Lie代数里面出现对易很神奇

[Caravel]

除了普通的向量空间性质，竟然发现对对易封闭，刚好能被量子力学用上，难怪Wigner说数学在物理里面的应用unreasonable effective。

[TheMatrix]

除了普通的向量空间性质，竟然发现对对易封闭，刚好能被量子力学用上，难怪Wigner说数学在物理里面的应用unreasonable effective。

向量空间endomorphism space出现对易，以及对对易封闭是很自然的：
X,Y \in End(V), then [X,Y]=XY-YX also in End(V)

好像又回到线性代数表示论来了。

[Caravel]

向量空间endomorphism space出现对易，以及对对易封闭是很自然的：
X,Y \in End(V), then [X,Y]=XY-YX also in End(V)

好像又回到线性代数表示论来了。

哦，Lie algebra是普通的endmorphism 么？还需要满足一些条件吧

[TheMatrix]

哦，Lie algebra是普通的endmorphism 么？还需要满足一些条件吧

Lie algebra不是普通的endomorphism，要通过Lie group和Lie algebra在向量空间上的表示才能变成endomorphism。

[FoxMe]

对易是什么意思？X和Y可以互换？

[Caravel]

Lie algebra不是普通的endomorphism，要通过Lie group和Lie algebra在向量空间上的表示才能变成endomorphism。

恩，对应一个Lie alegra 的element，比如说一个矩阵X, Lie group element是exp(X)

[Caravel]

对易是什么意思？X和Y可以互换？

对易就是二元函数，F(x,y) = xy - yx, 一般并不等于0

[FoxMe]

对易就是二元函数，F(x,y) = xy - yx, 一般并不等于0

对易是commutator的翻译吗？

[TheMatrix]

对易是commutator的翻译吗？

应该是。

对易关系叫commutation relation.

[FoxMe]

噢。commutator刚好和量子力学对上，确实很神奇。

[Caravel]

噢。commutator刚好和量子力学对上，确实很神奇。

Lie group本身是一个光滑的流形，性质很好，只需要一个无穷小变换，就可以决定整个group的性质。值得好好看看。

[TheMatrix]

Lie group本身是一个光滑的流形，性质很好，只需要一个无穷小变换，就可以决定整个group的性质。值得好好看看。

Lie group是很神奇。李群的表示论我没学过。李代数的表示论，什么根系，我学过一点，全忘了。如果有人发起讨论，我愿意参与一下。

[rgg]

向量空间endomorphism space出现对易，以及对对易封闭是很自然的：
X,Y \in End(V), then [X,Y]=XY-YX also in End(V)

好像又回到线性代数表示论来了。

这个例子里，XY和YX本身不也在End(V)么？
切向量空间里，XY 和 YX不在向量空间，但他们的差在.

[verdelite]

我来讲两句。没啥神奇的。数学研究结构，世界上数学结构千千万。任何一个规整的物理模型，都对应至少一个规整的数学结构。若暂时没有，那么恭喜，你就像牛顿一样，发现了一个数学结构。

我以前谈这个问题，是因为我想通了，我们不能从狭义相对论方程、广义相对论方程、麦克斯韦方程、薛定谔方程、狄拉克方程等的“美丽性”就认为它们描述的物理是真实的物理。

[TheMatrix]

这个例子里，XY和YX本身不也在End(V)么？
切向量空间里，XY 和 YX不在向量空间，但他们的差在.

对。所以End(V)是特别“容易”研究的。我想这也是表示论的好处吧。

[TheMatrix]

我来讲两句。没啥神奇的。数学研究结构，世界上数学结构千千万。任何一个规整的物理模型，都对应至少一个规整的数学结构。若暂时没有，那么恭喜，你就像牛顿一样，发现了一个数学结构。

我以前谈这个问题，是因为我想通了，我们不能从狭义相对论方程、广义相对论方程、麦克斯韦方程、薛定谔方程、狄拉克方程等的“美丽性”就认为它们描述的物理是真实的物理。

说的对。但是这些结构确实很神奇 - 就是一种数学的美吧。美的东西不一定“对” - 不一定描述真实的物理，但是一定“有用”，值得研究。

[Caravel]

说的对。但是这些结构确实很神奇 - 就是一种数学的美吧。美的东西不一定“对” - 不一定描述真实的物理，但是一定“有用”，值得研究。

终于看到一个合理的解释，就是Lie Group的两个元素 g 和 h，
如果 g = e^X, h = e^Y
如果我们要求所有的群元素都被用生成元来生成， g * h = e^Xe^Y = e^T，
则必须要 [X,Y]=Z, T=X+Y-1/2Z, 如果X, Y是数字，Z=0. 如果不满足对易关系，则表示生成元空间不完备，不能表示所有的元素

[TheMatrix]

终于看到一个合理的解释，就是Lie Group的两个元素 g 和 h，
如果 g = e^X, h = e^Y
如果我们要求所有的群元素都被用生成元来生成， g * h = e^Xe^Y = e^T，
则必须要 [X,Y]=Z, T=X+Y-1/2Z, 如果X, Y是数字，Z=0. 如果不满足对易关系，则表示生成元空间不完备，不能表示所有的元素

嗯，李群exponential map和对易有关。

[rgg]

对易运算的一个直接由来是对共轭运算在1附近求微分： ghg^(-1) -h ~ (1+g)h(1-g) -h ~ gh-hg +o(g^2). 所以大概共轭类在群论里多重要，对易运算就在李代数多重要。

[FoxMe]

对， 这个共轭与commutator的关系看上去也很神奇，不过讲穿了就很简单。