁更基本的问题，恐怕仍然要扩展数学系统以求得一个共同的公理系统，也追到集合论。或者你愿意，范畴论。

代数和几何、分析之间的关系大约也是不能完全互推，同构，互译，或者归约，最后还是归结到集合论或者范畴论



数学的模型是一个包含了现实世界的柏拉图世界，它的真应该跟物理一致，但是物理是数学模型的子类吧。Model theory有一个定理，说的是，如果一个理论是一致的，那么这理论一定有模型。一个理论的模型未必是一个，可以是很多类。虽然数学和物理有这个关系，但是两者也没有谁更根本的问题吧。其实我愿意相信物理更根本，可数学实践好像与此不一致。

[forecasting]

广义相对论国内本科很少有开的，是好奇，还有点数学基础，年轻时看过，跟哲学有啥关系？搞不清楚。

科学哲学可能Tarski，Carnap等人，是我比较喜欢认同的。Tarski是有贡献的数学家和哲学家，Carnap应该跟Godel，Tarski之列，但学界对他的评价好像配不上他的成就。这三个是以技术为基础的哲学家。

另外就是所谓跟Carnap，Russell都有关的语言哲学，也有一些实在的东西。

哲学也是年轻时瞎读的，后来偶尔有机会就接触一点，觉得浪费了不少时间，收益实在小。

[vitro]

就是大方向上对还原到几何迷惑。就是上面说的历史上在数学上（不是物理）大家把几何还原到其他。估计就是那些公理争议很大。物理上大家几何化很多就是那个Norton链接里的最后部分。但是争议很大。就是几何是否第一性。但估计物理学家几何化的动机和你一样，又利于分析和理解。最后还是具体问题具体分析。可是开头都会有你有的这种大方向对不对这种疑问。
我也不是搞哲学的。不过觉得他们能把概念讲清，逻辑理顺。Norton 的这些就是这样的。我也对相对论一知半解。但他的讲解和例子一看就茅塞顿开。不要过多迷信技术，不然就堕落到我另一贴里提到的伪科学了；）

广义相对论国内本科很少有开的，是好奇，还有点数学基础，年轻时看过，跟哲学有啥关系？搞不清楚。

科学哲学可能Tarski，Carnap等人，是我比较喜欢认同的。Tarski是有贡献的数学家和哲学家，Carnap应该跟Godel，Tarski之列，但学界对他的评价好像配不上他的成就。这三个是以技术为基础的哲学家。

另外就是所谓跟Carnap，Russell都有关的语言哲学，也有一些实在的东西。

哲学也是年轻时瞎读的，后来偶尔有机会就接触一点，觉得浪费了不少时间，收益实在小。

[heteroclinic]

工程上的训练是尽量把话说小，并且马上解决它。
我说话比较直，如果你需要点赞的话，可以直接发比特币或者买卖提的包子也行。
你的每一句话一个普通钱老要十几年去实证。然后发现这些年白干了。

[YellowRiver001]

就是大方向上对还原到几何迷惑。就是上面说的历史上在数学上（不是物理）大家把几何还原到其他。估计就是那些公理争议很大。物理上大家几何化很多就是那个Norton链接里的最后部分。但是争议很大。就是几何是否第一性。但估计物理学家几何化的动机和你一样，又利于分析和理解。最后还是具体问题具体分析。可是开头都会有你有的这种大方向对不对这种疑问。
我也不是搞哲学的。不过觉得他们能把概念讲清，逻辑理顺。Norton 的这些就是这样的。我也对相对论一知半解。但他的讲解和例子一看就茅塞顿开。不要过多迷信技术，不然就堕落到我另一贴里提到的伪科学了；）

觉得几何不是第一性的，不是本质

但也不排除和几何等价

本质是图论，是关系，能画而已

是思维

思维的本质是什么？思维本质是对现实世界的模拟

如果现实世界都能用几何表示，思维能够用几何表示，也没有问题，等价