Re: 高维勾股定理
发表于 ： 2022年 12月 3日 15:43
这个例子说明外代数确实挺有用，我现在只能领会到算体积面积，似乎还有别的用处
这个例子说明外代数确实挺有用，我现在只能领会到算体积面积，似乎还有别的用处
谁从哲学高度总结一下为啥二维和高维勾股定理都是用的平方和？
单个向量空间上的外代数，主要是一种代数结构。和tensor algebra，symmetric algebra一起，都是向量空间比较基本的扩展。因为比较基本，所以建立在上面的东西很多。但是直接计算的可能没什么。
这里当然用到了欧式度量。因为我们是在直角坐标系上讨论的。定了直角坐标系，就说明欧式度量已经有了。而且是必需的，因为我们把n个点放在直角坐标系上，还给了坐标。verdelite 写了： 2022年 12月 3日 15:52 谁从哲学高度总结一下为啥二维和高维勾股定理都是用的平方和？
表面上看似乎和欧式度量无关，因为只用到外积，没用到内积。但是我直觉上不能接受这个定理和欧式度量无关。必须有关吧。是不是体积用determinant表示这一步，用到了？
对，应该是Rn的时候直接就是指欧氏空间。TheMatrix 写了： 2022年 12月 3日 17:48 这里当然用到了欧式度量。因为我们是在直角坐标系上讨论的。定了直角坐标系，就说明欧式度量已经有了。而且是必需的，因为我们把n个点放在直角坐标系上，还给了坐标。
这有一个纯代数的推广： det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
嗯。好像听说过这个。A_I好像叫minor。rgg 写了： 2022年 12月 20日 19:15 这有一个纯代数的推广： det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
请解释一下如何涵盖原问题。rgg 写了： 2022年 12月 20日 19:15 这有一个纯代数的推广： det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
如果三个面ABC不互相垂直，面夹角记为AB，BC，CA，则第四个面D的面积满足余弦公式：
很漂亮。Caravel 写了： 2022年 12月 2日 23:18 和我写的那个三维情形非常类似
原点出发的n个向量是
（a0, 0, 0, 0, ...)
(0, a1, 0,0,0, ...)
...
(0, 0, 0,0,0, an)
N个正交超平面的体积应该是1/(N-1) a0a1 ...an, 中间每次需要去掉一个
剩下的就是那个超斜面的N-1维度体积。
向量相减得到的结构是
x1 =（-a0, a1, ....)
x2 =（-a0, 0, a2, ....)
...
x(n-1) =（-a0, 0, 0, ....an)
这个再用那个外微分乘起来 x1 ^ x2 ^ ... ^x(n-1), 每行只有两个非0，看上去应该是一样的，哈哈就这样了
det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
嗯。不错。rgg 写了： 2022年 12月 22日 10:28 det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
在k=n-1的时候， n维空间的n-1个向量作为column组成A，是个n-1维平行体。 方程左边是这个平行体体积平方。右边每一项是这个平行体在每个方向的投影体积平方。
赞！rgg 写了： 2022年 12月 22日 10:28 det(A'A)=sum(det(A_I)^2),if A is a n x k matrix, and sum over all the index set I that is taking any k rows from all n rows.
在k=n-1的时候， n维空间的n-1个向量作为column组成A，是个n-1维平行体。 方程左边是这个平行体体积平方。右边每一项是这个平行体在每个方向的投影体积平方。
用内积解决这个问题。假设四个顶点为0,a,b,c，分别对着D,A,B,C。则FGH 写了： 2022年 12月 21日 10:20 如果三个面ABC不互相垂直，面夹角记为AB，BC，CA，则第四个面D的面积满足余弦公式：
D^2=A^2+B^2+C^2-2 A B cos(AB)-2 B C cos(BC)-2 C A cos(CA)
应该不需要额外的矫正项。比如如果三个面夹角都是180度，则D=A+B+C。
不错，很有insight。最后一句还需要想一下，如果你一开始就elaborate一下就省了大家这一步想了。对二维来说，边长是“特殊面”（斜边）乘以p_i；然后边长在斜边上的投影长度就是斜边长*p_i*p_i。高维类似。lbs 写了： 2022年 12月 24日 10:06 你们这个数学知识储备和几何直观能力真是看的我佬捉鸡。逼俺这种老买买提人专门注册个账号来敲打你们。这东西还用吭哧吭哧的算吗？还 tm 外积/数学归纳法。我佬给你们跪下了。
这个东西很显然啊。高维的那个 canonical simplex ，即：
由 O 点，以及点 x_i = (0, 0, ..., a_i （第 i 个， a_i 为 scalar）, ..., 0) , i = 1, ..., n 组成的 "n + 1" 面体
这个玩意，它有 n 个所谓的 “正规面”，即外法向量是 e_i (第 i 个单位向量）的那些面。还有一个 “特殊面”，即法向量不是单位向量的那个面（看不懂的自已画一下二维和三维的情形认真看）。那个特殊面也有一个外法向量，不妨记为 p (一个向量）。至于这个 p 具体数值和形式是什么，并不重要。你只需要注意到这一点：这 n 个 “正规面” 沿着这个外法向 p 是可以被投影到这个 “特殊面” 上面的，且投影之后他们会恰好覆盖整个 “特殊面”（不明白的自己继续画二维和三维的图）。而第 i 个正规面的投影后的面积，恰好是投影前的面积乘以 p_i （这是因为两个外法向的內积，即 e_i 和 p 的內积就是 p_i）。
我们欲证明的 “勾股定理”，实际上就是想说 \sum_i p_i ^ 2 = 1, which is 显然的。
md, 我发现我其实搞错了。投影应该是这么投的：“特殊面” 向第 i 个 “正规面” 的投影，是 S_{特殊面} * p_i (其中 S 表示 “高维面积”)。所以 S_{特殊面} ^ 2 * p_i ^ 2 = S_{正规面_i } ^ 2，然后再对 i 求和并注意到 p 是单位向量即可。verdelite 写了： 2022年 12月 24日 11:08 不错，很有insight。最后一句还需要想一下，如果你一开始就elaborate一下就省了大家这一步想了。对二维来说，边长是“特殊面”（斜边）乘以p_i；然后边长在斜边上的投影长度就是斜边长*p_i*p_i。高维类似。
你有这样的insight很好，那你看看我们讨论的其他问题，有没有什么高见？
嗯，这的确是最好的直观。lbs 写了： 2022年 12月 24日 10:06 你们这个数学知识储备和几何直观能力真是看的我佬捉鸡。逼俺这种老买买提人专门注册个账号来敲打你们。这东西还用吭哧吭哧的算吗？还 tm 外积/数学归纳法。我佬给你们跪下了。
这个东西很显然啊。高维的那个 canonical simplex ，即：
由 O 点，以及点 x_i = (0, 0, ..., a_i （第 i 个， a_i 为 scalar）, ..., 0) , i = 1, ..., n 组成的 "n + 1" 面体
这个玩意，它有 n 个所谓的 “正规面”，即外法向量是 e_i (第 i 个单位向量）的那些面。还有一个 “特殊面”，即法向量不是单位向量的那个面（看不懂的自已画一下二维和三维的情形认真看）。那个特殊面也有一个外法向量，不妨记为 p (一个向量）。至于这个 p 具体数值和形式是什么，并不重要。你只需要注意到这一点：这 n 个 “正规面” 沿着这个外法向 p 是可以被投影到这个 “特殊面” 上面的，且投影之后他们会恰好覆盖整个 “特殊面”（不明白的自己继续画二维和三维的图）。而第 i 个正规面的投影后的面积，恰好是投影前的面积乘以 p_i （这是因为两个外法向的內积，即 e_i 和 p 的內积就是 p_i）。
我们欲证明的 “勾股定理”，实际上就是想说 \sum_i p_i ^ 2 = 1, which is 显然的。
你说的 “其他问题” 是指啥？如果是指上面的 “哲学问题”：“为啥高维也是平方和？” 的话，那我觉得我的解答（更正版之后的）应该足够给出这个哲学直观：本质上就是说这个 canonical simplex 的特殊面（二维就是斜边）在不同坐标平面上的投影构成了剩余的 n 个正规面（二维就是两个直角边），而投影是只依赖于这个特殊面的 outer normal 的（即我的记号里的 p），在这个意义下，\|p\|_2 = 1 (which is by definition) 就蕴含了高维勾股定理。说得更玄学一点的话：“都是平方和” 是因为欧式空间的朴素內积定义就是点乘，所以 self inner product 决定的度量就只能是平方和，而不是某个和 dimension n 相关的东西。n 这个 dimension 指标体现在对坐标 i 求和的地方，而不是这个 power-2 的幂次上。verdelite 写了： 2022年 12月 24日 11:08 不错，很有insight。最后一句还需要想一下，如果你一开始就elaborate一下就省了大家这一步想了。对二维来说，边长是“特殊面”（斜边）乘以p_i；然后边长在斜边上的投影长度就是斜边长*p_i*p_i。高维类似。
你有这样的insight很好，那你看看我们讨论的其他问题，有没有什么高见？