S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

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S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

帖子 Caravel楼主 »

S6是6个元素的置换群。每一个群元素也就是一种置换都可以写成1个或者多个cycle的组合。一个cycle形如(123) 的意思是1→2, 2→3, 3→1. 交换可以看成是2-cycle,不动则是1-cycle。1-cycle通常是省略的,但是下面为了明显还是写出来。

这种cycle的结构是群共轭不变量,也就是g(1234)(56) g^-1变换之后依然会保持4+2这样的cycle结构。利用这一点,我们就可以很容易找到S6的所有共轭类。这里面用到了一个n-cycle的可能个数可以用圆排列来算出。

S6 Conjugacy class

1. (123456) 120
2. (12345)(6) C(6,1) * 4! =144
3. (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;
4. (1234)(5)(6) C(6,4) * 3! = 90;
5. (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;
6. (123)(45)(6) C(6,3)* C(3,2) * 2! = 120;
7. (123)(4)(5)(6) C(6,3) * 2!= 40;
8. (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15
9. (12)(34)(5)(6) C(6,2)*C(4,2) / 2! = 45;
10. (12)(3)(4)(5)(6) C(6,2) = 15;
11. (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 1; 单位元

总共是11个共轭类,720个元素。

下面我们看看怎么用S6解决**verdelite的问题**

[帖子](viewtopic.php?p=650098#p650098) 由 **verdelite** » January 14, 2023 11:32 AM

6对夫妻经常新年聚会。这次他们发现,子女都离家了,就剩下他们自己了,不像往年那么热闹了。好无聊。就有人提议男人们把钥匙串放桌上。女人们来拿钥匙,每人拿一串,但是不得拿自己丈夫的钥匙串(自己丈夫的钥匙串当然是认得的)。问有几种不同的拿法。

不难看出这就是一个置换的计数问题,但是不能拿自家的钥匙,所以要排除那些有1-cycle的共轭类。那么看一下实际上只剩下 1,3,5,8四个共轭类。加一下120+90+40+15=265. 答案正确。同时我们还得到这些排列组合里面结构,群论的威力可见一斑。而且这些共轭类也包含了更多更丰富的内容,比如有2个人不愿意参加游戏还有多少可能之类的。

index1 (123456) 120

index3 (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;

index5 (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;

index8 (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15
上次由 Caravel 在 2023年 1月 15日 01:36 修改。
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 verdelite(众傻之傻) »

Caravel 写了: 2023年 1月 14日 18:53 看了上面的解法,圆排列不对,因为这对应所有人形成一个cycle,但是实际上6个人可以形成3+3,4+2,5+1,或是2+2+2,5+1不成立,尼玛感觉回到了群论的共轭类

这几种加起来就是265
我先confirm一些,265是对的。
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 TheMatrix »

Caravel 写了: 2023年 1月 14日 18:53 看了上面的解法,圆排列不对,因为这对应所有人形成一个cycle,但是实际上6个人可以形成3+3,4+2,5+1,或是2+2+2,5+1不成立,尼玛感觉回到了群论的共轭类

这几种加起来就是265
哇,这里也有共轭类。
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 Caravel楼主 »

TheMatrix 写了: 2023年 1月 14日 21:00 哇,这里也有共轭类。
是的,待会我详细写清楚,群论没白学
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 verdelite(众傻之傻) »

Caravel 写了: 2023年 1月 14日 23:46 是的,待会我详细写清楚,群论没白学
你们学群论就来了配钥匙问题,你们讨论外积空间就来了刷骰子问题。
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 Caravel楼主 »

verdelite 写了: 2023年 1月 15日 00:42 你们学群论就来了配钥匙问题,你们讨论外积空间就来了刷骰子问题。
更新了。
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 verdelite(众傻之傻) »

Caravel 写了: 2023年 1月 15日 01:37更新了。
应该接受YWY建议(viewtopic.php?p=651525#p651525),令这个置换群为P,而不是令其为S。

而且P也是有意义的,看我问chatGPT如下:
"what is a word meaning "exchange" and starting with letter p?"
"The word you're looking for is "permute." It means to exchange or change the position of things."
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 Caravel楼主 »

verdelite 写了: 2023年 1月 15日 01:46 应该接受YWY建议(viewtopic.php?p=651525#p651525),令这个置换群为P,而不是令其为S。

而且P也是有意义的,看我问chatGPT如下:
"what is a word meaning "exchange" and starting with letter p?"
"The word you're looking for is "permute." It means to exchange or change the position of things."
你这个问题原型应该不是这样的吧
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 YWY(夜未央) »

verdelite 写了: 2023年 1月 15日 01:46 应该接受YWY建议(viewtopic.php?p=651525#p651525),令这个置换群为P,而不是令其为S。

而且P也是有意义的,看我问chatGPT如下:
"what is a word meaning "exchange" and starting with letter p?"
"The word you're looking for is "permute." It means to exchange or change the position of things."
懂的都懂:置换群P,只有双射才能加入,通过共轭可以实现内自同媾(构)。
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Re: S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

帖子 TheMatrix »

Caravel 写了: 2023年 1月 14日 18:53 S6是6个元素的置换群。每一个群元素也就是一种置换都可以写成1个或者多个cycle的组合。一个cycle形如(123) 的意思是1→2, 2→3, 3→1. 交换可以看成是2-cycle,不动则是1-cycle。1-cycle通常是省略的,但是下面为了明显还是写出来。

这种cycle的结构是群共轭不变量,也就是g(1234)(56) g^-1变换之后依然会保持4+2这样的cycle结构。利用这一点,我们就可以很容易找到S6的所有共轭类。这里面用到了一个n-cycle的可能个数可以用圆排列来算出。

S6 Conjugacy class

1. (123456) 120
2. (12345)(6) C(6,1) * 4! =144
3. (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;
4. (1234)(5)(6) C(6,4) * 3! = 90;
5. (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;
6. (123)(45)(6) C(6,3)* C(3,2) * 2! = 120;
7. (123)(4)(5)(6) C(6,3) * 2!= 40;
8. (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15
9. (12)(34)(5)(6) C(6,2)*C(4,2) / 2! = 45;
10. (12)(3)(4)(5)(6) C(6,2) = 15;
11. (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 1; 单位元

总共是11个共轭类,720个元素。

下面我们看看怎么用S6解决**verdelite的问题**

[帖子](viewtopic.php?p=650098#p650098) 由 **verdelite** » January 14, 2023 11:32 AM

6对夫妻经常新年聚会。这次他们发现,子女都离家了,就剩下他们自己了,不像往年那么热闹了。好无聊。就有人提议男人们把钥匙串放桌上。女人们来拿钥匙,每人拿一串,但是不得拿自己丈夫的钥匙串(自己丈夫的钥匙串当然是认得的)。问有几种不同的拿法。

不难看出这就是一个置换的计数问题,但是不能拿自家的钥匙,所以要排除那些有1-cycle的共轭类。那么看一下实际上只剩下 1,3,5,8四个共轭类。加一下120+90+40+15=265. 答案正确。同时我们还得到这些排列组合里面结构,群论的威力可见一斑。而且这些共轭类也包含了更多更丰富的内容,比如有2个人不愿意参加游戏还有多少可能之类的。

index1 (123456) 120

index3 (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;

index5 (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;

index8 (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15
有意思。
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Re: 选钥匙问题就是置换群的共轭类计数问题

帖子 verdelite(众傻之傻) »

YWY 写了: 2023年 1月 15日 02:39 懂的都懂:置换群P,只有双射才能加入,通过共轭可以实现内自同媾(构)。
我帮你去joke版问问看。已经问了:viewtopic.php?f=13&t=106087
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Re: S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

帖子 FoxMe(令狐) »

这个群论方法好。记得群论的典型应用有项链问题,化学分子问题等等类似的问题。
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Re: S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

帖子 Caravel楼主 »

FoxMe 写了: 2023年 1月 15日 09:36 这个群论方法好。记得群论的典型应用有项链问题,化学分子问题等等类似的问题。
还有一个那个弹簧的震动问题,也是用置换群,还有晶体群。当然物理里面量子力学里面也到处在用李群
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Re: S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

帖子 YWY(夜未央) »

Caravel 写了: 2023年 1月 15日 11:33 还有一个那个弹簧的震动问题,也是用置换群,还有晶体群。当然物理里面量子力学里面也到处在用李群
能展开说说弹簧的震动问题,和置换群怎么联系起来吗?
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Re: S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题

帖子 Caravel楼主 »

YWY 写了: 2023年 1月 15日 11:49 能展开说说弹簧的震动问题,和置换群怎么联系起来吗?
应该是Dihedral group,弹簧处于多边形顶点上
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