Clifford algebra继续讨论

STEM版,合并数学,物理,化学,科学,工程,机械。不包括生物、医学相关,和计算机相关内容。

版主: verdeliteTlexander

FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

TheMatrix 写了: 3月 17, 2023, 10:24 pm 我的问题是,可逆元是不是都是2阶或2次的。
应该不是的,只要xx'不等于0,这里 ()' 是involution。那么逆元
x^{-1} = (xx')^{-1} x'
wugrav
职业作家
职业作家
帖子: 570
注册时间: 9月 18, 2022, 11:55 am
昵称(选填): 老船长

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 wugrav »

老夫用cliff代数构建标准模型的SU(3), SU(2)xU(1)群的生成元, 嚓, 多少年前的事儿了。。。。。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 18, 2023, 10:59 am 可逆元不见得满足

y = u x u^-1,这里x, y是线性空间的向量。

由u给出的这个群就叫spin group, u就叫spinor,没看到其它的名称。我不知道可逆元是不是都是2阶或2次,感觉不大可能吧?可能要知道spin group的表示,又回到群表示论了。
嗯。我也看到了。

图片

α: v -> -v 是involution。而Spin group是Lipschitz group中Q=1的偶阶元素,这里的Q是V上扩展到Clifford algebra上的。

这里的定义里有一个α,在偶阶上应该不起作用。
bigbendan
职业作家
职业作家
帖子: 455
注册时间: 10月 10, 2022, 3:02 am
昵称(选填): bigbendan

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 bigbendan »

hci 写了: 3月 15, 2023, 9:13 pm 我高度怀疑这个东西是某本东方古书里的。grassmann 这个德国民科是专门研究东方古书的。

可能是用来计算我们这个虚拟现实后面的机理的。

古代道家什么都可以算,没有高深的数学,不太可能。

当你知道了虚拟现实的真相,对"物理"就失去了兴趣。都是可以算出来的东西,不必折腾了。修仙成神才是正道。

无极生太极,太极分阴阳。
灵魂通天道,虚实皆可见。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 18, 2023, 11:08 am 应该不是的,只要xx'不等于0,这里 ()' 是involution。那么逆元
x^{-1} = (xx')^{-1} x'
嗯。Clifford algebra不是Z-grading,不能单独看2阶元素。它不是Z-grading的原因,应该是和Q以及V有关。

但是它是Z2-grading的,也就是分奇数阶和偶数阶的。偶数阶放在一起是一个subalgebra。

图片
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 17, 2023, 6:03 pm 长得什么样,要知道Clifford algebra的表示。很简单,就是个矩阵,没有一般的群表示论那么麻烦。我还在看。
按照群的regular representation的方法,一般algebra也可以在自身上表示,也就是algebra乘法作用的表示。Clifford algebra也有这种表示。但是表示空间比较大,是2n维的。

Clifford algebra有一个基础子空间V,所以就希望在V上表示。那么它的表示就应该是n-by-n矩阵。但是Clifford algebra的乘法不能保证乘以V上的一个向量之后还在V中。所以应该用共轭。因为共轭是 uvu-1,互逆元素在两边作用一下,经常能保证v还在原空间中。这里已经有了u为可逆的要求。

但是共轭也不能完全保证uvu-1还在V中,那么就把这个要求作为一个条件,Spin group直接要求uvu-1仍在V中,这就满足了群表示不变子空间的要求。到这为止,相当于构造了GL(V)。再加上长度的要求,相当于从GL(V)收敛到SO(n)。
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

wugrav 写了: 3月 18, 2023, 11:22 am 老夫用cliff代数构建标准模型的SU(3), SU(2)xU(1)群的生成元, 嚓, 多少年前的事儿了。。。。。
介绍一下生成元的矩阵表示。
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

FoxMe 写了: 3月 18, 2023, 10:55 am 取名有点无厘头,很容易混淆。

单位或幺元:{x | xx=1}
单位的另一个定义:{x | 存在y,使得xy=1}

感觉很牵强。根据第二种定义,所有不等于0的实数都是单位。
我感觉单位的这个定义:{x | 存在y,使得xy=1},只有对离散的环才有意义。比如整数环的unit是 1 和 -1.
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

TheMatrix 写了: 3月 18, 2023, 12:50 pm α: v -> -v 是involution。而Spin group是Lipschitz group中Q=1的偶阶元素,这里的Q是V上扩展到Clifford algebra上的。

这里的定义里有一个α,在偶阶上应该不起作用。
噢,我没注意到Lipschitz group,α叫“内卷” :)
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

这个事情使我又思考了一下纯代数扩张的问题。这是general的思考,没有具体的意义。而且有点“马太效应”,每次思考都是从差不多同样的地方开始,结束于也不比上次多多少的地方。有点像我写parser代码,我写过应该有几十个版本,每次和上次没什么太大的区别。流连忘返,我只能这么说。又像嚼口香糖,总是不肯吐掉,希望能嚼出牛肉干的味道来。

任何东西都可以线性化或者代数化,比如一个集合S,没有任何结构,要把它线性化,就是让它point到一个target space,一个域,F,也就是考虑 {f: S -> F} 这个函数空间。立刻就线性化了。这也可以叫vector space spanned by S,或者就F-linear combination of S。而且S嵌入其中,canonically - 研究S完全包含在研究这个线性化的空间之中。

不仅线性化了,还代数化了,因为F上的乘法自然扩展到 {f: S -> F} 这个函数空间。

群也可以线性化和代数化,用同样的方法。考虑 {f: G -> F} 这个函数空间,或者F-linear combination of G。这已经是一个线性空间也是一个代数了。但是群本身有结构,最好要照顾到这个结构。因为我们的目的是研究群本身 - well,这是最初的目的。那就是 F[G],group algebra,乘法的时候不仅target space相乘,source space也相乘。研究G完全包含在研究F[G]之中。

向量空间或线性空间本身怎么代数化?{f: V -> F}?这是一个(线性)泛函空间。上面的方法可以做,但是意义不大,因为扩张之后没有照顾到V本身的线性结构。最小的扩张是张量代数。well,我觉得应该有不同方向的扩张,张量代数是一个方向。对称代数和外代数是有限定的张量代数。

Clifford algebra,需要额外的信息,二次型Q,或者内积。内积有很多,构成一个空间。所以Clifford algebra可以说是把特定的内积结构编码到V的扩张之中了。

接下来看乘法。乘法是在加法之上的结构,有分配律。对乘法和加法的看法不同,乘法可以看成是作用,action,外部的,happen to be acting on itself。所以可以有很多不同的乘法。既然是action,那就可以研究表示,representation。线性空间已经有了,就是自己,后者自己的线性化。action就用自己的乘法。这就是regular representation。

还有一个是conjugate action,conjugate representation,值得研究。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

TheMatrix 写了: 3月 19, 2023, 11:36 am
但是群本身有结构,最好要照顾到这个结构。因为我们的目的是研究群本身 - well,这是最初的目的。
虽然做代数扩张,但是还是瞄着基础空间 - 这是最初的目标。只要信息不丢失,在代数扩张上做研究,相当于给基础空间加装把手,着力点更多,研究办法更多。当然,代数扩张本身也是有意义的。
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

我总觉得tensor algebra可以用量子来实现。比如n=100时的乘法,其复杂度在2^100量级,但是用100个量子比特就行。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 18, 2023, 10:59 am 可逆元不见得满足

y = u x u^-1,这里x, y是线性空间的向量。

由u给出的这个群就叫spin group, u就叫spinor,没看到其它的名称。我不知道可逆元是不是都是2阶或2次,感觉不大可能吧?可能要知道spin group的表示,又回到群表示论了。
Clifford algebra 里面可逆元素的比例有多大?我感觉我的想象似乎不对:我以为只有很少量的可逆元素。但是看了Cl0,1, Cl0,2, Cl0,3,除了0之外都是可逆的,好像都是division ring。更高维不知道是不是也这样?
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

一般应该不是的。Cl0,1, Cl0,2刚好是复数和quaternion,Cl0,3不是。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 22, 2023, 5:23 pm 一般应该不是的。Cl0,1, Cl0,2刚好是复数和quaternion,Cl0,3不是。
不知道不可逆的元素按照basis写出来什么样,形如e1e2+ e3e4这样的。

可逆但不stabilize V的元素什么样,就是uxu-1不在V内的那种u。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

Clifford algebra上也可以定义二次型Q,是从基底空间V上的二次型Q扩展上去的。这个扩展是不是canonical的,值得考虑。

首先每一个纯乘法项,比如e1e3e4这样的,而不是e1e2+e3e4这样的,都可以反向相乘,变成e4e3e1。这叫转置,transpose。注意对于纯乘法项x,xtx是一个数。相加的那种也可以转置,就是每一项分别转置再相加。

然后,Clifford algebra上任意元素x的Q,定义为Q(x)= xtx的常数项。这个应该也等于每一个纯乘法项的Q再相加。

内乘也可以从V上扩展到Clifford algebra上。
rgg
职业作家
职业作家
帖子: 661
注册时间: 9月 12, 2022, 3:00 pm

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 rgg »

TheMatrix 写了: 3月 23, 2023, 4:16 pm Clifford algebra上也可以定义二次型Q,是从基底空间V上的二次型Q扩展上去的。这个扩展是不是canonical的,值得考虑。

首先每一个纯乘法项,比如e1e3e4这样的,而不是e1e2+e3e4这样的,都可以反向相乘,变成e4e3e1。这叫转置,transpose。注意对于纯乘法项x,xtx是一个数。相加的那种也可以转置,就是每一项分别转置再相加。

然后,Clifford algebra上任意元素x的Q,定义为Q(x)= xtx的常数项。这个应该也等于每一个纯乘法项的Q再相加。

内乘也可以从V上扩展到Clifford algebra上。
参见Geometric_algebra#Extensions_of_the_inner_and_exterior_products 上面是的第三种内积定义*.
FoxMe楼主
论坛点评
论坛点评
帖子: 3231
注册时间: 7月 26, 2022, 4:46 pm
昵称(选填): 令狐

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 FoxMe楼主 »

不错,Q(xy)=Q(x)Q(y),满足norm的乘性。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

rgg 写了: 3月 23, 2023, 4:47 pm 参见Geometric_algebra#Extensions_of_the_inner_and_exterior_products 上面是的第三种内积定义*.
嗯,看来内积的扩展确实不止一种,而且不能说哪种是canonical的。
TheMatrix
论坛支柱
论坛支柱
TheMatrix 的博客
帖子: 9745
注册时间: 7月 26, 2022, 12:35 am

Re: Clifford algebra继续讨论

帖子 TheMatrix »

FoxMe 写了: 3月 23, 2023, 5:42 pm 不错,Q(xy)=Q(x)Q(y),满足norm的乘性。
norm应该有乘性吗?
回复

回到 “STEM”