新未名空间

复数i和1正交吗？

二者的夹角是90度，显然正交。

但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i，不为0，所以它们不正交。

这个问题我问过好几个人，没有得到满意的答案。

你这是混淆了数域和向量空间。 当你做了同构变换 i-e_y, 1-e_x以后，在实数域上的由正交基（e_x,e_y)张成的向量空间里，e_x和e_y正交。
在复数域上，就不能做这样的同构变换，i和1都只能映射为一维向量，它们平行。

那么考虑向量(i, i)和(1, 2)，在实空间正交，在复空间不正交，又怎么解释？

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 12:18 那么考虑向量(i, i)和(1, 2)，在实空间正交，在复空间不正交，又怎么解释？

complex vector space和real vector space，inner product不同，我倒是可以接受。

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 12:18 那么考虑向量(i, i)和(1, 2)，在实空间正交，在复空间不正交，又怎么解释？

你这(i,i)就不在实空间里面啊。 实就是指的这个向量空间数乘的数域。没矛盾。 还是要注意把数域和向量基分开。

rgg 写了： 2023年 3月 29日 12:51 你这(i,i)就不在实空间里面啊。 实就是指的这个向量空间数乘的数域。没矛盾。 还是要注意把数域和向量基分开。

应该是把每一维的复数轴扩展成二维的实数轴。

(i,i)--->(0,1,0,1)
(1,2)--->(1,0,2,0)

这样在这个扩展的四维实空间就正交了。

我觉得这个矛盾是Hermitian inner product的一个缺陷。如果把内积定义为Hermitian inner product的实部：
Re{<x,y>}
就能消除这个矛盾。但是，这个内积定义又会导致其它的问题。

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 16:01 我觉得这个矛盾是Hermitian inner product的一个缺陷。如果把内积定义为Hermitian inner product的实部：
Re{<x,y>}
就能消除这个矛盾。但是，这个内积定义又会导致其它的问题。

Hermitian inner product的定义是很特殊。首先它是一个bilinear form。

但是它不是symmetric的，也不是anti-symmetric的，而是sesquilinear form。这里糅合了一个conjugation，也是一个involution。把这些糅合在一起，也是很精妙的，不能说是缺陷，我觉得。

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 12:18 那么考虑向量(i, i)和(1, 2)，在实空间正交，在复空间不正交，又怎么解释？

这和“1和i在实数域上线性无关、但在复数域上线性相关”是同一个性质吧。

正交的概念也好，线性相关的概念也好，都取决于定义。涉及到线性空间的话，也取决于是哪一个数域上的。

TheMatrix 写了： 2023年 3月 29日 16:09 Hermitian inner product的定义是很特殊。首先它是一个bilinear form。

但是它不是symmetric的，也不是anti-symmetric的，而是sesquilinear form。这里糅合了一个conjugation，也是一个involution。把这些糅合在一起，也是很精妙的，不能说是缺陷，我觉得。

哦不对。sesquilinear不是bilinear的。第一项是linear的，第二项是conjugate linear的。

FoxMe 写了： 2023年 3月 29日 11:20 复数i和1正交吗？

二者的夹角是90度，显然正交。

但是在复空间做Hermitian inner product, <i,1>=i，不为0，所以它们不正交。

这个问题我问过好几个人，没有得到满意的答案。

我在想quadratic form的时候，好像有一个问题和你这里的类似。

quadratic form，我除了正定的情况，其他的没怎么细想过。今天想Real Clifford algebra的时候，突然出现一个困惑。

就是一个二维Real vector space，假设上面有一个quadratic form Q，nondegenerate，signature 为 (1,-1)。也就是有一个basis (e₁, e₂)，Q(e₁)=1，Q(e₂)=-1。

那么Q(e₁+e₂)应该等于多少？

我开始把它想成复数空间了，e₁对应1，e₂对应i，Q想象成了z²，但是这就不是Real quadratic space了。

后来发现Q(e₁+e₂)应该等于0。你觉得这个对不对？

那么对于一个非正定nondegenerate的quadratic form Q，可以有v !=0 but Q(v)=0。

对的，非正定二次型会出现这种现象。

TheMatrix 写了： 2023年 3月 30日 21:31 我在想quadratic form的时候，好像有一个问题和你这里的类似。

quadratic form，我除了正定的情况，其他的没怎么细想过。今天想Real Clifford algebra的时候，突然出现一个困惑。

就是一个二维Real vector space，假设上面有一个quadratic form Q，nondegenerate，signature 为 (1,-1)。也就是有一个basis (e₁, e₂)，Q(e₁)=1，Q(e₂)=-1。

那么Q(e₁+e₂)应该等于多少？

我开始把它想成复数空间了，e₁对应1，e₂对应i，Q想象成了z²，但是这就不是Real quadratic space了。

后来发现Q(e₁+e₂)应该等于0。你觉得这个对不对？

那么对于一个非正定nondegenerate的quadratic form Q，可以有v !=0 but Q(v)=0。

展开Q(e_1+e_2, e_1+e_2)就可以算了。

FoxMe 写了： 2023年 3月 31日 09:28 对的，非正定二次型会出现这种现象。

所以这个不是一个inner product，严格意义上的。但是它却可以定义V和V对偶空间的同构。

谢谢。这个clear up我的一些misconception。

YWY 写了： 2023年 3月 31日 09:35 展开Q(e_1+e_2, e_1+e_2)就可以算了。

Q是单变量的。

TheMatrix 写了： 2023年 3月 31日 10:25 Q是单变量的。

Quadratic form Q两个变量。说一个变量，一般是指两个变量相等的情况：Q(e) = Q(e, e)。

YWY 写了： 2023年 3月 31日 10:30 Quadratic form Q两个变量。说一个变量，一般是指两个变量相等的情况：Q(e) = Q(e, e)。

Well, by abuse of notation, that's fine...

非正定二次型的著名例子：闵可夫斯基时空x^2+y^2+z^3-ct^2

TheMatrix 写了： 2023年 3月 31日 10:31 Well, by abuse of notation, that's fine...

This is all fine.

However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).

YWY 写了： 2023年 3月 31日 11:26 This is all fine.

However, in my mind, I like to start with Q(x, y) = x^TAy, where A is symmetric matrix. Then, a quadratic form is Q(x) = Q(x, x). Thus, Q(x+y) = Q(x+y, x+y) = Q(x, x) + Q(x, y) + Q(y, x) + Q(y, y).

哦，你要是这么说的话，也是严格的。