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Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 3月 31日 11:36
由 YWY
YWY 写了: 2023年 3月 31日 11:26
This is all fine.
However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).
If Q(e_1) = 1 and Q(e_2) = -1 (meaning that Q(e_1, e_1) = 1 and Q(e_2, e_2) = -1), then
Q(e_1+e_2)
= Q(e_1+e_2, e_1+e_2)
= Q(e_1, e_1) + 2Q(e_1, e_2) + Q(e_2, e_2)
= 1 + 2Q(e_1, e_2) - 1
= 2Q(e_1, e_2)
In your post above, you said that e_1 and e_2 form a basis.
If this implies that Q(e_1, e_2) = 0, then, continuing from the above, we see that
Q(e_1+e_2) = 0.
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 3月 31日 11:37
由 wind
把定义严格搞清楚就不会有问题了,别把直觉带进来
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 3月 31日 11:46
由 TheMatrix
YWY 写了: 2023年 3月 31日 11:36
If Q(e_1) = 1 and Q(e_2) = -1 (meaning that Q(e_1, e_1) = 1 and Q(e_2, e_2) = -1), then
Q(e_1+e_2)
= Q(e_1+e_2, e_1+e_2)
= Q(e_1, e_1) + 2Q(e_1, e_2) + Q(e_2, e_2)
= 1 + 2Q(e_1, e_2) - 1
= 2Q(e_1, e_2)
In your post above, you said that e_1 and e_2 form a basis.
If this implies that Q(e_1, e_2) = 0, then, continuing from the above, we see that
Q(e_1+e_2) = 0.
嗯。二次型和induced symmetric bilinear form等价。先定义谁都可以。而且的确先定义symmetric bilinear form更容易说清楚。
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 4月 10日 22:26
由 (ヅ)
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 11:20
复数i和1正交吗?
二者的夹角是90度,显然正交。
但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i,不为0,所以它们不正交。
这个问题我问过好几个人,没有得到满意的答案。
先要定义所在空间以及内积
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 4月 11日 00:17
由 pseudo
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 11:20
复数i和1正交吗?
二者的夹角是90度,显然正交。
但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i,不为0,所以它们不正交。
这个问题我问过好几个人,没有得到满意的答案。
我看了后面大家的回答。感觉你所谓 i 和 1 的正交是在一个你认为的空间,但是和Hermitian inner product的定义并不吻合。
Hermitian inner product在复空间上<u, v> = 0 => u = 0 or v = 0。所以没有两个向量是正交的,除非一个是0。
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 4月 13日 11:59
由 nk
pseudo 写了: 2023年 4月 11日 00:17
我看了后面大家的回答。感觉你所谓 i 和 1 的正交是在一个你认为的空间,但是和Hermitian inner product的定义并不吻合。
Hermitian inner product在复空间上<u, v> = 0 => u = 0 or v = 0。所以没有两个向量是正交的,除非一个是0。
这个黑体的讨论做好加上 “一维” 会好一些。
对于1和 i所处的复空间,维度是1维的。
Hermitian inner product在
一维复空间上<u, v> = 0 => u = 0 or v = 0。所以没有两个向量是正交的,除非一个是0
在二维的复空间上,存在两个正交的非0向量。
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 4月 18日 09:53
由 Amorphous
rgg 写了: 2023年 3月 29日 11:55
你这是混淆了数域和向量空间。 当你做了同构变换 i-e_y, 1-e_x以后,在实数域上的由正交基(e_x,e_y)张成的向量空间里,e_x和e_y正交。
在复数域上,就不能做这样的同构变换,i和1都只能映射为一维向量,它们平行。
我觉得这个很清楚了。关键是先要定义好线性空间。
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 4月 18日 10:07
由 YWY
Amorphous 写了: 2023年 4月 18日 09:53
我觉得这个很清楚了。关键是先要定义好线性空间。
还要说好用哪一个内积。同一空间上,可定义千千万万个内积,不确定内积就谈两个向量是否“正交”,无异于镜中花水中月。
Re: i和1正交吗?
发表于 : 2023年 4月 18日 12:05
由 FoxMe
嗯,还是定义的问题。但是定义要符合直观,所以说Hermitian内积不符合直观?