新未名空间

Caravel 写了： 2023年 1月 14日 18:53 看了上面的解法，圆排列不对，因为这对应所有人形成一个cycle，但是实际上6个人可以形成3+3，4+2，5+1，或是2+2+2，5+1不成立，尼玛感觉回到了群论的共轭类

这几种加起来就是265

Caravel 写了： 2023年 1月 14日 18:53 看了上面的解法，圆排列不对，因为这对应所有人形成一个cycle，但是实际上6个人可以形成3+3，4+2，5+1，或是2+2+2，5+1不成立，尼玛感觉回到了群论的共轭类

这几种加起来就是265

TheMatrix 写了： 2023年 1月 14日 21:00 哇，这里也有共轭类。

Caravel 写了： 2023年 1月 14日 23:46 是的，待会我详细写清楚，群论没白学

verdelite 写了： 2023年 1月 15日 00:42 你们学群论就来了配钥匙问题，你们讨论外积空间就来了刷骰子问题。

Caravel 写了： 2023年 1月 15日 01:37更新了。

verdelite 写了： 2023年 1月 15日 01:46 应该接受YWY建议（viewtopic.php?p=651525#p651525），令这个置换群为P，而不是令其为S。

而且P也是有意义的，看我问chatGPT如下：
"what is a word meaning "exchange" and starting with letter p?"
"The word you're looking for is "permute." It means to exchange or change the position of things."

verdelite 写了： 2023年 1月 15日 01:46 应该接受YWY建议（viewtopic.php?p=651525#p651525），令这个置换群为P，而不是令其为S。

而且P也是有意义的，看我问chatGPT如下：
"what is a word meaning "exchange" and starting with letter p?"
"The word you're looking for is "permute." It means to exchange or change the position of things."

Caravel 写了： 2023年 1月 14日 18:53 S6是6个元素的置换群。每一个群元素也就是一种置换都可以写成1个或者多个cycle的组合。一个cycle形如(123) 的意思是1→2, 2→3, 3→1. 交换可以看成是2-cycle，不动则是1-cycle。1-cycle通常是省略的，但是下面为了明显还是写出来。

这种cycle的结构是群共轭不变量，也就是g(1234)(56) g^-1变换之后依然会保持4+2这样的cycle结构。利用这一点，我们就可以很容易找到S6的所有共轭类。这里面用到了一个n-cycle的可能个数可以用圆排列来算出。

S6 Conjugacy class

1. (123456) 120
2. (12345)(6) C(6,1) * 4! =144
3. (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;
4. (1234)(5)(6) C(6,4) * 3! = 90;
5. (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;
6. (123)(45)(6) C(6,3)* C(3,2) * 2! = 120;
7. (123)(4)(5)(6) C(6,3) * 2！= 40;
8. (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15
9. (12)(34)(5)(6) C(6,2)*C(4,2) / 2! = 45;
10. (12)(3)(4)(5)(6) C(6,2) = 15;
11. (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 1; 单位元

总共是11个共轭类，720个元素。

下面我们看看怎么用S6解决**verdelite的问题**

[帖子](viewtopic.php?p=650098#p650098) 由 **verdelite** » January 14, 2023 11:32 AM

6对夫妻经常新年聚会。这次他们发现，子女都离家了，就剩下他们自己了，不像往年那么热闹了。好无聊。就有人提议男人们把钥匙串放桌上。女人们来拿钥匙，每人拿一串，但是不得拿自己丈夫的钥匙串（自己丈夫的钥匙串当然是认得的）。问有几种不同的拿法。

不难看出这就是一个置换的计数问题，但是不能拿自家的钥匙，所以要排除那些有1-cycle的共轭类。那么看一下实际上只剩下 1，3，5，8四个共轭类。加一下120+90+40+15=265. 答案正确。同时我们还得到这些排列组合里面结构，群论的威力可见一斑。而且这些共轭类也包含了更多更丰富的内容，比如有2个人不愿意参加游戏还有多少可能之类的。

index1 (123456) 120

index3 (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;

index5 (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;

index8 (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15

YWY 写了： 2023年 1月 15日 02:39 懂的都懂：置换群P，只有双射才能加入，通过共轭可以实现内自同媾（构）。

FoxMe 写了： 2023年 1月 15日 09:36 这个群论方法好。记得群论的典型应用有项链问题，化学分子问题等等类似的问题。

Caravel 写了： 2023年 1月 15日 11:33 还有一个那个弹簧的震动问题，也是用置换群，还有晶体群。当然物理里面量子力学里面也到处在用李群

YWY 写了： 2023年 1月 15日 11:49 能展开说说弹簧的震动问题，和置换群怎么联系起来吗？