有限群表示理论的核心定理

[Caravel]

有限群表示理论的核心定理
帖子 由 Caravel » 12月 17, 2022, 10:46 am继续之前的讨论，主要讲结果的意义和理解。

群表示理论的主要任务就是寻找不可约表示，一个群到底有多少不可约表示？对这些不可约表示有什么限制性定理么？

turns out对有限群有一个很强的定理，就是 great orthogonality theorem。这个定理我觉得用群函数理解比较容易，群函数就是群元素 {gi} 到 复数C的一个映射，假设有N个群元素，这这个函数对全定义域可以给出N个值，这N个复数可以写成一个vector。这个N维空间最多有N个正交基。每个不可约表示的矩阵元 Mij（g)都可以看成一个群函数。 great orthogonality theorem指的就是

有限群G的所有不可约表示的矩阵元构成的群函数一组正交完备的基。矩阵元群函数生成的N维向量之间正交。

每个矩阵有n^2个矩阵元，所以这个约束很强。有很多推论，极大限制了不可约表示的选择。

比如

1. 不可约表示的维度平方和 d1^2 + d2^2 + ... = N

2. 群不可约表示的数目等于等价类的数目

3. 等价类的character也就是矩阵trace， 本身也是正交完备的。