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#1 （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 13:04
由 huangchong
此帖转自 翻墙五毛 在
军事天地（Military） 的帖子：
如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。
圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉
#2 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 13:16
由 YWY
我也曾有这个疑问。我也没有直观的理解。我最终选择相信xy方程。哪位能给出直观解释就是造福术版（人类）
#3 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 17:47
由 bihai
huangchong 写了： 2024年 1月 3日 13:04
此帖转自 翻墙五毛 在
军事天地（Military） 的帖子：
如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。
圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉
一个内切球，一个外切球，两个球与平面的切点为焦点，在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长。则到两个顶点的距离之和为定长，椭圆。
#4 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 18:32
由 huangchong
bihai 写了： 2024年 1月 3日 17:47
一个内切球，一个外切球，两个球与平面的切点为焦点，在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长。则到两个顶点的距离之和为定长，椭圆。
两个都是圆锥内切球吧？一个在平面上边 一个在平面下边
从侧面看就是一个三角形 两边延长以后 的内切圆和外切圆
#5 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:02
由 laodongzhe18
一个圆锥，如果去掉尖，在仿射几何里一样是个圆柱，而且形变只是一个Z坐标变量。一个平面切过圆柱，Z坐标被消去，所以形变消失，XY平面一样是不变量，即椭圆。这个是解释，不是严格证明。
#6 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:18
由 YWY
bihai 写了： 2024年 1月 3日 17:47
一个内切球，一个外切球，两个球与平面的切点为焦点，
在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长。则到两个顶点的距离之和为定长，椭圆。
我没有完全理解，能不能解释下“在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长”是啥意思？具体怎么做切圆？展开说说？
#7 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:22
由 YWY
laodongzhe18 写了： 2024年 1月 3日 19:02
一个圆锥，如果去掉尖，在仿射几何里一样是个圆柱，而且形变只是一个Z坐标变量。一个平面切过圆柱，Z坐标被消去，所以形变消失，XY平面一样是不变量，即椭圆。这个是解释，不是严格证明。
用xyz解方程的话，直接把平面z = ax + by带入圆锥z
2 = cx
2 + cy
2 就行了。
这里我们是想找到（更加）直观的理解。
#8 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:25
由 laodongzhe18
直观的理解就是让它变成鸡蛋的因素不存在。
YWY 写了： 2024年 1月 3日 19:22
用xyz解方程的话，直接把平面z = ax + by带入圆锥z
2 = cx
2 + cy
2 就行了。
这里我们是想找到（更加）直观的理解。
#10 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:47
由 laodongzhe18
这个大家都知道，问题是如何直观地推到出那个圈是二次曲线？
VladPutin 写了： 2024年 1月 3日 19:34
封闭的二次曲线除了椭圆还有其他形状吗？
#11 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:48
由 oldogzhao
我提个思路， 能不能证明切面以某轴对称？ 对称的话除了圆就是椭圆
huangchong 写了： 2024年 1月 3日 13:04
此帖转自 翻墙五毛 在
军事天地（Military） 的帖子：
如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。
圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉
#12 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:50
由 bihai
huangchong 写了： 2024年 1月 3日 18:32
两个都是圆锥内切球吧？一个在平面上边 一个在平面下边
从侧面看就是一个三角形 两边延长以后 的内切圆和外切圆
对，都是圆锥的内切球。就是在平面两侧各一个。
#14 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 19:56
由 Sususu
既然圆柱切成椭圆。那么当圆柱一端缩小的时候会发生什么？
#15 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 20:06
由 bihai
YWY 写了： 2024年 1月 3日 19:18
我没有完全理解，能不能解释下“在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长”是啥意思？具体怎么做切圆？展开说说？
这个图，圆锥顶点是O，平面交圆锥是一个封闭曲线，假设上面有一个点X。下面证明X到两个顶点距离之和为定长。
在圆锥内会有一个内切圆，和圆锥相切（上面的切圆），和平面相切（切点为A）。
在圆锥内会还有一个内切圆，和圆锥相切（下面的切圆），和平面相切（切点为B）。
设XO交上切圆于P，那么XA=XP
设XO交下切圆于Q，那么XB=XQ
则XA + XB＝XP + XQ = PQ
#16 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 20:20
由 YWY
bihai 写了： 2024年 1月 3日 20:06
这个图，圆锥顶点是O，平面交圆锥是一个封闭曲线，假设上面有一个点X。下面证明X到两个顶点距离之和为定长。
在圆锥内会有一个内切圆，和圆锥相切（上面的切圆），和平面相切（切点为A）。
在圆锥内会还有一个内切圆，和圆锥相切（下面的切圆），和平面相切（切点为B）。
设XO交上切圆于P，那么XA=XP
设XO交下切圆于Q，那么XB=XQ
则XA + XB＝XP + XQ = PQ
谢！厉害！学习了。
PQ的长度和点X无关（只要X在交叉曲线上），定长。
别介意啊，我纠正你上面一个术语：OX那条线好像叫圆锥的母线，不是法线（法线一般指垂直于曲面的直线）。
#17 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 20:50
由 bihai
YWY 写了： 2024年 1月 3日 20:20
谢！厉害！学习了。
PQ的长度和点X无关（只要X在交叉曲线上），定长。
别介意啊，我纠正你上面一个术语：OX那条线好像叫圆锥的母线，不是法线（法线一般指垂直于曲面的直线）。
对，是母线。我一定是中文越来越差了，多少年不说这个词了，谢谢纠正。
#18 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 20:58
由 翻墙五毛
你妈，问你们如何从直觉理解。一帮孔乙己又开始列方程了。怪不得说是小镇做题家
#19 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 21:47
由 laodongzhe18
数学上很多“不变”是反直觉的，必须用公式来理解。
翻墙五毛 写了： 2024年 1月 3日 20:58
你妈，问你们如何从直觉理解。一帮孔乙己又开始列方程了。怪不得说是小镇做题家
#20 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 22:00
由 mesofish
huangchong 写了： 2024年 1月 3日 13:04
此帖转自 翻墙五毛 在
军事天地（Military） 的帖子：
如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。
圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉
你把切出来的椭圆和圆锥高线比，
确实是一头大一头小
但高线和椭圆相交不在椭圆中点，
所以就算一头大一头小也不影响椭圆对称
#24 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 22:14
由 FGH
我也有一个关于椭圆的疑惑。我可以直观理解椭圆是圆被压扁的结果。
但是如何直观的理解椭圆的两个焦点？
从一个焦点发射的光线经过椭圆反弹必定到达另一个焦点。
#25 Re: （转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？
发表于 ： 2024年 1月 3日 22:27
由 huangchong
bihai 写了： 2024年 1月 3日 20:06
这个图，圆锥顶点是O，平面交圆锥是一个封闭曲线，假设上面有一个点X。下面证明X到两个顶点距离之和为定长。
在圆锥内会有一个内切圆，和圆锥相切（上面的切圆），和平面相切（切点为A）。
在圆锥内会还有一个内切圆，和圆锥相切（下面的切圆），和平面相切（切点为B）。
设XO交上切圆于P，那么XA=XP
设XO交下切圆于Q，那么XB=XQ
则XA + XB＝XP + XQ = PQ
厉害厉害 非常精彩