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#42 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 6日 20:10
TheMatrix
FoxMe 写了: 2024年 5月 6日 10:35 反射:x -> -nxn
旋转:x - > RxR^(-1),R是两个vector a, b 的geometry product ab

这里有点怪:x - > axa^(-1)不也是旋转吗(这里对a有限制,要保证axa^(-1)还在向量空间内)?为啥要两个向量a,b?对a,b有限制吗?
应该是这样的:考虑的是线性(有内积)空间V的旋转,也就是考虑一般的x∈V。如果a∈V,b∈V,那么
x - > axa^(-1)
x - > bxb^(-1)
都是反射,不是旋转。但是,
x - > (ab)x(ab)^(-1)
是旋转。

#43 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 6日 21:54
TheMatrix
Caravel 写了: 2024年 5月 5日 22:46 不是用一对矢量cover整个SO(n). 刚好有n(n-1)/2独立的矢量对, 就是n(n-1)/2独立的角度。

另外CA是用bivector表示旋转,这在高维有很大的优势,3d的情形也可以用旋转轴矢量表示,但是4d的时候,旋转轴就不唯一了,bivector更体现了旋转的本质。
嗯。对。看矢量对也就是bivector所在空间的维度,而且是在CA空间看。在4d的时候bivector的基为
{e1e2,e1e3,e1e4,e2e3,e2e4,e3e4},也就是4选2,维度等于6。

我前面两个矢量的维度我计算的不对。维度应该是相乘,不是相加。然后还要考虑关联,这就复杂了。

#44 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 6日 22:02
Caravel
TheMatrix 写了: 2024年 5月 6日 21:54 嗯。对。看矢量对也就是bivector所在空间的维度,而且是在CA空间看。在4d的时候bivector的基为
{e1e2,e1e3,e1e4,e2e3,e2e4,e3e4},也就是4选2,维度等于6。

我前面两个矢量的维度我计算的不对。维度应该是相乘,不是相加。然后还要考虑关联,这就复杂了。
我这几天每天重读一遍wiki,看看能懂多少

#45 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 6日 22:18
TheMatrix
Caravel 写了: 2024年 5月 6日 22:02 我这几天每天重读一遍wiki,看看能懂多少
wiki上CA的切入点没有你这个好。我感觉wiki我都看懂了,但是又感觉没懂。

#46 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 00:36
Caravel
TheMatrix 写了: 2024年 5月 6日 22:18 wiki上CA的切入点没有你这个好。我感觉wiki我都看懂了,但是又感觉没懂。
能看懂已经厉害了,我只能看懂一部分,很多数学家的话看不惯

#47 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 01:45
Caravel
TheMatrix 写了: 2024年 5月 6日 22:18 wiki上CA的切入点没有你这个好。我感觉wiki我都看懂了,但是又感觉没懂。
我现在对spinor与ca的关系感兴趣,还没有厘清头绪

#48 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 15:38
FoxMe
感觉这是CA的主要卖点
Caravel 写了: 2024年 5月 7日 01:45 我现在对spinor与ca的关系感兴趣,还没有厘清头绪

#49 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 17:50
TheMatrix
Caravel 写了: 2024年 5月 5日 22:46 不是用一对矢量cover整个SO(n). 刚好有n(n-1)/2独立的矢量对, 就是n(n-1)/2独立的角度。

另外CA是用bivector表示旋转,这在高维有很大的优势,3d的情形也可以用旋转轴矢量表示,但是4d的时候,旋转轴就不唯一了,bivector更体现了旋转的本质。
我再展开一下:

对于任意单位矢量n,x -> nxn-1是V空间的反射,反射平面为以n为法向量的超平面。反射是一个保长度的线性变换,但是不保符号,也可以叫orientation,或parity,也可以说是座标架的顺序。那么两个反射就负负得正,既保长度又保符号,所以就是一个旋转,也就是SO(n)中的一个元素。SO(n)理解为座标架的转动比较容易,等同于空间的旋转。

所以两个反射等于一个旋转。四个反射也等于一个旋转。

SO(n)的维度是n(n-1)/2,也就是n取2。这个是其他方法证明的。但是它正好等于Clifford Algebra中2阶空间的维度,也就是比如这个空间{e1e2,e1e3,e1e4,e2e3,e2e4,e3e4}。这好像是个巧合。因为还没考虑4阶空间呢,也就是{e1e2e3e4 ,...}这样的空间。

#50 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 18:42
Caravel
TheMatrix 写了: 2024年 5月 7日 17:50 我再展开一下:

对于任意单位矢量n,x -> nxn-1是V空间的反射,反射平面为以n为法向量的超平面。反射是一个保长度的线性变换,但是不保符号,也可以叫orientation,或parity,也可以说是座标架的顺序。那么两个反射就负负得正,既保长度又保符号,所以就是一个旋转,也就是SO(n)中的一个元素。SO(n)理解为座标架的转动比较容易,等同于空间的旋转。

所以两个反射等于一个旋转。四个反射也等于一个旋转。

SO(n)的维度是n(n-1)/2,也就是n取2。这个是其他方法证明的。但是它正好等于Clifford Algebra中2阶空间的维度,也就是比如这个空间{e1e2,e1e3,e1e4,e2e3,e2e4,e3e4}。这好像是个巧合。因为还没考虑4阶空间呢,也就是{e1e2e3e4 ,...}这样的空间。
不是巧合,都是C(n,2), SO(n)是正交矩阵,只有一半的free element。

#51 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 20:35
TheMatrix
Caravel 写了: 2024年 5月 7日 18:42 不是巧合,都是C(n,2), SO(n)是正交矩阵,只有一半的free element。
嗯。SO(n)是一个李群,不是一个线性空间。所以CA二阶元素空间应该是SO(n)的李代数。它正好有n(n-1)/2维,也就是SO(n)的维度。而CA高阶(偶)元素,比如e1e2e3e4这样的元素,不是独立的,它存在于CA二阶空间的李代数中。而二阶空间的李代数可以做exponential map,得到SO(n),这和你前面用的exp对上了。

#52 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 7日 21:05
Caravel
TheMatrix 写了: 2024年 5月 7日 20:35 嗯。SO(n)是一个李群,不是一个线性空间。所以CA二阶元素空间应该是SO(n)的李代数。它正好有n(n-1)/2维,也就是SO(n)的维度。而CA高阶(偶)元素,比如e1e2e3e4这样的元素,不是独立的,它存在于CA二阶空间的李代数中。而二阶空间的李代数可以做exponential map,得到SO(n),这和你前面用的exp对上了。
对,应该说SO(n)的一个representation是正交矩阵,其实归结到物理本质就是3d旋转可以用三个角度来表征

#53 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 10日 16:57
FoxMe
有点道理
TheMatrix 写了: 2024年 5月 6日 20:10 应该是这样的:考虑的是线性(有内积)空间V的旋转,也就是考虑一般的x∈V。如果a∈V,b∈V,那么
x - > axa^(-1)
x - > bxb^(-1)
都是反射,不是旋转。但是,
x - > (ab)x(ab)^(-1)
是旋转。

#54 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 10日 17:00
FoxMe
什么时候用bivector, 什么时候用multivector?
Caravel 写了: 2024年 5月 5日 11:52 属实,spin(n) 只包括rotation,加上reflections的group叫 pin(n). Rotation在Clifford的里面也非常简洁,

基本型是
x - > RxR^(-1)

R是两个vector a, b 的geometry product ab, 也叫Versor. a,b的平面是旋转平面,比较奇怪的是a,b的夹角不是 theta 而是 theta/2.

x可以推广到clifford 代数里面一般的multi-vector。

这个旋转的idea可能是从四元数借鉴来的,但是clifford把很多不同的数学概念统一在一个框架里面。

#55 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 10日 22:05
Caravel
FoxMe 写了: 2024年 5月 10日 17:00 什么时候用bivector, 什么时候用multivector?
bivector 是a ^ b的外积, rotor就是表示rotation的R,是ab的geometry product,如果两个向量不正交,得到不是bivector, 比如 e1 (e1+e2) = 1 + e1e2, 这属于一般的multi-vector,

“In geometric algebra, a multivector is defined to be the sum of different-grade k-blades, such as the summation of a scalar, a vector, and a 2-vector.”

#56 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 13日 16:28
hci
bivector是一种单位,比如寸。

multivector是具体的量,比如3尺5寸。

这就是为啥叫几何代数,把空间当成了数来处理了,变得可以算了。

为啥要这么大,因为空间就是这么大。
FoxMe 写了: 2024年 5月 10日 17:00 什么时候用bivector, 什么时候用multivector?

#57 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 24日 17:34
FoxMe
我看一般反射都写作
x -> - axa^(-1),有负号,不是axa^(-1)。
这里区别是啥?
TheMatrix 写了: 2024年 5月 6日 20:10 应该是这样的:考虑的是线性(有内积)空间V的旋转,也就是考虑一般的x∈V。如果a∈V,b∈V,那么
x - > axa^(-1)
x - > bxb^(-1)
都是反射,不是旋转。但是,
x - > (ab)x(ab)^(-1)
是旋转。

#58 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 24日 17:35
TheMatrix
FoxMe 写了: 2024年 5月 24日 17:34 我看一般反射都写作
x -> - axa^(-1),有负号,不是axa^(-1)。
这里区别是啥?
我写错了。要有负号。我验证过。

#59 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 24日 17:47
FoxMe
没有负号是旋转,有负号是反射。难以理解。

旋转对应的矩阵det = 1, 反射对应的矩阵det = - 1. 这个负号把det从1变为-1,怎么解释?我感觉负号对应的矩阵det = (-1)^n,和维数n有关,可能是1,也可能是-1.
TheMatrix 写了: 2024年 5月 24日 17:35 我写错了。要有负号。我验证过。

#60 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 24日 17:51
TheMatrix
FoxMe 写了: 2024年 5月 24日 17:47 没有负号是旋转,有负号是反射。难以理解。

旋转对应的矩阵det = 1, 反射对应的矩阵det = - 1. 这个负号把det从1变为-1,怎么解释?我感觉负号对应的矩阵det = (-1)^n,和维数n有关,可能是1,也可能是-1.
是这样:
如果x∈V,a∈V,那么
x -> -axa-1
是反射。

如果b∈V,那么
x -> (-)(-)baxa-1b-1
就成了旋转。

#61 Re: 从计算角度看clifford algebra

发表于 : 2024年 5月 24日 19:52
Caravel
FoxMe 写了: 2024年 5月 24日 17:47 没有负号是旋转,有负号是反射。难以理解。

旋转对应的矩阵det = 1, 反射对应的矩阵det = - 1. 这个负号把det从1变为-1,怎么解释?我感觉负号对应的矩阵det = (-1)^n,和维数n有关,可能是1,也可能是-1.
不是一个东西,一个vector,一个是两个vector的几何积