新未名空间

YWY 写了： 2023年 3月 31日 11:26 This is all fine.

However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).

If Q(e_1) = 1 and Q(e_2) = -1 (meaning that Q(e_1, e_1) = 1 and Q(e_2, e_2) = -1), then
Q(e_1+e_2)
= Q(e_1+e_2, e_1+e_2)
= Q(e_1, e_1) + 2Q(e_1, e_2) + Q(e_2, e_2)
= 1 + 2Q(e_1, e_2) - 1
= 2Q(e_1, e_2)

In your post above, you said that e_1 and e_2 form a basis. If this implies that Q(e_1, e_2) = 0, then, continuing from the above, we see that
Q(e_1+e_2) = 0.

把定义严格搞清楚就不会有问题了，别把直觉带进来

YWY 写了： 2023年 3月 31日 11:36 If Q(e_1) = 1 and Q(e_2) = -1 (meaning that Q(e_1, e_1) = 1 and Q(e_2, e_2) = -1), then
Q(e_1+e_2)
= Q(e_1+e_2, e_1+e_2)
= Q(e_1, e_1) + 2Q(e_1, e_2) + Q(e_2, e_2)
= 1 + 2Q(e_1, e_2) - 1
= 2Q(e_1, e_2)

In your post above, you said that e_1 and e_2 form a basis. If this implies that Q(e_1, e_2) = 0, then, continuing from the above, we see that
Q(e_1+e_2) = 0.

嗯。二次型和induced symmetric bilinear form等价。先定义谁都可以。而且的确先定义symmetric bilinear form更容易说清楚。

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 11:20 复数i和1正交吗？

二者的夹角是90度，显然正交。

但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i，不为0，所以它们不正交。

这个问题我问过好几个人，没有得到满意的答案。

先要定义所在空间以及内积

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 11:20 复数i和1正交吗？

二者的夹角是90度，显然正交。

但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i，不为0，所以它们不正交。

这个问题我问过好几个人，没有得到满意的答案。

我看了后面大家的回答。感觉你所谓 i 和 1 的正交是在一个你认为的空间，但是和Hermitian inner product的定义并不吻合。

Hermitian inner product在复空间上<u, v> = 0 => u = 0 or v = 0。所以没有两个向量是正交的，除非一个是0。

pseudo 写了： 2023年 4月 11日 00:17 我看了后面大家的回答。感觉你所谓 i 和 1 的正交是在一个你认为的空间，但是和Hermitian inner product的定义并不吻合。

Hermitian inner product在复空间上<u, v> = 0 => u = 0 or v = 0。所以没有两个向量是正交的，除非一个是0。

这个黑体的讨论做好加上 “一维” 会好一些。

对于1和 i所处的复空间，维度是1维的。

Hermitian inner product在一维复空间上<u, v> = 0 => u = 0 or v = 0。所以没有两个向量是正交的，除非一个是0

在二维的复空间上，存在两个正交的非0向量。

rgg 写了： 2023年 3月 29日 11:55 你这是混淆了数域和向量空间。 当你做了同构变换 i-e_y, 1-e_x以后，在实数域上的由正交基（e_x,e_y)张成的向量空间里，e_x和e_y正交。
在复数域上，就不能做这样的同构变换，i和1都只能映射为一维向量，它们平行。

我觉得这个很清楚了。关键是先要定义好线性空间。

Amorphous 写了： 2023年 4月 18日 09:53 我觉得这个很清楚了。关键是先要定义好线性空间。

还要说好用哪一个内积。同一空间上，可定义千千万万个内积，不确定内积就谈两个向量是否“正交”，无异于镜中花水中月。

嗯，还是定义的问题。但是定义要符合直观，所以说Hermitian内积不符合直观？