为什么三维空间的旋转是qvq^{-1}, 二维平面只需要rv?

[苍井吱]

RV也可以，就是3x3矩阵，这就是两种不同的表象，

对应复平面上v = (x, y)的旋转(a + bi)(x + yi)

3维旋转是(a + bi + cj + dk)(xi + yj + zk)(a + bi + cj + dk)^{-1}

有一个细节是，(a+ bi)里面并没有旋转轴的信息，只有旋转角度

[zeami]

你们的讨论大概是这个

比如说你要旋一个锥形弹簧，你简化成一个上下都带一个圆点标注的椎体，旋到你新的坐标系以后，再按原来的相对坐标关系去复原你的弹簧结构。。

[弃婴千枝]

复平面的旋转不是吧2x2矩阵运算[a -b;b a][x;y]切换到1维(a + bi)(x + iy)上吗

对，据说是数字相乘计算量要小于矩阵相乘

[苍井吱]

比如说你要旋一个锥形弹簧，你简化成一个上下都带一个圆点标注的椎体，旋到你新的坐标系以后，再按原来的相对坐标关系去复原你的弹簧结构。。

那必然是因为从椎体重新构造弹簧比旋转弹簧快

[zeami]

那必然是因为从椎体重新构造弹簧比旋转弹簧快

就是这个意思。我前面说就用rv算是不对的。从制造工具的角度，确实这样的死算rv软件没人买。。

[OPQ]

有二元数，有四元数，没有三元数。

Every rotation of H=R⁴ is of the form v -> q v p, where q and p are unit quaternions.

(四元数不满足交换律，p,q 只能放在 v 的左右两边。（二元情况可以化简。)

三维空间的旋转怎么办？没有三元数啊。

那就从四维限制下来。（从二维是升不上去的，或者说不方便。）

总之，every rotation of R³ is of the form v -> q v q^{-1}, where q is a unit quaternion.

四维的特殊形式。就这样。

不爱用四元数的话，其实直接用矩阵也无所谓。

也不一定非要用欧拉角。

[Caravel]

对应复平面上v = (x, y)的旋转(a + bi)(x + yi)

3维旋转是(a + bi + cj + dk)(xi + yj + zk)(a + bi + cj + dk)^{-1}

有一个细节是，(a+ bi)里面并没有旋转轴的信息，只有旋转角度

过一点的二维旋转轴只有一个啊

[苍井吱]

过一点的二维旋转轴只有一个啊

是这个道理，所以可以默认

[TheMatrix]

刚好看到知乎上一篇相关文章：

https://www.zhihu.com/question/37729543 ... 9482454314

[苍井吱]

昨晚想了一下特殊例子

i v (-i)

把v分成两个分量 v1 = a + bi(实际上a = 0), v2 = cj + dk

因为交换律i v1 (-i) = v1，在这两个坐标下没有效果

i v2和v2(-i)都是对v2即j, k两个坐标构成的平面做90°旋转

将这种旋转推广到一般的qv q^{-1}

先找到一个欧拉角的旋转矩阵T such that Tq = [1 0 0]^T

那么qvq^{-1}就是T^{-1} i v (-i) T，先转换一下视角把旋转轴看成x轴(i-axis)，转完再把视角改回来