Galois cohomology

[FoxMe]

Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

没看懂。Serge Lang的书很难懂，基本没看过。

[三农]

Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

没看懂。Serge Lang的书很难懂，基本没看过。

这本应该是我试着读的最多的一本 Lang 的书，也读的不多。好像他写书从不考虑读者，原因也不细说，所以不到懂的差不多的时候是没法读的。

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

找了一圈，包括：chatgpt, gemini, deepseek, wiki，Silverman。还没有完全搞懂。有点乱，需要理一理。

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

我感觉切入的方式可能有点不对。Selmer group是为计算用的，目标是E(Q)的rank，步骤本应该是简单的。但是为了每一步都在数学上可靠，为了严谨，才搞出Galois cohomology这么一大套。其实计算步骤本身是不需要Galois cohomology的。又因为这套理论比较难，所以网上汗牛充栋的都是讲解这套理论的。你问chatgpt, gemini，它也是从这套理论开始讲，因为它训练的材料就是从网上来的。

实际上应该从计算切入。计算就那么几步，其路径就代表了第一个人的brilliant idea。而且为一个已经计算成功的步骤找成立的理由，就没那么难了，至少没那么别扭了。

不过我既然已经从Galois cohomology切入，我就继续磕它了。磕完之后我估计我也累了，计算反而没力气了。

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

Selmer group定义中的
H¹(K,E[n]) --> direct sum H¹(K_v, E[n])

就是拆开看每一个
H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n])

理解为
H¹(G_K, E[n]) --> H¹(G_K_v, E[n])

G_K = Cal(K^*/K)
G_K_v = Cal(K_v^*/K_v)

G_K_v是G_K的subgroup。所以上面cohomology之间的映射就是：群的cohomology可以映射入子群的cohomology中。这是因为cohomology是contravariant的。最开始的projective resolution是子群映射入群的，但是apply Hom(-,M)之后就反过来了。

K_v相当于K_p，p-adic number，K ⊆ K_p，这个有点反直觉。K_p实际上和Z/pZ有关，Z/pZ是有限域，但是搞出来的K_p不仅无限，而且比K还大，不仅大，而且是uncountable的，大多了。

虽然大，但它还不是algebraically closed，它只是topologically complete。所以和K一样，K_p也可以take algebraic closure，K-->K^* ，K_p --> K_p^* 。take closure之后就更大了。G_K_v是G_K的subgroup，是因为Galois群是fix base field的，base field越大，能fix它的群越小。

这就是Selmer group定义中的这个cohomology之间的map。

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

然后就到了
E(K)/nE(K) --> Sel(E/K)

这个是从
E(K)/nE(K) --> H¹(K, E[n])
来的，

而它又是从

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

来的。

这里没有写K，要理解为over K^* ，也就是考虑的是algebraically closed field。[n]是乘以n的map。E是elliptic curve，它是一个abelian group，乘以n的操作是well defined。而且乘以n是E到E之间的满射。这个非常重要。如果写上over K的话

E(K) ------[n]-------->E(K)

就不再是满射了。只有over K^* ，它才是满射。这用到了K^* 是algebraically closed的性质。相当于一个群元素不管多小，它还能继续除，变得更小。这个叫infinitely divisible。

前面那个 E[n] 就是这个[n] map的kernel，也就是n-torsion points，注意，也是over K^* 的。这是一个有限群，个数为n² 。

所以这是一个short exact sequence。而且是G-module sequence，因为每一个E[n]和E都有Galois group action，是G-module。

所以就可以对整个short exact sequence 做 cohomology。这和对单个G-module做cohomology不完全一样，因为要考虑之间的三个sequence之间的连接。这里有一个著名的lemma叫snake lemma。这个我复习了一下。结果就是long exact sequence

0 --> H⁰(E[n]) --> H⁰(E) --> H⁰(E) -----δ------>
----> H¹(E[n]) --> H¹(E) --> H¹(E) -----δ------>
----> H²(E[n]) --> H²(E) --> H²(E) -----δ------>

H⁰(E[n])是E[n]中fixed by G=Gal(K^*/K)，也就是E[n]在K中的部分。注意E[n]本身是over K^* 的。它在K中的部分就是 E[n] (K)。

H⁰(E)是E在K中的部分，也就是E(K)。

H¹(E[n])就是H¹(K,E[n])，也就是Selmer group定义中的第一项。

然后下一项，H¹(E)，也就是H¹(K,E)，据说根据Hilbert theorem 90，等于0.

所以long exact sequence又变成shorter exact sequence：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) ----δ----> H¹(K,E[n]) --> 0

看δ map，modulo kernel之后它就变成一个injection。叫\bar{δ}。而δ的kernel等于前一个map ([n])的image，也就是nE(K)。所以有injection：

0 --> E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

[TheMatrix]

然后下一项，H¹(E)，也就是H¹(K,E)，据说根据Hilbert theorem 90，等于0.

所以long exact sequence又变成shorter exact sequence：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) ----δ----> H¹(K,E[n]) --> 0

看δ map，modulo kernel之后它就变成一个injection。叫\bar{δ}。而δ的kernel等于前一个map ([n])的image，也就是nE(K)。所以有injection：

0 --> E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

Hilbert 90这个地方好像有点问题。我没有仔细看什么是Hilbert 90。但是好像有的地方并不说 H¹(E)= H¹(K,E)=0. 因为如果它是0的话，最后的

E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

就变成了isomorphism。而Selmer group是H¹(K,E[n])的subgroup，就不能
0 ---> E(K)/nE(K) --> Selmer(E/K)了。

[FoxMe]

哦，snake lemma就是从群的关系退出cohomology的关系

然后就到了
E(K)/nE(K) --> Sel(E/K)

这个是从
E(K)/nE(K) --> H¹(K, E[n])
来的，

而它又是从

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

来的。

这里没有写K，要理解为over K^* ，也就是考虑的是algebraically closed field。[n]是乘以n的map。E是elliptic curve，它是一个abelian group，乘以n的操作是well defined。而且乘以n是E到E之间的满射。这个非常重要。如果写上over K的话

E(K) ------[n]-------->E(K)

就不再是满射了。只有over K^* ，它才是满射。这用到了K^* 是algebraically closed的性质。相当于一个群元素不管多小，它还能继续除，变得更小。这个叫infinitely divisible。

前面那个 E[n] 就是这个[n] map的kernel，也就是n-torsion points，注意，也是over K^* 的。这是一个有限群，个数为n² 。

所以这是一个short exact sequence。而且是G-module sequence，因为每一个E[n]和E都有Galois group action，是G-module。

所以就可以对整个short exact sequence 做 cohomology。这和对单个G-module做cohomology不完全一样，因为要考虑之间的三个sequence之间的连接。这里有一个著名的lemma叫snake lemma。这个我复习了一下。结果就是long exact sequence

0 --> H⁰(E[n]) --> H⁰(E) --> H⁰(E) -----δ------>
----> H¹(E[n]) --> H¹(E) --> H¹(E) -----δ------>
----> H²(E[n]) --> H²(E) --> H²(E) -----δ------>

H⁰(E[n])是E[n]中fixed by G=Gal(K^*/K)，也就是E[n]在K中的部分。注意E[n]本身是over K^* 的。它在K中的部分就是 E[n] (K)。

H⁰(E)是E在K中的部分，也就是E(K)。

H¹(E[n])就是H¹(K,E[n])，也就是Selmer group定义中的第一项。

然后下一项，H¹(E)，也就是H¹(K,E)，据说根据Hilbert theorem 90，等于0.

所以long exact sequence又变成shorter exact sequence：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) ----δ----> H¹(K,E[n]) --> 0

看δ map，modulo kernel之后它就变成一个injection。叫\bar{δ}。而δ的kernel等于前一个map ([n])的image，也就是nE(K)。所以有injection：

0 --> E(K)/nE(K) ----> H¹(K,E[n])

[FoxMe]

原来如此：A finitely generated module over a Dedekind domain is a direct sum of a projective module and a torsion module.

和PID差不多，只是free变成projective.

是的，你这句话正好是 Lang，Algebraic number theory, 2nd edition, p. 29, Prop 26.

这个是上面Dedekind domain f.g. modules分类结果的一个特例。其实有很多例子可以检验，应该都不平凡。

https://math.stackexchange.com/question ... nd-domains

我是在想怎么找到 一个理想 的complementary summand，

https://math.stackexchange.com/question ... 70_5107732

没人回我。

[三农]

原来如此：A finitely generated module over a Dedekind domain is a direct sum of a projective module and a torsion module.

和PID差不多，只是free变成projective.

而且这里的 projective = R^{n-1} + I, 这里 I 是个ideal。

你好像上个帖子说了，就差那么一点，因为 free = R^{n}.

然后衍生出： K（PID）= Z， K（Dedekind domain） = Z + ideal class group.

这里K（R）= free abelian group on projective modules over R / (equivalence relationship). 这是Grothendieck 最开始的algebraic K_0，然后Atiyah，Hirzebruch 模仿地定义了 topological K-theory，用vector bundles。

高阶代数 K-理论 一直到 Qullien 才定义出来。

[三农]

这就非常接近free module，就差这一点还不是projective module？

我明白你的迷惑了，我是说torsion 部分不变，free 部分把 一个R 变成ideal。我没说清楚。

[TheMatrix]

Selmer group定义中的
H¹(K,E[n]) --> direct sum H¹(K_v, E[n])

就是拆开看每一个
H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n])

理解为
H¹(G_K, E[n]) --> H¹(G_K_v, E[n])

G_K = Cal(K^*/K)
G_K_v = Cal(K_v^*/K_v)

G_K_v是G_K的subgroup。所以上面cohomology之间的映射就是：群的cohomology可以映射入子群的cohomology中。这是因为cohomology是contravariant的。最开始的projective resolution是子群映射入群的，但是apply Hom(-,M)之后就反过来了。

K_v相当于K_p，p-adic number，K ⊆ K_p，这个有点反直觉。K_p实际上和Z/pZ有关，Z/pZ是有限域，但是搞出来的K_p不仅无限，而且比K还大，不仅大，而且是uncountable的，大多了。

虽然大，但它还不是algebraically closed，它只是topologically complete。所以和K一样，K_p也可以take algebraic closure，K-->K^* ，K_p --> K_p^* 。take closure之后就更大了。G_K_v是G_K的subgroup，是因为Galois群是fix base field的，base field越大，能fix它的群越小。

这就是Selmer group定义中的这个cohomology之间的map。

哦不对，这个地方还没完。

H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n]) 只是 restriction to local，后面还有一个 H¹(K_v, E)。Selmer group 最后的定义是 H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E) 外面再套一个kernel。

我再重新来一遍。

还是从这个开始：

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

这个是over K^* 的，所以乘以n操作 [n]:E --> E 是满射。E[n]是这个操作的kernel，n-torsion group，是一个有限群，数量为n² .

这是一个short exact sequence of G-module。每一个单元上都有Galois group action。所以可以做Galois cohomology 操作。这个操作把short exact sequence of G-module，变成一个long exact sequence of cohomology groups:

0 --> H⁰(K,E[n]) --> H⁰(K,E) --> H⁰(K,E) -----δ------>
----> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E) --> H¹(K,E) -----δ------>
----> H²(K,E[n]) --> H²(K,E) --> H²(K,E) -----δ------>

用了snake lemma，产生了δ叫connecting homomorphism，用于连接不同层级的cohomology。

第一层H⁰ 是elements fixed by Galois group，它变成了：
0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K)

这里带上了K，也就是说从over K^* 变成了over K的。E(K) ---[n]---> E(K) 不再是满射了。E[n] (K)也不一定是n² 个了。

第二层H¹ 不变。这里好像没有什么Hilbert 90。什么情况下可以有我不清楚。先不考虑它。

所以前两层变成了：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) ---(i)---> H¹(K,E) ---[n]---> H¹(K,E)

看δ，

0 --> kernel(δ) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> image(i) --> 0

kernel(δ)=image([n])=nE(K)，这里的[n]是前面一个[n]。
image(i)=kernel([n])=H¹(K,E)[n]，这里的[n]是后面一个[n]。而H¹(K,E)[n]是一个记法，就是指[n]的kernel。

所以有

0 --> nE(K) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

δ modulo nE(K)，

0 --> E(K)/nE(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

这里的δ应该写成\bar{δ}，是模去nE(K)之后的δ，但是，by abuse of notation，仍然写成δ。

所以有了

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

很多地方把这个叫fundamental short exact sequence。

接着来。

目标是E(K)/nE(K)，要对它说点什么。这个东西是考察E(K) rank的关键。

下一步是restriction to local。也就是 K --> K_v，K_v是基本上相当于考察每个素数，也就是K_p。v代表valuation，还包括K_∞。

K --> K_v是一个 inclusion： K ⊆ K_v，比如 K ⊆ K_p。K_p是K的completion，是在p-adic metric下的completion，所以是一种拓扑completion，所以K_p一定是uncountable的，比可数无穷还大。但是它在代数上还不是closed的。还可以取closure：K_v --> K_v^* ，类似于 K --> K^* 。

restriction相当于换系数，原来是在K系数下考虑，现在换为K_v系数，比如K_p系数，也就是在mod p下考察原椭圆曲线。所以一切还在：

0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这里只是做了一个 K --> K_v的替换，因为K本身是general的，它可以换成任意一个其他域。

把它俩写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0
0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这两个之间有map。

K上有解，K_v上一定有解。相当于有整数解就一定有mod p解。整数解mod p，就变成了mod p方程的解。域上应该也对。这个地方我不确定。

所以有第一项之间的关系 E(K)/nE(K) --> E(K_v)/nE(K_v)。这肯定不是injection的关系。应该也不是surjection的关系。因为有mod p解不一定有不mod p解。

第二项之间也有关系： H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n])。这里的E[n]是over K^* 和 over K_v^* 的。所以都是n² 个。考察的是Galois group cohomology，第一个group是 G_K=Gal(K^*/K)，第二个group是 G_K_v = Gal(K_v^*/K_v)。这两个group之间的关系是：G_K_v ⊆ G_K，也就是 G_K_v 是 G_K的子群。这是因为base field之间 K ⊆ K_v，而Galois群是fix base field之后的域自变换，要fix的东西越大，自变换的数量就越少。然后上升到cohomology，大群的cohomology的元素，一定是小群cohomology的元素，这个叫restriction map。是不是injection？应该不是。是不是surjection？应该也不是。

第三项之间应该也有关系：H¹(K,E)[n] --> H¹(K_v,E)[n]。先不管。

所以这两排之间有关系，整个diagram是commute的：

代码： 全选

0 --> E(K)/nE(K) --> H^1(K,E[n]) --> H^1(K,E)[n] --> 0
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0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H^1(K_v,E[n]) --> H^1(K_v,E)[n] --> 0

这个为什么是commute的，我还没仔细想。

考察第一排第一项中的一个元素 p ∈ E(K)/nE(K)，它先沿着第一排向右走，到H¹(K,E[n]) ，再沿着箭头向下走，到第二排的H¹(K_v,E[n])，再沿着第二排向右走，到H¹(K_v,E)[n]，它一定变成0。因为根据commutative diagram，它等于先沿着箭头向下走到第二排 E(K_v)/nE(K_v)，再沿着第二排一直向右走，走到底，它等于0，因为沿着第二排的exact sequence走两步一定是0.

现在把第一排的前两步，接着第二排的后两步，写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这个sequence是不是exact我不知道，因为中间那个从第一排到第二排向下的箭头，也就是restriction map，是不是exact，不好说。

这个sequence除了0之外有4项。现在把第三项拿掉，也就是合并两个箭头，从第二项直接到第四项：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] ---?--> 0

exact应该是成问题的了，但是箭头是在的。

而且我们知道 E(K)/nE(K) 一定在 H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] 的 kernel 之中，因为前面说了，p ∈ E(K)/nE(K) 沿着箭头走完会到0。

所以 E(K)/nE(K) ⊆ kernel of (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n]) for all v。

所以Selmer group 来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n])。

不对。等一下。最后我为什么会有个[n]呢？我是H¹(K_v,E)[n]，定义中应该是H¹(K_v,E)。

不过，technically 应该也是可以的，因为 H¹(K_v,E)[n] 是后面 map的kernel
H¹(K_v,E) ----[n]-----> H¹(K_v,E)

也就是 H¹(K_v,E)[n] ⊆ H¹(K_v,E)，所以最后定义到H¹(K_v,E)[n] 或者是 H¹(K_v,E)，mapping应该是一样的，值域扩大了一些。

所以Selmer group 又来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E))

sorry for the long post.

[FoxMe]

K理论一直没搞懂是啥意思。K代表class，是啥class,不明白。

而且这里的 projective = R^{n-1} + I, 这里 I 是个ideal。

你好像上个帖子说了，就差那么一点，因为 free = R^{n}.

然后衍生出： K（PID）= Z， K（Dedekind domain） = Z + ideal class group.

这里K（R）= free abelian group on projective modules over R / (equivalence relationship). 这是Grothendieck 最开始的algebraic K_0，然后Atiyah，Hirzebruch 模仿地定义了 topological K-theory，用vector bundles。

高阶代数 K-理论 一直到 Qullien 才定义出来。

[FoxMe]

赞专业精神

拜读了，知道为啥要搞restriction/inflation这些东东了。

“K上有解，K_v上一定有解。”这是肯定的，因为前者被后者包含。不肯定的是，如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？

问题是Selmer，山群是干啥用的？代表了什么？

哦不对，这个地方还没完。

H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E[n]) 只是 restriction to local，后面还有一个 H¹(K_v, E)。Selmer group 最后的定义是 H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v, E) 外面再套一个kernel。

我再重新来一遍。

还是从这个开始：

0 --> E[n] --> E ----[n]----> E --> 0

这个是over K^* 的，所以乘以n操作 [n]:E --> E 是满射。E[n]是这个操作的kernel，n-torsion group，是一个有限群，数量为n² .

这是一个short exact sequence of G-module。每一个单元上都有Galois group action。所以可以做Galois cohomology 操作。这个操作把short exact sequence of G-module，变成一个long exact sequence of cohomology groups:

0 --> H⁰(K,E[n]) --> H⁰(K,E) --> H⁰(K,E) -----δ------>
----> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E) --> H¹(K,E) -----δ------>
----> H²(K,E[n]) --> H²(K,E) --> H²(K,E) -----δ------>

用了snake lemma，产生了δ叫connecting homomorphism，用于连接不同层级的cohomology。

第一层H⁰ 是elements fixed by Galois group，它变成了：
0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K)

这里带上了K，也就是说从over K^* 变成了over K的。E(K) ---[n]---> E(K) 不再是满射了。E[n] (K)也不一定是n² 个了。

第二层H¹ 不变。这里好像没有什么Hilbert 90。什么情况下可以有我不清楚。先不考虑它。

所以前两层变成了：

0 --> E[n] (K) --> E(K) ---[n]---> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) ---(i)---> H¹(K,E) ---[n]---> H¹(K,E)

看δ，

0 --> kernel(δ) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> image(i) --> 0

kernel(δ)=image([n])=nE(K)，这里的[n]是前面一个[n]。
image(i)=kernel([n])=H¹(K,E)[n]，这里的[n]是后面一个[n]。而H¹(K,E)[n]是一个记法，就是指[n]的kernel。

所以有

0 --> nE(K) --> E(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

δ modulo nE(K)，

0 --> E(K)/nE(K) -----δ------> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

这里的δ应该写成\bar{δ}，是模去nE(K)之后的δ，但是，by abuse of notation，仍然写成δ。

所以有了

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0

很多地方把这个叫fundamental short exact sequence。

接着来。

目标是E(K)/nE(K)，要对它说点什么。这个东西是考察E(K) rank的关键。

下一步是restriction to local。也就是 K --> K_v，K_v是基本上相当于考察每个素数，也就是K_p。v代表valuation，还包括K_∞。

K --> K_v是一个 inclusion： K ⊆ K_v，比如 K ⊆ K_p。K_p是K的completion，是在p-adic metric下的completion，所以是一种拓扑completion，所以K_p一定是uncountable的，比可数无穷还大。但是它在代数上还不是closed的。还可以取closure：K_v --> K_v^* ，类似于 K --> K^* 。

restriction相当于换系数，原来是在K系数下考虑，现在换为K_v系数，比如K_p系数，也就是在mod p下考察原椭圆曲线。所以一切还在：

0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这里只是做了一个 K --> K_v的替换，因为K本身是general的，它可以换成任意一个其他域。

把它俩写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K,E)[n] --> 0
0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这两个之间有map。

K上有解，K_v上一定有解。相当于有整数解就一定有mod p解。整数解mod p，就变成了mod p方程的解。域上应该也对。这个地方我不确定。

所以有第一项之间的关系 E(K)/nE(K) --> E(K_v)/nE(K_v)。这肯定不是injection的关系。应该也不是surjection的关系。因为有mod p解不一定有不mod p解。

第二项之间也有关系： H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n])。这里的E[n]是over K^* 和 over K_v^* 的。所以都是n² 个。考察的是Galois group cohomology，第一个group是 G_K=Gal(K^*/K)，第二个group是 G_K_v = Gal(K_v^*/K_v)。这两个group之间的关系是：G_K_v ⊆ G_K，也就是 G_K_v 是 G_K的子群。这是因为base field之间 K ⊆ K_v，而Galois群是fix base field之后的域自变换，要fix的东西越大，自变换的数量就越少。然后上升到cohomology，大群的cohomology的元素，一定是小群cohomology的元素，这个叫restriction map。是不是injection？应该不是。是不是surjection？应该也不是。

第三项之间应该也有关系：H¹(K,E)[n] --> H¹(K_v,E)[n]。先不管。

所以这两排之间有关系，整个diagram是commute的：

代码： 全选

0 --> E(K)/nE(K) --> H^1(K,E[n]) --> H^1(K,E)[n] --> 0
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0 --> E(K_v)/nE(K_v) --> H^1(K_v,E[n]) --> H^1(K_v,E)[n] --> 0

这个为什么是commute的，我还没仔细想。

考察第一排第一项中的一个元素 p ∈ E(K)/nE(K)，它先沿着第一排向右走，到H¹(K,E[n]) ，再沿着箭头向下走，到第二排的H¹(K_v,E[n])，再沿着第二排向右走，到H¹(K_v,E)[n]，它一定变成0。因为根据commutative diagram，它等于先沿着箭头向下走到第二排 E(K_v)/nE(K_v)，再沿着第二排一直向右走，走到底，它等于0，因为沿着第二排的exact sequence走两步一定是0.

现在把第一排的前两步，接着第二排的后两步，写在一起：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) --> H¹(K_v,E[n]) --> H¹(K_v,E)[n] --> 0

这个sequence是不是exact我不知道，因为中间那个从第一排到第二排向下的箭头，也就是restriction map，是不是exact，不好说。

这个sequence除了0之外有4项。现在把第三项拿掉，也就是合并两个箭头，从第二项直接到第四项：

0 --> E(K)/nE(K) --> H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] ---?--> 0

exact应该是成问题的了，但是箭头是在的。

而且我们知道 E(K)/nE(K) 一定在 H¹(K,E[n]) ----?---> H¹(K_v,E)[n] 的 kernel 之中，因为前面说了，p ∈ E(K)/nE(K) 沿着箭头走完会到0。

所以 E(K)/nE(K) ⊆ kernel of (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n]) for all v。

所以Selmer group 来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E)[n])。

不对。等一下。最后我为什么会有个[n]呢？我是H¹(K_v,E)[n]，定义中应该是H¹(K_v,E)。

不过，technically 应该也是可以的，因为 H¹(K_v,E)[n] 是后面 map的kernel
H¹(K_v,E) ----[n]-----> H¹(K_v,E)

也就是 H¹(K_v,E)[n] ⊆ H¹(K_v,E)，所以最后定义到H¹(K_v,E)[n] 或者是 H¹(K_v,E)，mapping应该是一样的，值域扩大了一些。

所以Selmer group 又来了：

Selmer(E/K) := kernel of all (H¹(K,E[n]) ---> H¹(K_v,E))

sorry for the long post.

[FoxMe]

这个性质特牛，但是不明所以：

[三农]

赞专业精神

拜读了，知道为啥要搞restriction/inflation这些东东了。

“K上有解，K_v上一定有解。”这是肯定的，因为前者被后者包含。不肯定的是，如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？

问题是Selmer，山群是干啥用的？代表了什么？

Matrix 的帖子太长，太专业，我就着你的问题讨论一些。

K_v 是K 的localization，所以 K_v 上的问题会简单。

如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？这个问题是所谓的 local-global principle，不总是对的。好像对quadrics 总是对的，而Yuri Manin 找到了些obstruction，一些cohomology class 来刻画这些。

这些elliptic curves的我也不懂，是将来要看的内容。如果Selmer group 跟这个有关就好了。

[三农]

这个性质特牛，但是不明所以：

这个是标准的，所有cohomology theory 都有这样的性质。

简单来说，就是

short exact sequence of cochain complexes

gives rise to

long exact sequence of cohomology.

关键是构造这个 connecting homomorphism delta. 其实和snake lemma 一样，就是diagram chasing。

[TheMatrix]

赞专业精神

拜读了，知道为啥要搞restriction/inflation这些东东了。

“K上有解，K_v上一定有解。”这是肯定的，因为前者被后者包含。不肯定的是，如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？

问题是Selmer，山群是干啥用的？代表了什么？

据说Selmer群是为了限制E(K)/nE(K)的数量的，因为Selmer群是有限群。而E(K)/nE(K)的数量，是限制E(K) rank的。这个我也不懂。我看了deepseek说的。

[TheMatrix]

Matrix 的帖子太长，太专业，我就着你的问题讨论一些。

K_v 是K 的localization，所以 K_v 上的问题会简单。

如果在所有K_v上有解，在K上是否有解？这个问题是所谓的 local-global principle，不总是对的。好像对quadrics 总是对的，而Yuri Manin 找到了些obstruction，一些cohomology class 来刻画这些。

这些elliptic curves的我也不懂，是将来要看的内容。如果Selmer group 跟这个有关就好了。

Selmer group 和 Shafarevich-Tate group 就是跟这个local-global principle有关啊。我也是正在学。以前看过Silverman的书，看到Galois cohomology就看不懂了。所以相关的几个定理就不懂。现在又试一下。

[TheMatrix]

这个性质特牛，但是不明所以：

这个是我问Gemini，它给我的视频链接。

Snake lemma我很早就学过，但是从来没有认真chase diagram过一次。