高维勾股定理和余弦公式

[Caravel]

嗯，对，应该就是这样了。

这个例子说明外代数确实挺有用，我现在只能领会到算体积面积，似乎还有别的用处

[verdelite]

这个例子说明外代数确实挺有用，我现在只能领会到算体积面积，似乎还有别的用处

谁从哲学高度总结一下为啥二维和高维勾股定理都是用的平方和？

表面上看似乎和欧式度量无关，因为只用到外积，没用到内积。但是我直觉上不能接受这个定理和欧式度量无关。必须有关吧。是不是体积用determinant表示这一步，用到了？

[TheMatrix]

这个例子说明外代数确实挺有用，我现在只能领会到算体积面积，似乎还有别的用处

单个向量空间上的外代数，主要是一种代数结构。和tensor algebra，symmetric algebra一起，都是向量空间比较基本的扩展。因为比较基本，所以建立在上面的东西很多。但是直接计算的可能没什么。

n维向量空间的外代数是2^n维的，还有等级，是按照二项式组合来的，每个等级的维度是：
1, n, C(n,2), C(n,3), ...
最高等级维度是 C(n,n)=1，也就是determinant form。

流形上的外代数 - 每个点切空间上的外代数 - 是differential form的空间，对应的是Dehram cohomology，反映的是流形的整体拓扑。

[TheMatrix]

谁从哲学高度总结一下为啥二维和高维勾股定理都是用的平方和？

表面上看似乎和欧式度量无关，因为只用到外积，没用到内积。但是我直觉上不能接受这个定理和欧式度量无关。必须有关吧。是不是体积用determinant表示这一步，用到了？

这里当然用到了欧式度量。因为我们是在直角坐标系上讨论的。定了直角坐标系，就说明欧式度量已经有了。而且是必需的，因为我们把n个点放在直角坐标系上，还给了坐标。

[verdelite]

这里当然用到了欧式度量。因为我们是在直角坐标系上讨论的。定了直角坐标系，就说明欧式度量已经有了。而且是必需的，因为我们把n个点放在直角坐标系上，还给了坐标。

对，应该是Rn的时候直接就是指欧氏空间。

我学了1个月的外积 ALgebra和Geometirc Algebra，全是学的抽象定义。里面还有民科司机空间的内积外积，所以想多了。

[rgg]

考虑一个三角锥，三个面互相垂直。那么这三个面的面积平方之和等于第四个面的面积平方。
试证明之，并推广到高维空间。

这有一个纯代数的推广： det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.

[TheMatrix]

这有一个纯代数的推广： det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.

嗯。好像听说过这个。A_I好像叫minor。

[FGH]

这有一个纯代数的推广： det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.

请解释一下如何涵盖原问题。

[FGH]

考虑一个三角锥，三个面互相垂直。那么这三个面的面积平方之和等于第四个面的面积平方。
试证明之，并推广到高维空间。

如果三个面ABC不互相垂直，面夹角记为AB，BC，CA，则第四个面D的面积满足余弦公式：
D^2=A^2+B^2+C^2-2 A B cos(AB)-2 B C cos(BC)-2 C A cos(CA)
应该不需要额外的矫正项。比如如果三个面夹角都是180度，则D=A+B+C。

[FoxMe]

和我写的那个三维情形非常类似
原点出发的n个向量是
（a₀, 0, 0, 0, ...)
(0, a₁, 0,0,0, ...)
...
(0, 0, 0,0,0, a_n)


N个正交超平面的体积应该是1/(N-1) a₀a₁ ...a_n, 中间每次需要去掉一个

剩下的就是那个超斜面的N-1维度体积。

向量相减得到的结构是
x1 =（-a₀, a₁, ....)
x2 =（-a₀, 0, a₂, ....)
...
x(n-1) =（-a₀, 0, 0, ....a_n)

这个再用那个外微分乘起来 x1 ^ x2 ^ ... ^x(n-1), 每行只有两个非0，看上去应该是一样的，哈哈就这样了

很漂亮。

[FoxMe]

几何问题用代数解决，这是代数几何的出发点吧？

这个例子很好，对外积的概念有点感觉了。

[rgg]

请解释一下如何涵盖原问题。

det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
在k=n-1的时候， n维空间的n-1个向量作为column组成A，是个n-1维平行体。 方程左边是这个平行体体积平方。右边每一项是这个平行体在每个方向的投影体积平方。

[TheMatrix]

det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
在k=n-1的时候， n维空间的n-1个向量作为column组成A，是个n-1维平行体。 方程左边是这个平行体体积平方。右边每一项是这个平行体在每个方向的投影体积平方。

嗯。不错。

[FGH]

det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
在k=n-1的时候， n维空间的n-1个向量作为column组成A，是个n-1维平行体。 方程左边是这个平行体体积平方。右边每一项是这个平行体在每个方向的投影体积平方。

赞！

[FGH]

如果三个面ABC不互相垂直，面夹角记为AB，BC，CA，则第四个面D的面积满足余弦公式：
D^2=A^2+B^2+C^2-2 A B cos(AB)-2 B C cos(BC)-2 C A cos(CA)
应该不需要额外的矫正项。比如如果三个面夹角都是180度，则D=A+B+C。

用内积解决这个问题。假设四个顶点为0,a,b,c，分别对着D,A,B,C。则
A^2=(b,b)(c,c)-(b,c)(b,c)
B^2=(c,c)(a,a)-(c,a)(c,a)
C^2=(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)
D^2=(a-c,a-c)(b-c,b-c)-(a-c,b-c)(a-c,b-c)
=(b,b)(c,c)-(b,c)(b,c)+(c,c)(a,a)-(c,a)(c,a)+(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)
+2(a,b)(a,c)-2(a,a)(b,c)+2(b,c)(b,a)-2(b,b)(c,a)+2(c,a)(c,b)-2(c,c)(a,b).

A B cos(AB)=(a',b')(c,c) [a',b'为a,b在c垂直面的投影]
=(a-c(a,c)/(c,c),b-c(b,c)/(c,c))(c,c)
=(c,c)(a,b)-(c,a)(c,b)
类似，
B C cos(BC)=(a,a)(b,c)-(a,b)(a,c),
C A cos(CA)=(b,b)(c,a)-(b,c)(b,a).

[lbs]

 你们这个数学知识储备和几何直观能力真是看的我佬捉鸡。逼俺这种老买买提人专门注册个账号来敲打你们。这东西还用吭哧吭哧的算吗？还 tm 外积/数学归纳法。我佬给你们跪下了。

这个东西很显然啊。高维的那个 canonical simplex ，即：
由 O 点，以及点 x_i = (0, 0, ..., a_i （第 i 个， a_i 为 scalar）, ..., 0) , i = 1, ..., n 组成的 "n + 1" 面体

这个玩意，它有 n 个所谓的 “正规面”，即外法向量是 e_i (第 i 个单位向量）的那些面。还有一个 “特殊面”，即法向量不是单位向量的那个面（看不懂的自已画一下二维和三维的情形认真看）。那个特殊面也有一个外法向量，不妨记为 p (一个向量）。至于这个 p 具体数值和形式是什么，并不重要。你只需要注意到这一点：这 n 个 “正规面” 沿着这个外法向 p 是可以被投影到这个 “特殊面” 上面的，且投影之后他们会恰好覆盖整个 “特殊面”（不明白的自己继续画二维和三维的图）。而第 i 个正规面的投影后的面积，恰好是投影前的面积乘以 p_i （这是因为两个外法向的內积，即 e_i 和 p 的內积就是 p_i）。

我们欲证明的 “勾股定理”，实际上就是想说 \sum_i p_i ^ 2 = 1, which is 显然的。

[verdelite]

 你们这个数学知识储备和几何直观能力真是看的我佬捉鸡。逼俺这种老买买提人专门注册个账号来敲打你们。这东西还用吭哧吭哧的算吗？还 tm 外积/数学归纳法。我佬给你们跪下了。

这个东西很显然啊。高维的那个 canonical simplex ，即：
由 O 点，以及点 x_i = (0, 0, ..., a_i （第 i 个， a_i 为 scalar）, ..., 0) , i = 1, ..., n 组成的 "n + 1" 面体

这个玩意，它有 n 个所谓的 “正规面”，即外法向量是 e_i (第 i 个单位向量）的那些面。还有一个 “特殊面”，即法向量不是单位向量的那个面（看不懂的自已画一下二维和三维的情形认真看）。那个特殊面也有一个外法向量，不妨记为 p (一个向量）。至于这个 p 具体数值和形式是什么，并不重要。你只需要注意到这一点：这 n 个 “正规面” 沿着这个外法向 p 是可以被投影到这个 “特殊面” 上面的，且投影之后他们会恰好覆盖整个 “特殊面”（不明白的自己继续画二维和三维的图）。而第 i 个正规面的投影后的面积，恰好是投影前的面积乘以 p_i （这是因为两个外法向的內积，即 e_i 和 p 的內积就是 p_i）。

我们欲证明的 “勾股定理”，实际上就是想说 \sum_i p_i ^ 2 = 1, which is 显然的。

不错，很有insight。最后一句还需要想一下，如果你一开始就elaborate一下就省了大家这一步想了。对二维来说，边长是“特殊面”（斜边）乘以p_i；然后边长在斜边上的投影长度就是斜边长*p_i*p_i。高维类似。

你有这样的insight很好，那你看看我们讨论的其他问题，有没有什么高见？

[lbs]

不错，很有insight。最后一句还需要想一下，如果你一开始就elaborate一下就省了大家这一步想了。对二维来说，边长是“特殊面”（斜边）乘以p_i；然后边长在斜边上的投影长度就是斜边长*p_i*p_i。高维类似。

你有这样的insight很好，那你看看我们讨论的其他问题，有没有什么高见？

md, 我发现我其实搞错了。投影应该是这么投的：“特殊面” 向第 i 个 “正规面” 的投影，是 S_{特殊面} * p_i (其中 S 表示 “高维面积”)。所以 S_{特殊面} ^ 2 * p_i ^ 2 = S_{正规面_i } ^ 2，然后再对 i 求和并注意到 p 是单位向量即可。

我上面把正规面往特殊面投，其实搞复杂了，而且结论是过不去的（得到的是另一个奇奇怪怪的四不像的关系等式，并不是题目中想要的高维勾股定理）。之前那个推导里还要注意到这个 canonical simplex 上的 “正规面” 往 “特殊面” 投影会完全覆盖 “特殊面”，这对有一定几何直观能力的人来说是显然的，但严格论证并不那么 trivial。现在这个更正版本不需要这个前提了，直接把特殊面往正规面上投就行，不需要很复杂的 “直观观察”。

[TheMatrix]

 你们这个数学知识储备和几何直观能力真是看的我佬捉鸡。逼俺这种老买买提人专门注册个账号来敲打你们。这东西还用吭哧吭哧的算吗？还 tm 外积/数学归纳法。我佬给你们跪下了。

这个东西很显然啊。高维的那个 canonical simplex ，即：
由 O 点，以及点 x_i = (0, 0, ..., a_i （第 i 个， a_i 为 scalar）, ..., 0) , i = 1, ..., n 组成的 "n + 1" 面体

这个玩意，它有 n 个所谓的 “正规面”，即外法向量是 e_i (第 i 个单位向量）的那些面。还有一个 “特殊面”，即法向量不是单位向量的那个面（看不懂的自已画一下二维和三维的情形认真看）。那个特殊面也有一个外法向量，不妨记为 p (一个向量）。至于这个 p 具体数值和形式是什么，并不重要。你只需要注意到这一点：这 n 个 “正规面” 沿着这个外法向 p 是可以被投影到这个 “特殊面” 上面的，且投影之后他们会恰好覆盖整个 “特殊面”（不明白的自己继续画二维和三维的图）。而第 i 个正规面的投影后的面积，恰好是投影前的面积乘以 p_i （这是因为两个外法向的內积，即 e_i 和 p 的內积就是 p_i）。

我们欲证明的 “勾股定理”，实际上就是想说 \sum_i p_i ^ 2 = 1, which is 显然的。

嗯，这的确是最好的直观。

[lbs]

不错，很有insight。最后一句还需要想一下，如果你一开始就elaborate一下就省了大家这一步想了。对二维来说，边长是“特殊面”（斜边）乘以p_i；然后边长在斜边上的投影长度就是斜边长*p_i*p_i。高维类似。

你有这样的insight很好，那你看看我们讨论的其他问题，有没有什么高见？

你说的 “其他问题” 是指啥？如果是指上面的 “哲学问题”：“为啥高维也是平方和？” 的话，那我觉得我的解答（更正版之后的）应该足够给出这个哲学直观：本质上就是说这个 canonical simplex 的特殊面（二维就是斜边）在不同坐标平面上的投影构成了剩余的 n 个正规面（二维就是两个直角边），而投影是只依赖于这个特殊面的 outer normal 的（即我的记号里的 p），在这个意义下，\|p\|_2 = 1 (which is by definition) 就蕴含了高维勾股定理。说得更玄学一点的话：“都是平方和” 是因为欧式空间的朴素內积定义就是点乘，所以 self inner product 决定的度量就只能是平方和，而不是某个和 dimension n 相关的东西。n 这个 dimension 指标体现在对坐标 i 求和的地方，而不是这个 power-2 的幂次上。