群表示论中共轭类和不可约表示之间的对偶关系

[TheMatrix]

一个群的共轭类与其不可约表示的数目相等。没理由没有对应关系啊。所以我一直在想有没有canonical的对应关系。现在终于想明白了 - 没有。这两个的关系是对偶关系 - 相当于线性空间与它的对偶空间之间的关系 - 没有canonical的对应关系 - 除非指定一个关系。

可以把这个类比写更清楚：

一方面以共轭类作基生成的线性空间，叫类空间吧。比如C₁,C₂,C₃,C₄,是4个共轭类。类空间是这样的:

λ₁C₁+λ₂C₂+λ₃C₃+λ₄C₄

另一方面，共轭类上的函数，叫类函数（class function），比如 f：

f(C₁) = γ₁
f(C₂) = γ₂
f(C₃) = γ₃
f(C₄) = γ₄

类空间和类函数空间 - 是对偶的吧？这就比较清楚了。

不可约表示相当于它的character，是一个类函数，属于类函数空间。所以不和类空间比如某个共轭类直接对应。

类空间有一个自然的基，{C₁,C₂,C₃,C₄}，对应类函数空间的一个对偶基：就是某个类上取1，其他类取0。指定了这种对应关系，这两个空间就可以对应上了。

但这个对偶基在群表示论中很多时候不好用。要换基 - 取不可约表示的character作基。这个基再对偶回去到类空间，，，好像又不太好使了。

[TheMatrix]

类函数空间换基的这个操作，也可以叫傅里叶变换。傅里叶变换抽象来看，就是一个线性空间换基的操作。

[Caravel]

这里面有一点不明白，确定λ1， λ2， λ3 。。。这就相当于给定character把，就能确定一个不可约表示么？具体怎么操作的。

[TheMatrix]

这里面有一点不明白，确定λ1， λ2， λ3 。。。这就相当于给定character把，就能确定一个不可约表示么？具体怎么操作的。

λ1C1+λ2C2+λ3C3+λ4C4
可以相当于一个类函数，f(C1)=λ1,f(C2)=λ2,f(C3)=λ3,f(C4)=λ4。（这里用了基{C1,C2,C3,C4}和其对偶基）。

f可以用不可约表示的character线性表出，但是系数不一定是整数。如果系数是整数，比如
f=n₁α₁+n₂α₂+n₃α₃+n₄α₄
那么f就是一个群表示，其中有
n₁份的α₁表示
n₂份的α₂表示
n₃份的α₃表示
n₄份的α₄表示
所以不是不可约表示，而是可约表示。

如果系数不是整数的话，这个就不能叫群表示了。这只能是一个抽象的线性组合。

[FoxMe]

这个问题我也想了一段时间，确实不存在一一对应关系（好像rgg指出过？）。但它们肯定是有关系的，这是不是就是人们说的并非canonical isomorphism？

二者相等，可以从算维数得到。看群的中心，其维数等于不可约表示的数目；看类函数空间，其维数等于共轭类的数目。

[Caravel]

λ1C1+λ2C2+λ3C3+λ4C4
可以相当于一个类函数，f(C1)=λ1,f(C2)=λ2,f(C3)=λ3,f(C4)=λ4。（这里用了基{C1,C2,C3,C4}和其对偶基）。

f可以用不可约表示的character线性表出，但是系数不一定是整数。如果系数是整数，比如
f=n₁α₁+n₂α₂+n₃α₃+n₄α₄
那么f就是一个群表示，其中有
n₁份的α₁表示
n₂份的α₂表示
n₃份的α₃表示
n₄份的α₄表示
所以不是不可约表示，而是可约表示。

如果系数不是整数的话，这个就不能叫群表示了。这只能是一个抽象的线性组合。

f=n₁α₁+n₂α₂+n₃α₃+n₄α₄

这个加号应该是direct sum把，因为作用在不同的vector space上吗

[TheMatrix]

f=n₁α₁+n₂α₂+n₃α₃+n₄α₄

这个加号应该是direct sum把，因为作用在不同的vector space上吗

这个加号目前就是函数相加。这几个alpha，也就是不可约表示的character，都是类函数。可以直接加法和数乘的。

过度到vector space表示上来，我觉得还得再加一个对应：
(V₁+V₁...(n₁ copy)) +
(V₂+V₂...(n₂ copy)) +
+ ...
这里加号就都是direct sum了。

[TheMatrix]

这个问题我也想了一段时间，确实不存在一一对应关系（好像rgg指出过？）。但它们肯定是有关系的，这是不是就是人们说的并非canonical isomorphism？

对。rgg说过。

唯一存在的一个对应是：{e}共轭类对应trivial表示。

但是和线性空间及其对偶空间的关系一样，在某些条件下对偶空间之间可以有对应关系。这个在李群中可能会更明显。因为李群的共轭类也是连续的。这是我觉得。我也不熟悉。

[TheMatrix]

类函数空间换基的这个操作，也可以叫傅里叶变换。傅里叶变换抽象来看，就是一个线性空间换基的操作。

比如一个线性空间V，有两组基：
A = {a₁,a₂,a₃,a₄}
B = {b₁,b₂,b₃,b₄}
这两组基之间有一个基变换X。按照指定的基顺序，X可以写成一个matrix。

一个向量v，在两组基下，各有：
v = λ₁a₁+λ₂a₂+λ₃a₃+λ₄a₄
v = γ₁b₁+γ₂b₂+γ₃b₃+γ₄b₄

v还可以看成是两组基上的函数f和g，各有：
f(a₁)=λ₁,f(a₂)=λ₂,f(a₃)=λ₃,f(a₄)=λ₄
g(b₁)=γ₁,g(b₂)=γ₂,g(b₃)=γ₃,g(b₄)=γ₄

F: f --> g 的变换就可以叫傅里叶变换。G: g --> f 的变换叫傅里叶逆变换。

进一步假设这个线性空间V还是一个代数，也就是两个向量u和v之间有乘法，u.v。那么马上可以定义另一种乘法u*v，使得 F(u*v)=F(u).F(v)。这个乘法可以叫卷积。

傅里叶变换使乘法变卷积，卷积变乘法，两个方向都是这样 - 这是从定义来的。

[TheMatrix]

比如一个线性空间V，有两组基：
A = {a₁,a₂,a₃,a₄}
B = {b₁,b₂,b₃,b₄}
这两组基之间有一个基变换X。按照指定的基顺序，X可以写成一个matrix。

一个向量v，在两组基下，各有：
v = λ₁a₁+λ₂a₂+λ₃a₃+λ₄a₄
v = γ₁b₁+γ₂b₂+γ₃b₃+γ₄b₄

v还可以看成是两组基上的函数f和g，各有：
f(a₁)=λ₁,f(a₂)=λ₂,f(a₃)=λ₃,f(a₄)=λ₄
g(b₁)=γ₁,g(b₂)=γ₂,g(b₃)=γ₃,g(b₄)=γ₄

F: f --> g 的变换就可以叫傅里叶变换。G: g --> f 的变换叫傅里叶逆变换。

进一步假设这个线性空间V还是一个代数，也就是两个向量u和v之间有乘法，u.v。那么马上可以定义另一种乘法u*v，使得 F(u*v)=F(u).F(v)。这个乘法可以叫卷积。

傅里叶变换使乘法变卷积，卷积变乘法，两个方向都是这样 - 这是从定义来的。

看群表示也是如此。先看类函数和representation之间的关系。

比如一个群G，有conjugacy class
Conj = {C₁,C₂,C₃,C₄}

Conj上的函数，就叫类函数。现在是4维。

另一方面，G有4个不可约表示：
Rep = {ρ₁,ρ₂,ρ₃,ρ₄}

还有4个对应的character：
Char = {α₁,α₂,α₃,α₄}
一个不可约character就是一个类函数，它相当于类函数空间上的另一套基。

傅里叶变换来了：
{f:Conj -> C} --> {f:Rep -> C}

{f:Rep -> C}和{f:Char -> C}是等价的。但是Char本身也是{f:Conj -> C}中的一个元素，所以有的时候会confuse。

这个傅里叶变换也有乘法到卷积，卷积到乘法。{f:Rep -> C} 那边的卷积不叫卷积，叫tensor product，但是内容是一样的。

[TheMatrix]

看群表示也是如此。先看类函数和representation之间的关系。

比如一个群G，有conjugacy class
Conj = {C₁,C₂,C₃,C₄}

Conj上的函数，就叫类函数。现在是4维。

另一方面，G有4个不可约表示：
Rep = {ρ₁,ρ₂,ρ₃,ρ₄}

还有4个对应的character：
Char = {α₁,α₂,α₃,α₄}
一个不可约character就是一个类函数，它相当于类函数空间上的另一套基。

傅里叶变换来了：
{f:Conj -> C} --> {f:Rep -> C}

{f:Rep -> C}和{f:Char -> C}是等价的。但是Char本身也是{f:Conj -> C}中的一个元素，所以有的时候会confuse。

这个傅里叶变换也有乘法到卷积，卷积到乘法。{f:Rep -> C} 那边的卷积不叫卷积，叫tensor product，但是内容是一样的。

这是看类函数。也可以看更大的群函数空间。{f: G -> C}。而类函数空间是它的子空间 - 如果两个群元素在同一个conjugacy class里，那么它们赋同样的值。

傅里叶变换怎么看成是基变换呢？这个有点难弄了。

群函数这边有“自然”的基：{δ_g}，就是δ(g)=1，其他等于0。另一边是什么呢？另一边我们已经知道了，是matrix的直和。所以群函数这边的基就应该是这一套：

{g.α for g in G for α in Char}

g.α是g作用在α上，α是不可约表示的character，看成一个群函数。

这套数量看起来是 |G|*|Conj|，但是我们知道因为不可约表示的缘故，每一套作用都是限定在一个不变子空间中的。所以这里可以取出一套基来，而且每一套都是等价的。

傅里叶变换的另一边。是不可约方块的直和，也可以看成是matrix-valued function on Rep 或 Char。

卷积变乘法 - 这个是对的。

乘法变卷积 - 叫tensor product，应该也是对的。因为这是扩展定义，和类函数空间的定义compatible。我觉得。

[Caravel]

比如一个线性空间V，有两组基：
A = {a₁,a₂,a₃,a₄}
B = {b₁,b₂,b₃,b₄}
这两组基之间有一个基变换X。按照指定的基顺序，X可以写成一个matrix。

一个向量v，在两组基下，各有：
v = λ₁a₁+λ₂a₂+λ₃a₃+λ₄a₄
v = γ₁b₁+γ₂b₂+γ₃b₃+γ₄b₄

v还可以看成是两组基上的函数f和g，各有：
f(a₁)=λ₁,f(a₂)=λ₂,f(a₃)=λ₃,f(a₄)=λ₄
g(b₁)=γ₁,g(b₂)=γ₂,g(b₃)=γ₃,g(b₄)=γ₄

F: f --> g 的变换就可以叫傅里叶变换。G: g --> f 的变换叫傅里叶逆变换。

进一步假设这个线性空间V还是一个代数，也就是两个向量u和v之间有乘法，u.v。那么马上可以定义另一种乘法u*v，使得 F(u*v)=F(u).F(v)。这个乘法可以叫卷积。

傅里叶变换使乘法变卷积，卷积变乘法，两个方向都是这样 - 这是从定义来的。

dual space 和tensor也可以这么定义，定义成傅里叶变换是不是还需要一些性质？

[FoxMe]

是的，所以说群表示实质上是傅立叶变换。

但是卷积为啥是tensor product?我没看出来。

[TheMatrix]

但是卷积为啥是tensor product?我没看出来。

哦。两个表示的tensor product，在character作为类函数这边变成了乘法。按照傅里叶变换把“乘法变为卷积，卷积变为乘法”的原则，tensor product这边应该可以叫卷积。不过这只是一个名字。

[YWY]

一个群的共轭类与其不可约表示的数目相等。没理由没有对应关系啊。所以我一直在想有没有canonical的对应关系。现在终于想明白了 - 没有。这两个的关系是对偶关系 - 相当于线性空间与它的对偶空间之间的关系 - 没有canonical的对应关系 - 除非指定一个关系。

可以把这个类比写更清楚：

一方面以共轭类作基生成的线性空间，叫类空间吧。比如C₁,C₂,C₃,C₄,是4个共轭类。类空间是这样的:

λ₁C₁+λ₂C₂+λ₃C₃+λ₄C₄

另一方面，共轭类上的函数，叫类函数（class function），比如 f：

f(C₁) = γ₁
f(C₂) = γ₂
f(C₃) = γ₃
f(C₄) = γ₄

类空间和类函数空间 - 是对偶的吧？这就比较清楚了。

不可约表示相当于它的character，是一个类函数，属于类函数空间。所以不和类空间比如某个共轭类直接对应。

类空间有一个自然的基，{C₁,C₂,C₃,C₄}，对应类函数空间的一个对偶基：就是某个类上取1，其他类取0。指定了这种对应关系，这两个空间就可以对应上了。

但这个对偶基在群表示论中很多时候不好用。要换基 - 取不可约表示的character作基。这个基再对偶回去到类空间，，，好像又不太好使了。

我只是从线性代数（内积空间）的角度说一句：所有不可约表示的character（记为ch_1, ch_2, ch_3, ch_4）形成类函数空间的单位正交基，每个类函数f都是ch_1, ch_2, ch_3, ch_4的线性组合，即可以写成
f = λ₁ch₁+λ₂ch₂+λ₃ch₃+λ₄ch₄,
其中λ_i可通过f和ch_i的内积算出。在群表示论里，这个内积已经定义好了，想求λ_i算一下就出来了。

这和傅里叶变换里，cos(nx)前面的系数可通过f(x)cos(nx)的积分算出，是一个道理。

[TheMatrix]

我只是从线性代数（内积空间）的角度说一句：所有不可约表示的character（记为ch_1, ch_2, ch_3, ch_4）形成类函数空间的单位正交基，每个类函数f都是ch_1, ch_2, ch_3, ch_4的线性组合，即可以写成
f = λ₁ch₁+λ₂ch₂+λ₃ch₃+λ₄ch₄,
其中λ_i可通过f和ch_i的内积算出。在群表示论里，这个内积已经定义好了，想求λ_i算一下就出来了。

这和傅里叶变换里，cos(nx)前面的系数可通过f(x)cos(nx)的积分算出，是一个道理。

对。内积使计算简单了。没有内积也可以算线性表出的系数，相当于解线性方程组。

傅里叶变换好像都有内积。

[Caravel]

对。内积使计算简单了。没有内积也可以算线性表出的系数，相当于解线性方程组。

傅里叶变换好像都有内积。

我最近看的一个材料讲了vector space的三个抽象阶梯

1.第一阶梯是集合

2.第二阶梯是数乘，加法，也就是线性性

3.第三阶梯是可以定义内积。内积还分几种，最低的是non-degenerate hermitian form，如果加上positive-definiteness，也就算(v,v) > 0 if v !=0，才是内积

我们平时碰到的一般都是到了第三阶梯。

[TheMatrix]

我最近看的一个材料讲了vector space的三个抽象阶梯

1.第一阶梯是集合

2.第二阶梯是数乘，加法，也就是线性性

3.第三阶梯是可以定义内积。内积还分几种，最低的是non-degenerate hermitian form，如果加上positive-definiteness，也就算(v,v) > 0 if v !=0，才是内积

我们平时碰到的一般都是到了第三阶梯。

嗯。结构就是一层一层往上加，越来越丰富，而且加的有道理。