如何理论导出电子自旋

[TheMatrix]

那我们就来复习一下Dirac方程是怎么“推导”出来的。

要注意Dirac方程不是必然推导出来的，它要有一步跳跃。所以没有“正确”的推导方式，只有最快的推导方式 - 也很合理。这是我在chatgpt上看来的。

首先是薛定谔方程：

i∂_tψ=Hψ=p²/2m ψ

这里只有动能项，也就是自由粒子，没有势能。

这个方程不满足狭义相对论的Lorentz变换，所以要改造成满足Lorentz变换的，也就是Klein-Gordon方程。

从狭义相对论能量公式出发：
E²=p²c²+m²c⁴
用一下c=1，
E²=p²+m²

然后把E和p都换成算符：
i∂_t <---> E
-i∇ <---> p

-∂²/∂t²ψ = (-∇²+m²)ψ
(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ

这应该就自动满足了狭义相对论的Lorentz变换，因为是从狭义相对论能量公式出发。这就是Klein-Gordon方程。

这时的ψ是：ψ: R⁴ --> C，单复数值。

接下来就是Dirac的跳跃了。

关于这个跳跃的动机，chatgpt和wiki都提到这么一条：说Klein-Gordon方程是二阶微分方程，Dirac想把它改成一阶微分方程。

这个动机我并不理解。wiki提到一点，说二阶微分方程的解增加了额外的任意性，（态函数和一阶导的初值都需要给定），破坏了态函数modulus作为概率密度的物理意义。这个解释在一定程度上make sense。但是并没有很强地说服我。

但是从目标上看，Klein-Gordon方程本身已经满足狭义相对论的Lorentz变换，Dirac改造它的目的，应该是为了解释电子自旋的。而解释电子自旋必须有C²，也就是Pauli的方法。所以Dirac应该也是为了使他的理论能包含Pauli的方法。

所以Dirac就把Klein-Gordon方程中的算符开平方了：
(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ
(-∂²_t+∂²_x+∂²_y+∂²_z-m²)ψ = 0
(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ = 0

所谓算符的平方就是连续用两次这个算符作用。所以开平方就是要找一个算符，连续用两次，就可以等于Klein-Gordon方程中左边那个算符：

(iγ^μ∂_μ-m)(iγ^μ∂_μ-m)ψ=(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ

μ=0,1,2,3

加了γ^μ是为了使不同index的算符相乘能够相消，只剩下相同index的平方。

Dirac当时对matrix很熟，发现要做到这个，γ必须是一个matrix，4X4，这是从R⁴的维度来的。∂是求导，函数值域可以是任意维度。所以ψ的（值域）维度就决定于γ，是4维。

4维是两个二维，也就是两个C²。有了C²，就可以解释电子的自旋。

[TheMatrix]

难得楼主把学习心得写出来，非常感谢。
我只学过普通物理，对高等物理一窍不通，不能发表意见。
但，对于学过高等物理的人，这难道不是基础的经典么？
怎么也一声不吭，难道也是囫囵吞枣？

我这个学习心得里有很多破绽。

弃婴上来就可以把我挑于马下。

[TheMatrix]

接下来就是Dirac的跳跃了。

关于这个跳跃的动机，chatgpt和wiki都提到这么一条：说Klein-Gordon方程是二阶微分方程，Dirac想把它改成一阶微分方程。

这个动机我并不理解。wiki提到一点，说二阶微分方程的解增加了额外的任意性，（态函数和一阶导的初值都需要给定），破坏了态函数modulus作为概率密度的物理意义。这个解释在一定程度上make sense。但是并没有很强地说服我。

但是从目标上看，Klein-Gordon方程本身已经满足狭义相对论的Lorentz变换，Dirac改造它的目的，应该是为了解释电子自旋的。而解释电子自旋必须有C²，也就是Pauli的方法。所以Dirac应该也是为了使他的理论能包含Pauli的方法。

所以Dirac就把Klein-Gordon方程中的算符开平方了：
(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ
(-∂²_t+∂²_x+∂²_y+∂²_z-m²)ψ = 0
(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ = 0

所谓算符的平方就是连续用两次这个算符作用。所以开平方就是要找一个算符，连续用两次，就可以等于Klein-Gordon方程中左边那个算符：

(iγ^μ∂_μ-m)(iγ^μ∂_μ-m)ψ=(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ

μ=0,1,2,3

加了γ^μ是为了使不同index的算符相乘能够相消，只剩下相同index的平方。

Dirac当时对matrix很熟，发现要做到这个，γ必须是一个matrix，4X4，这是从R⁴的维度来的。∂是求导，函数值域可以是任意维度。所以ψ的（值域）维度就决定于γ，是4维。

4维是两个二维，也就是两个C²。有了C²，就可以解释电子的自旋。

γ^μ作为一个matrix为什么只有一个index呢？因为γ⁰,γ¹,γ²,γ³是从R⁴中来的，对应R⁴的4个基矢量。

这个叫Clifford algebra，Cl(V)，V=R⁴，complexified。

但是简单来讲，一个R⁴中的矢量，可以作为一个算符作用在R⁴上。其作用是关于法平面的反射。

而一个R⁴中的矢量作为算符，就可以表示成一个matrix，4X4。这就是γ matrix。

[xexz]

彩！学习了。

可不可以说，狄拉克，从‘自旋(实际上看到的真实现象是电子束分叉)’撸出了正电荷，看似偶然，实则内禀。

[Caravel]

那我们就来复习一下Dirac方程是怎么“推导”出来的。

要注意Dirac方程不是必然推导出来的，它要有一步跳跃。所以没有“正确”的推导方式，只有最快的推导方式 - 也很合理。这是我在chatgpt上看来的。

首先是薛定谔方程：

i∂_tψ=Hψ=p²/2m ψ

这里只有动能项，也就是自由粒子，没有势能。

这个方程不满足狭义相对论的Lorentz变换，所以要改造成满足Lorentz变换的，也就是Klein-Gordon方程。

从狭义相对论能量公式出发：
E²=p²c²+m²c⁴
用一下c=1，
E²=p²+m²

然后把E和p都换成算符：
i∂_t <---> E
-i∇ <---> p

-∂²/∂t²ψ = (-∇²+m²)ψ，算符的平方就是连续用两次这个算符。
(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ

这应该就自动满足了狭义相对论的Lorentz变换，因为是从狭义相对论能量公式出发。这就是Klein-Gordon方程。

这时的ψ是：ψ: R⁴ --> C，单复数值。

这不是Dirac 方程啊。哦没看完

[TheMatrix]

接下来就是Dirac的跳跃了。

关于这个跳跃的动机，chatgpt和wiki都提到这么一条：说Klein-Gordon方程是二阶微分方程，Dirac想把它改成一阶微分方程。

这个动机我并不理解。wiki提到一点，说二阶微分方程的解增加了额外的任意性，（态函数和一阶导的初值都需要给定），破坏了态函数modulus作为概率密度的物理意义。这个解释在一定程度上make sense。但是并没有很强地说服我。

但是从目标上看，Klein-Gordon方程本身已经满足狭义相对论的Lorentz变换，Dirac改造它的目的，应该是为了解释电子自旋的。而解释电子自旋必须有C²，也就是Pauli的方法。所以Dirac应该也是为了使他的理论能包含Pauli的方法。

所以Dirac就把Klein-Gordon方程中的算符开平方了：
(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ
(-∂²_t+∂²_x+∂²_y+∂²_z-m²)ψ = 0
(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ = 0

所谓算符的平方就是连续用两次这个算符作用。所以开平方就是要找一个算符，连续用两次，就可以等于Klein-Gordon方程中左边那个算符：

(iγ^μ∂_μ-m)(iγ^μ∂_μ-m)ψ=(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ

μ=0,1,2,3

加了γ^μ是为了使不同index的算符相乘能够相消，只剩下相同index的平方。

Dirac当时对matrix很熟，发现要做到这个，γ必须是一个matrix，4X4，这是从R⁴的维度来的。∂是求导，函数值域可以是任意维度。所以ψ的（值域）维度就决定于γ，是4维。

4维是两个二维，也就是两个C²。有了C²，就可以解释电子的自旋。

这个地方是不是可以简化一下？昨天我写到这里的时候

(-∂²/∂t²+∇²)ψ = m²ψ

突然想起好像不是两边之间开平方这么简单，于是就改成了

(-∂²_t+∂²_x+∂²_y+∂²_z-m²)ψ = 0
(-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃-m²)ψ = 0

但是我后来一想，似乎从第一个等式，两边直接开平方也可以。

第一个等式左边的算符又叫拉朗贝尔算符(d'Alembert operator)，是拉普拉斯算符在Minkowski空间的扩展。它可以写成
-∂²₀+∂²₁+∂²₂+∂²₃=-∂^μ∂_μ

我们要对它开平方，但是它不等于

(Σ∂_μ)²

要加一个γ matrix使不同index相消，所以就变成了

(γ^μ∂_μ)²=∂^μ∂_μ

这样两边都直接开平方，得到的也是Dirac方程：
iγ^μ∂_μψ = mψ

[TheMatrix]

彩！学习了。

可不可以说，狄拉克，从‘自旋(实际上看到的真实现象是电子束分叉)’撸出了正电荷，看似偶然，实则内禀。

正电子？这个应该是在Dirac方程预言之后发现的。

[Caravel]

正电子？这个应该是在Dirac方程预言之后发现的。

Dirac的最初动机是为了解决KG方程的负概率难题，概率如果是负的就不能用波函数的那种几率波解释。

所以Dirac希望把KG方程开平方根，这在单分量波函数是做不到的

有一天Dirac发现如果波函数是多分量的，引入了伽马矩阵，那些算符变成矩阵，就可以了

接着发现这个多分量，刚好可以解释成自旋，歪打正着。

Dirac方程解决了负概率问题，但是还有负能量的解。

负能量解被Dirac解读成正电子。

[Caravel]

正电子？这个应该是在Dirac方程预言之后发现的。

KG，Dirac方程就是凑出来的，彻底搞清楚他们和自旋的关系，估计又要过20年。

[xexz]

正电子？这个应该是在Dirac方程预言之后发现的。

对，是正电子。

[TheMatrix]

γ^μ作为一个matrix为什么只有一个index呢？因为γ⁰,γ¹,γ²,γ³是从R⁴中来的，对应R⁴的4个基矢量。

这个叫Clifford algebra，Cl(V)，V=R⁴，complexified。

但是简单来讲，一个R⁴中的矢量，可以作为一个算符作用在R⁴上。其作用是关于法平面的反射。

而一个R⁴中的矢量作为算符，就可以表示成一个matrix，4X4。这就是γ matrix。

γ matrix好像不是这么来的。比这个要复杂。我想简单了。比如γ⁰，我把它当成e₀法平面的反射了。应该不对。

[TheMatrix]

Dirac的最初动机是为了解决KG方程的负概率难题，概率如果是负的就不能用波函数的那种几率波解释。

所以Dirac希望把KG方程开平方根，这在单分量波函数是做不到的

有一天Dirac发现如果波函数是多分量的，引入了伽马矩阵，那些算符变成矩阵，就可以了

接着发现这个多分量，刚好可以解释成自旋，歪打正着。

Dirac方程解决了负概率问题，但是还有负能量的解。

负能量解被Dirac解读成正电子。

KG方程有负概率，这个我不知道。Dirac方程的负能量解，这个我知道。但是负能量解为什么不能舍去我还没有理解。

[Caravel]

KG方程有负概率，这个我不知道。Dirac方程的负能量解，这个我知道。但是负能量解为什么不能舍去我还没有理解。

是Dirac找到了物理解释，所以负能量解就不用舍去了。

[marclee]

这种鸡吧拿个数学的鸡吧玩意就想推倒出物理世界的真实的，以为就是真理的，都是扯鸡巴蛋！

[xexz]

这种鸡吧拿个数学的鸡吧玩意就想推倒出物理世界的真实的，以为就是真理的，都是扯鸡巴蛋！

叔断言，‘正电子’并非只是‘数学定义’/‘数学概念’，应该肯定不止‘一个解释’而已，它是个‘物理实在’，这个是‘真的有’。

比方，这个玩意在现代医学上就有应用：正电子放射断层扫描(PET-CT)，现在是肿瘤诊断的常规手段。

[TheMatrix]

γ matrix好像不是这么来的。比这个要复杂。我想简单了。比如γ⁰，我把它当成e₀法平面的反射了。应该不对。

假设Minkowski空间4个基矢量是(e₀,e₁,e₂,e₃)，满足
e₀²=1,e₁²=e₂²=e₃²=-1，
也就是metric signature为(+,-,-,-)。

4个基矢量之间可以定义Clifford algebra的乘法：
1，两个相同的基矢量相乘可以相消成为一个数，就是metric signature的那个数。
2，两个不同的基矢量相乘不能相消，但是可以换序，同时变成负的。
3，所以可以有2-vector，3-vector，最多4-vector，这叫multi-vector。再多的话，可以用前面两个规则换序相消。所以4个基矢量的Clifford algebra有16个multi-vector，包括一个0-vector。这16个multi-vector的线性组合构成了Clifford algebra的空间，共16维。同时有乘法，是两个基矢量乘法的扩展，也非常类似于polynomial的乘法。

4个基矢量还可以作用在本身所在的空间上，也就是Minkowski空间上。这个作用不是Clifford algebra的相乘，因为Clifford algebra的相乘结果是一个2-vector，不在本身的空间中了。这个作用是“对基矢量法平面的反射”。用Clifford algebra乘法表示的话，v.u=-vuv^-1。这个作用使4个基矢量成为Minkowski空间上的线性变换，也就是4个matrix，也就是表示。这4个基矢量的表示，可以扩展为整个Clifford algebra的表示，也就是Clifford algebra的每一个元素都是一个matrix。

到这一步，所用的数为实数，如果把实数换为复数，这就叫complexification。Clifford algebra可以复数化，就是把参与线性组合的数换成复数。表示也可以复数化，也就是matrix entry允许复数。

到这一步，这是Clifford algebra over Minkowski空间的“标准”表示。但是这样表示出来的4个基矢量的matrix，还不是Dirac的4个γ matrix。

[knockwood]

怎么导出不知道。电子自旋是量子态意义的自旋。跟经典自旋不一样，只有两个独立状态。跟空间旋转是相关的。当空间旋转的时候，电子位置和自旋量子态同时都在旋转。

[mtemei]

youtube, search Liu Hong, Quantum FT, Lecture 26.

[TheMatrix]

到这一步，这是Clifford algebra over Minkowski空间的“标准”表示。但是这样表示出来的4个基矢量的matrix，还不是Dirac的4个γ matrix。

要写出“标准”表示的matrix，就把(e₀,e₁,e₂,e₃)作用在自身上的效果写出来。注意这里的“作用”不是Clifford algebra的相乘，而是“对法平面反射”，也就是v.u=-vuv^-1。

比如
e₀作用在e₁上，考虑e₀的法平面，然后这个平面如何反射e₁，...，得到的结果还是e₁。

用Clifford algebra得到的结果是一样的：
e₀.e₁=-e₀e₁e₀^-1=-e₀e₁e₀=e₀e₀e₁=e₁

这样做发现：
e₀.e₀=-e₀
e₀.e₁=e₁
e₀.e₂=e₂
e₀.e₃=e₃

所以e₀的matrix就是 diag(-1,1,1,1)。

同样，
e₁的matrix是 diag(1,-1,1,1)，
e₂的matrix是 diag(1,1,-1,1)，
e₃的matrix是 diag(1,1,1,-1)，

规律这么简单，是不是做错了？

先接受它。

但是这和Dirac 4个γ matrix不同。

Dirac 4个γ matrix是：

γ⁰= diag(1,1,-1,-1)

γⁱ=[[0,σⁱ],[-σⁱ,0]]

其中σ是Pauli matrix，2X2：

σ¹=[[0,1],[1,0]]
σ²=[[0,-i],[i,0]]
σ³=[[1,0],[0,-1]]

[TheMatrix]

要写出“标准”表示的matrix，就把(e₀,e₁,e₂,e₃)作用在自身上的效果写出来。注意这里的“作用”不是Clifford algebra的相乘，而是“对法平面反射”，也就是v.u=-vuv^-1。

比如
e₀作用在e₁上，考虑e₀的法平面，然后这个平面如何反射e₁，...，得到的结果还是e₁。

用Clifford algebra得到的结果是一样的：
e₀.e₁=-e₀e₁e₀^-1=-e₀e₁e₀=e₀e₀e₁=e₁

这样做发现：
e₀.e₀=-e₀
e₀.e₁=e₁
e₀.e₂=e₂
e₀.e₃=e₃

所以e₀的matrix就是 diag(-1,1,1,1)。

同样，
e₁的matrix是 diag(1,-1,1,1)，
e₂的matrix是 diag(1,1,-1,1)，
e₃的matrix是 diag(1,1,1,-1)，

规律这么简单，是不是做错了？

先接受它。

但是这和Dirac 4个γ matrix不同。

Dirac 4个γ matrix是：

γ⁰= diag(1,1,-1,-1)

γⁱ=[[0,σⁱ],[-σⁱ,0]]

其中σ是Pauli matrix，2X2：

σ¹=[[0,1],[1,0]]
σ²=[[0,-i],[i,0]]
σ³=[[1,0],[0,-1]]

我算了一下signature是(+,+,+,+)和(+,+,-,-)的，得到相同的matrix。难道和signature没关系？还是“对法平面的反射”这个规则是错的？抑或v.u=-vuv^-1是错的？或者只适用于某些signature？