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i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 11:20
FoxMe
复数i和1正交吗?

二者的夹角是90度,显然正交。

但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i,不为0,所以它们不正交。

这个问题我问过好几个人,没有得到满意的答案。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 11:55
rgg
你这是混淆了数域和向量空间。 当你做了同构变换 i-e_y, 1-e_x以后,在实数域上的由正交基(e_x,e_y)张成的向量空间里,e_x和e_y正交。
在复数域上,就不能做这样的同构变换,i和1都只能映射为一维向量,它们平行。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 12:18
FoxMe
那么考虑向量(i, i)和(1, 2),在实空间正交,在复空间不正交,又怎么解释?

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 12:48
TheMatrix
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 12:18 那么考虑向量(i, i)和(1, 2),在实空间正交,在复空间不正交,又怎么解释?
complex vector space和real vector space,inner product不同,我倒是可以接受。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 12:51
rgg
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 12:18 那么考虑向量(i, i)和(1, 2),在实空间正交,在复空间不正交,又怎么解释?
你这(i,i)就不在实空间里面啊。 实就是指的这个向量空间数乘的数域。没矛盾。 还是要注意把数域和向量基分开。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 15:26
nk
rgg 写了: 2023年 3月 29日 12:51 你这(i,i)就不在实空间里面啊。 实就是指的这个向量空间数乘的数域。没矛盾。 还是要注意把数域和向量基分开。
应该是把每一维的复数轴扩展成二维的实数轴。

(i,i)--->(0,1,0,1)
(1,2)--->(1,0,2,0)

这样在这个扩展的四维实空间就正交了。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 16:01
FoxMe
我觉得这个矛盾是Hermitian inner product的一个缺陷。如果把内积定义为Hermitian inner product的实部:
Re{<x,y>}
就能消除这个矛盾。但是,这个内积定义又会导致其它的问题。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 16:09
TheMatrix
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 16:01 我觉得这个矛盾是Hermitian inner product的一个缺陷。如果把内积定义为Hermitian inner product的实部:
Re{<x,y>}
就能消除这个矛盾。但是,这个内积定义又会导致其它的问题。
Hermitian inner product的定义是很特殊。首先它是一个bilinear form。

但是它不是symmetric的,也不是anti-symmetric的,而是sesquilinear form。这里糅合了一个conjugation,也是一个involution。把这些糅合在一起,也是很精妙的,不能说是缺陷,我觉得。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 16:18
YWY
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 12:18 那么考虑向量(i, i)和(1, 2),在实空间正交,在复空间不正交,又怎么解释?
这和“1和i在实数域上线性无关、但在复数域上线性相关”是同一个性质吧。

正交的概念也好,线性相关的概念也好,都取决于定义。涉及到线性空间的话,也取决于是哪一个数域上的。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 29日 16:19
TheMatrix
TheMatrix 写了: 2023年 3月 29日 16:09 Hermitian inner product的定义是很特殊。首先它是一个bilinear form。

但是它不是symmetric的,也不是anti-symmetric的,而是sesquilinear form。这里糅合了一个conjugation,也是一个involution。把这些糅合在一起,也是很精妙的,不能说是缺陷,我觉得。
哦不对。sesquilinear不是bilinear的。第一项是linear的,第二项是conjugate linear的。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 30日 21:31
TheMatrix
FoxMe 写了: 2023年 3月 29日 11:20 复数i和1正交吗?

二者的夹角是90度,显然正交。

但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i,不为0,所以它们不正交。

这个问题我问过好几个人,没有得到满意的答案。
我在想quadratic form的时候,好像有一个问题和你这里的类似。

quadratic form,我除了正定的情况,其他的没怎么细想过。今天想Real Clifford algebra的时候,突然出现一个困惑。

就是一个二维Real vector space,假设上面有一个quadratic form Q,nondegenerate,signature 为 (1,-1)。也就是有一个basis (e1, e2),Q(e1)=1,Q(e2)=-1。

那么Q(e1+e2)应该等于多少?

我开始把它想成复数空间了,e1对应1,e2对应i,Q想象成了z2,但是这就不是Real quadratic space了。

后来发现Q(e1+e2)应该等于0。你觉得这个对不对?

那么对于一个非正定nondegenerate的quadratic form Q,可以有v !=0 but Q(v)=0。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 09:28
FoxMe
对的,非正定二次型会出现这种现象。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 09:35
YWY
TheMatrix 写了: 2023年 3月 30日 21:31 我在想quadratic form的时候,好像有一个问题和你这里的类似。

quadratic form,我除了正定的情况,其他的没怎么细想过。今天想Real Clifford algebra的时候,突然出现一个困惑。

就是一个二维Real vector space,假设上面有一个quadratic form Q,nondegenerate,signature 为 (1,-1)。也就是有一个basis (e1, e2),Q(e1)=1,Q(e2)=-1。

那么Q(e1+e2)应该等于多少?

我开始把它想成复数空间了,e1对应1,e2对应i,Q想象成了z2,但是这就不是Real quadratic space了。

后来发现Q(e1+e2)应该等于0。你觉得这个对不对?

那么对于一个非正定nondegenerate的quadratic form Q,可以有v !=0 but Q(v)=0。
展开Q(e_1+e_2, e_1+e_2)就可以算了。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 10:25
TheMatrix
FoxMe 写了: 2023年 3月 31日 09:28 对的,非正定二次型会出现这种现象。
所以这个不是一个inner product,严格意义上的。但是它却可以定义V和V对偶空间的同构。

谢谢。这个clear up我的一些misconception。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 10:25
TheMatrix
YWY 写了: 2023年 3月 31日 09:35 展开Q(e_1+e_2, e_1+e_2)就可以算了。
Q是单变量的。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 10:30
YWY
TheMatrix 写了: 2023年 3月 31日 10:25 Q是单变量的。
Quadratic form Q两个变量。说一个变量,一般是指两个变量相等的情况:Q(e) = Q(e, e)。

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 10:31
TheMatrix
YWY 写了: 2023年 3月 31日 10:30 Quadratic form Q两个变量。说一个变量,一般是指两个变量相等的情况:Q(e) = Q(e, e)。
Well, by abuse of notation, that's fine...

图片

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 11:12
FoxMe
非正定二次型的著名例子:闵可夫斯基时空x^2+y^2+z^3-ct^2

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 11:26
YWY
TheMatrix 写了: 2023年 3月 31日 10:31 Well, by abuse of notation, that's fine...

图片
This is all fine.

However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).

Re: i和1正交吗?

发表于 : 2023年 3月 31日 11:29
TheMatrix
YWY 写了: 2023年 3月 31日 11:26 This is all fine.

However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).
哦,你要是这么说的话,也是严格的。