Galois group representation

[forecasting]

这个cusp form的定义非常麻烦。一般定义为傅立叶级数的首项为0的modular form，和无穷远点等于0应该是等同的。

但是为啥叫cusp（尖尖）？

看图，很形象：https://en.wikipedia.org/wiki/Cusp_(singularity)

[TheMatrix]

应该是z ---> e2π i z 这个函数的问题

对。是这个函数的问题。

z ---> e^{2π i z}在无穷远点是essential singularity，z以不同的方式趋近于∞时，e^{2π i z}可以取任意值。所以这个函数在无穷远点不连续。所以无穷远点虽然在黎曼球中与实数轴联通，但是被这个函数映射之后可以变成不联通。

我的目的是想说明，经过domain transformation，modular form在0点解析，反过来可以看成modular form在无穷远点解析，或在所有cusp点解析。另外也得出了Fourier变换的形式。

我先写一下看看卡在哪。

[TheMatrix]

modular form和cusp form还可以做domain transformation来看。

z ---> e^{2π i z} 这个函数把 H 变为单位圆内，又叫unit disk，D。如果z为实数的话，e^{2π i z}在单位圆上。但是H不包括实数轴，所以H会变到单位圆内，不包括圆周。而且这不是一一映射，e^{2π i z}是周期函数，所以这个变换是很多层的cover。从实数轴的变换看，它是一圈一圈的在单位圆周上绕。

所以实数轴上的cusp，在这个变换下，会变成单位圆周上的点。

而无穷远点∞，在这个变换下，应该是变成圆心。因为如果z=x+iy，取x=0，y --> ∞ 的话，e^{2π i z}越来越小，趋近于0。

但是从黎曼球或者CP¹来看，无穷远点和实数轴应该是联通的，但是这里分别变换成圆心和圆周，是不联通的。这是为什么呢？

q: z ---> e^{2π i z}这个叫q变换。它把H变成open unit disk D，但是不包括0，因为本来应该是无穷远点变为0，但是e^{2π i z}这个函数在无穷远点是essential singularity，这个地方有点问题，所以先不包括0。不包括0的unit disk叫punctured unit disk，所以这个q变换把H变成了punctured open unit disk，叫D₀吧。

这个q变换是个周期函数，一圈一圈的绕嘛。另一方面，一个modular form f: z --> C也是周期函数，和q变换的周期一样，都是1。所以f通过q变换可以定义一个D₀上的函数：g: D₀ --> C，也是解析函数。它的定义是：g(q)=f(z) if q = e^{2π i z}。

目前是没问题的。

然后我要说，g函数在0点也解析。所以就有解析函数的展开，也就是泰勒展开：
g(q)=a₀+a₁q+a₂q²+...

同时也有了f(z)的傅里叶展开：
f(z)=g(q)=a₀+a₁e^{2π i z}+a₂e^{2π i 2z}+...

[TheMatrix]

q: z ---> e^{2π i z}这个叫q变换。它把H变成open unit disk D，但是不包括0，因为本来应该是无穷远点变为0，但是e^{2π i z}这个函数在无穷远点是essential singularity，这个地方有点问题，所以先不包括0。不包括0的unit disk叫punctured unit disk，所以这个q变换把H变成了punctured open unit disk，叫D₀吧。

这个q变换是个周期函数，一圈一圈的绕嘛。另一方面，一个modular form f: z --> C也是周期函数，和q变换的周期一样，都是1。所以f通过q变换可以定义一个D₀上的函数：g: D₀ --> C，也是解析函数。它的定义是：g(q)=f(z) if q = e^{2π i z}。

目前是没问题的。

然后我要说，g函数在0点也解析。所以就有解析函数的展开，也就是泰勒展开：
g(q)=a₀+a₁q+a₂q²+...

同时也有了f(z)的傅里叶展开：
f(z)=g(q)=a₀+a₁e^{2π i z}+a₂e^{2π i 2z}+...

或者可以反过来说，从modular form f这边看，它是一个周期函数，因此有傅里叶展开：
f(z)=a₀+a₁e^{2π i z}+a₂e^{2π i 2z}+...

而做q变换之后，q: z ---> e^{2π i z}，有：
g(q)=a₀+a₁q+a₂q²+...

也就是说g(q)在punctured unit disk上解析，除了0点不知道，0点的邻域都解析。

这个地方要用到modular form的growth condition，做q变换之后它意味着g(q)在零点附近是bounded。因此g(q)在零点不能是essential singularity，也不能是pole，只能是解析。

不满足growth condition但是modular的函数确实存在，ChatGPT给了pole和essential singularity的例子：

modular form with pole at ∞：



modular form with essential singularity at ∞：

[TheMatrix]

或者可以反过来说，从modular form f这边看，它是一个周期函数，因此有傅里叶展开：
f(z)=a₀+a₁e^{2π i z}+a₂e^{2π i 2z}+...

而做q变换之后，q: z ---> e^{2π i z}，有：
g(q)=a₀+a₁q+a₂q²+...

也就是说g(q)在punctured unit disk上解析，除了0点不知道，0点的邻域都解析。

这个地方要用到modular form的growth condition，做q变换之后它意味着g(q)在零点附近是bounded。因此g(q)在零点不能是essential singularity，也不能是pole，只能是解析。

所以这个q-变换挺好。q-变换把modular form变成了圆内的解析函数，解析性包括0点。但是还不能完全地说q-变换把无穷远点变成0点。0点的解析性是通过growth condition补全的。

实数轴上的cusp，也就是有理数点，q-变换之后变成了圆周上的有理数点。无穷远点这个cusp，还是不能说它变到了0点。这个地方还是有一点点问题。almost。我看到很多地方说 i∞，可以理解为无穷远点的“一部分”，或者某种方式的无穷远点。不完全严格。

[TheMatrix]

所以这个q-变换挺好。q-变换把modular form变成了圆内的解析函数，解析性包括0点。但是还不能完全地说q-变换把无穷远点变成0点。0点的解析性是通过growth condition补全的。

实数轴上的cusp，也就是有理数点，q-变换之后变成了圆周上的有理数点。无穷远点这个cusp，还是不能说它变到了0点。这个地方还是有一点点问题。almost。我看到很多地方说 i∞，可以理解为无穷远点的“一部分”，或者某种方式的无穷远点。不完全严格。

如果考虑H在SL(2,Z)作用下的fundamental domain的话，只有竖长条那个fundamental domain包含无穷远点。而这个fundamental domain中的无穷远点在q-变换下只能变到0点，因为这个domain限制了趋近于无穷远点的方式。

这个也挺有意思：fundamental domain“分割”了无穷远点，无穷远点一点也没少，但是q-变换下每个fundamental domain中的无穷远点都只能变换到0。其他的值没有了。

[TheMatrix]

看了几个版本的Hecke operator的定义：

Wolfram的：



Wikipedia的：



ChatGPT的：



我觉得还是Wolfram的最好理解。这里是p为素数的情况。

Wiki的没有给p为素数的简化形式，公式看起来比较繁琐。

ChatGPT的把函数和它的傅里叶展开混在一起用，好像理解起来需要转换思维。

[TheMatrix]

看了几个版本的Hecke operator的定义：

Wolfram的：



Wikipedia的：



ChatGPT的：



我觉得还是Wolfram的最好理解。这里是p为素数的情况。

Wiki的没有给p为素数的简化形式，公式看起来比较繁琐。

ChatGPT的把函数和它的傅里叶展开混在一起用，好像理解起来需要转换思维。

基本特征是变量的缩放，τ --> pτ，和 τ --> τ/p。

因为modular form是周期函数，周期为1，变量的缩放导致周期的缩放。

f(pτ)的周期是1/p，对应着傅里叶展开项中 e^{2π i n/p τ} 以及系数 a_n/p。

f(τ/p)的周期是p，对应着傅里叶展开项中 e^{2π i p_*n τ} 以及系数 a_p*n。

[TheMatrix]

基本特征是变量的缩放，τ --> pτ，和 τ --> τ/p。

因为modular form是周期函数，周期为1，变量的缩放导致周期的缩放。

f(pτ)的周期是1/p，对应着傅里叶展开项中 e^{2π i n/p τ} 以及系数 a_n/p。

f(τ/p)的周期是p，对应着傅里叶展开项中 e^{2π i p_*n τ} 以及系数 a_p*n。

第一项对应：
a₀+a₁q^p+a₂q^2p+a₃q^3p+...

第二项对应：
a₀+a_pq+a_2pq²+a_3pq³+...

其他的a_n项被互相cancel掉了。

所以可以写成
Σ_n p^k-1a_nq^np+a_npqⁿ

[TheMatrix]

第一项对应：
a₀+a₁q^p+a₂q^2p+a₃q^3p+...

第二项对应：
a₀+a_pq+a_2pq²+a_3pq³+...

其他的a_n项被互相cancel掉了。

所以可以写成
Σ_n p^k-1a_nq^np+a_npqⁿ

变量的缩放对应傅里叶系数的拉伸。所以这是一个对傅里叶系数的操作。

但是关键是这样变换之后仍然是weight-k modular form。这样它才成为一个operator。

第一项和第二项本身，都不再是SL(2,Z)的modular form，需要相加才回到SL(2,Z)的modular form。

第一项本身是Γ₀(p)的modular form，这是SL(2,Z)的一个子群。

第二项本身是Γ(p)的modular form，这是SL(2,Z)的一个更小的子群。

但是两项相加，又回到了SL(2,Z)的modular form。

[TheMatrix]

变量的缩放对应傅里叶系数的拉伸。所以这是一个对傅里叶系数的操作。

但是关键是这样变换之后仍然是weight-k modular form。这样它才成为一个operator。

第一项和第二项本身，都不再是SL(2,Z)的modular form，需要相加才回到SL(2,Z)的modular form。

第一项本身是Γ₀(p)的modular form，这是SL(2,Z)的一个子群。

第二项本身是Γ(p)的modular form，这是SL(2,Z)的一个更小的子群。

但是两项相加，又回到了SL(2,Z)的modular form。

也就是如何调整傅里叶系数，使结果仍然是modular form。

傅里叶系数就是一个数列，列出来，调整一下间距，挺直观的。但是不能乱动。动完了还得是modular form才行。

[TheMatrix]

也就是如何调整傅里叶系数，使结果仍然是modular form。

傅里叶系数就是一个数列，列出来，调整一下间距，挺直观的。但是不能乱动。动完了还得是modular form才行。

或者说modular form的傅里叶系数应该有什么规律？

这类问题是傅里叶变换的永恒pattern。永远有。因为永远也解决不完。

[TheMatrix]

也就是如何调整傅里叶系数，使结果仍然是modular form。

傅里叶系数就是一个数列，列出来，调整一下间距，挺直观的。但是不能乱动。动完了还得是modular form才行。

比如一个modular form f的傅里叶系数是 (a₀,a₁,a₂,a₃,...)，
取 p=7，

第一步，dilation，拉伸7倍：
(a₀,0,0,0,0,0,0,a₁,0,0,0,0,0,0,a₂,0,0,0,0,0,0,a₃,...)

第二步，shrink，每隔7个取一个：
(a₀,a₇,a₁₄,a₂₁,....)

这样得到两个数列。

第三步，数列1乘以7^k-1 + 数列2，得到一个新数列。这个数列还是一个modular form（的傅里叶系数）！

[TheMatrix]

比如一个modular form f的傅里叶系数是 (a₀,a₁,a₂,a₃,...)，
取 p=7，

第一步，dilation，拉伸7倍：
(a₀,0,0,0,0,0,0,a₁,0,0,0,0,0,0,a₂,0,0,0,0,0,0,a₃,...)

第二步，shrink，每隔7个取一个：
(a₀,a₇,a₁₄,a₂₁,....)

这样得到两个数列。

第三步，数列1乘以7^k-1 + 数列2，得到一个新数列。这个数列还是一个modular form（的傅里叶系数）！

就是玩数列。

但不是乱来的。

[TheMatrix]

Henri Cohen的书好像是一本经典教材。下面是他的一个简写本：

https://arxiv.org/pdf/1809.10907

[TheMatrix]

Henri Cohen的书好像是一本经典教材。下面是他的一个简写本：

https://arxiv.org/pdf/1809.10907

SL(2,Z)是由两个元素生成的，T 和 S，T是translation by 1：z --> z+1，S是negative reciprocal：z --> -1/z。

T=[1 1; 0 1], S=[0 -1; 1 0]。

证明一个函数具有modular性质，叫modularity，只需证明它在T和S下具有modularity就行了。这个我还没看出来为什么这样就够了。

在T下具有modularity就是：f(Tz)=f(z)，或者f(z+1)=f(z)，也就是周期性。

在S下具有modularity就是：f(Sz)=f(-1/z)=z^kf(z)。

这就是证明了f具有modularity。

[TheMatrix]

SL(2,Z)是由两个元素生成的，T 和 S，T是translation by 1：z --> z+1，S是negative reciprocal：z --> -1/z。

T=[1 1; 0 1], S=[0 -1; 1 0]。

证明一个函数具有modular性质，叫modularity，只需证明它在T和S下具有modularity就行了。这个我还没看出来为什么这样就够了。

在T下具有modularity就是：f(Tz)=f(z)，或者f(z+1)=f(z)，也就是周期性。

在S下具有modularity就是：f(Sz)=f(-1/z)=z^kf(z)。

这就是证明了f具有modularity。

这个可以用类似数学归纳法来证明。

任何一个SL(2,Z)都可以写成T和S的组合，包括它们的逆。SS=1，所以S的逆就是S。T的逆就是 z --> z-1。

所以只需证明对于任意 A = [a b; c d] ∈ SL(2,Z)，如果 f 在A的作用下有modularity，也就是 f(Az)=(cz+d)^k f(z)，那么 f在TA,T^-1A,SA,作用下仍然有modularity，就行了。把T和S矩阵代入验证就可以了。

[TheMatrix]

这个可以用类似数学归纳法来证明。

任何一个SL(2,Z)都可以写成T和S的组合，包括它们的逆。SS=1，所以S的逆就是S。T的逆就是 z --> z-1。

所以只需证明对于任意 A = [a b; c d] ∈ SL(2,Z)，如果 f 在A的作用下有modularity，也就是 f(Az)=(cz+d)^k f(z)，那么 f在TA,T^-1A,SA,作用下仍然有modularity，就行了。把T和S矩阵代入验证就可以了。

接下来是证明一个modular form f，在Hecke operator作用下仍有modularity。

对于p为素数，Hecke operator定义为：
(T_pf)(z) = p^k-1f(pz) + 1/p ( f(z/p) + f((z+1)/p + ... + f((z+p-1)/p) )

这个要借助于T和S。有了这两个也不容易。说明这个操作的拼凑是很精妙的。

也就是要证明
(T_pf)(Tz) = (T_pf)(z)
和
(T_pf)(Sz) = z^k (T_pf)(z)

第一个利用到 {f(z/p), f((z+1)/p, ..., f((z+p-1)/p)} 在T的作用下的循环对称性。

第二个利用到 {f(z/p), f((z+1)/p, ..., f((z+p-1)/p)} 在S作用下的乘法群的对称性。

所以这些项的拼凑，以及系数的拼凑，都是相当精妙的。这也代表了在傅里叶系数上的操作与拼凑。

据说源于Ramanujan的 Δ-form。

我感觉有点类似于Dirichlet character的发现。

[TheMatrix]

接下来是证明一个modular form f，在Hecke operator作用下仍有modularity。

对于p为素数，Hecke operator定义为：
(T_pf)(z) = p^k-1f(pz) + 1/p ( f(z/p) + f((z+1)/p + ... + f((z+p-1)/p) )

这个要借助于T和S。有了这两个也不容易。说明这个操作的拼凑是很精妙的。

也就是要证明
(T_pf)(Tz) = (T_pf)(z)
和
(T_pf)(Sz) = z^k (T_pf)(z)

第一个利用到 {f(z/p), f((z+1)/p, ..., f((z+p-1)/p)} 在T的作用下的循环对称性。

第二个利用到 {f(z/p), f((z+1)/p, ..., f((z+p-1)/p)} 在S作用下的乘法群的对称性。

所以这些项的拼凑，以及系数的拼凑，都是相当精妙的。这也代表了在傅里叶系数上的操作与拼凑。

据说源于Ramanujan的 Δ-form。

我感觉有点类似于Dirichlet character的发现。

最后这段，他说很简单。其实不简单。我觉得里面还是很精妙的。

[TheMatrix]

可以这样看：

假设有一个modular form f，我们要对它做一些操作，这个操作必须是容易在傅里叶系数上实现的。

start with f(pz)。这个傅里叶系数上很容易操作的。

但是它不modular。它不modular with respect to the full modular group SL(2,Z)。它modular with respect to a subgroup of the modular group。那也不行，我们要求它必须modular with respect to the full modular group SL(2,Z)。

也就是看它到底哪里不modular。

用T和S来作用它。

T作用它，等于 f(pTz)=f(p(z+1))=f(pz+p)=f(pz)。所以在T下modular。虽然它的周期拉长了。

S作用它，等于 f(pSz)=f(-p/z)=f(S.(z/p))=(z/p)^kf(z/p)。

出来了一个新的东西 f(z/p)。把它包含进去，希望能闭环。

有它就要有 f(Tz/p)，也就是f((z+1)/p)。这又是一个新的东西。

再做T，f(TTz/p)，就是 f((z+2)/p)。。。一直做到 f((z+p-1)/p)，再做就循环了。

所以这就是全部。。。对T是全部。

然后还要对S闭环。。。这里正好是已经对S闭环了。也许可以对S不闭环，那就需要对S进行扩展。

也就是对S和T交替扩展直至闭环。

然后还要拼凑系数。

这样就得到一个新的modular form。。。的产生方式。