（转载）如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？

[huangchong]

此帖转自 翻墙五毛 在 军事天地（Military） 的帖子：如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？

知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。

圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉

[YWY]

我也曾有这个疑问。我也没有直观的理解。我最终选择相信xy方程。哪位能给出直观解释就是造福术版（人类）

[bihai]

此帖转自 翻墙五毛 在 军事天地（Military） 的帖子：如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？

知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。

圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉

一个内切球，一个外切球，两个球与平面的切点为焦点，在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长。则到两个顶点的距离之和为定长，椭圆。

[huangchong]

一个内切球，一个外切球，两个球与平面的切点为焦点，在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长。则到两个顶点的距离之和为定长，椭圆。

两个都是圆锥内切球吧？一个在平面上边 一个在平面下边
从侧面看就是一个三角形 两边延长以后 的内切圆和外切圆

[laodongzhe18]

一个圆锥，如果去掉尖，在仿射几何里一样是个圆柱，而且形变只是一个Z坐标变量。一个平面切过圆柱，Z坐标被消去，所以形变消失，XY平面一样是不变量，即椭圆。这个是解释，不是严格证明。

[YWY]

一个内切球，一个外切球，两个球与平面的切点为焦点，在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长。则到两个顶点的距离之和为定长，椭圆。

我没有完全理解，能不能解释下“在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长”是啥意思？具体怎么做切圆？展开说说？

[YWY]

一个圆锥，如果去掉尖，在仿射几何里一样是个圆柱，而且形变只是一个Z坐标变量。一个平面切过圆柱，Z坐标被消去，所以形变消失，XY平面一样是不变量，即椭圆。这个是解释，不是严格证明。

用xyz解方程的话，直接把平面z = ax + by带入圆锥z² = cx² + cy² 就行了。

这里我们是想找到（更加）直观的理解。

[laodongzhe18]

直观的理解就是让它变成鸡蛋的因素不存在。

用xyz解方程的话，直接把平面z = ax + by带入圆锥z² = cx² + cy² 就行了。

这里我们是想找到（更加）直观的理解。

[laodongzhe18]

这个大家都知道，问题是如何直观地推到出那个圈是二次曲线？

封闭的二次曲线除了椭圆还有其他形状吗？

[oldogzhao]

我提个思路， 能不能证明切面以某轴对称？ 对称的话除了圆就是椭圆

此帖转自 翻墙五毛 在 军事天地（Military） 的帖子：如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？

知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。

圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉

[bihai]

两个都是圆锥内切球吧？一个在平面上边 一个在平面下边
从侧面看就是一个三角形 两边延长以后 的内切圆和外切圆

对，都是圆锥的内切球。就是在平面两侧各一个。

[Sususu]

既然圆柱切成椭圆。那么当圆柱一端缩小的时候会发生什么？

[bihai]

我没有完全理解，能不能解释下“在圆锥法线方向两个球的切圆距离为定长”是啥意思？具体怎么做切圆？展开说说？

这个图，圆锥顶点是O，平面交圆锥是一个封闭曲线，假设上面有一个点X。下面证明X到两个顶点距离之和为定长。


在圆锥内会有一个内切圆，和圆锥相切（上面的切圆），和平面相切（切点为A）。
在圆锥内会还有一个内切圆，和圆锥相切（下面的切圆），和平面相切（切点为B）。

设XO交上切圆于P，那么XA=XP
设XO交下切圆于Q，那么XB=XQ

则XA + XB＝XP + XQ = PQ

[YWY]

这个图，圆锥顶点是O，平面交圆锥是一个封闭曲线，假设上面有一个点X。下面证明X到两个顶点距离之和为定长。


在圆锥内会有一个内切圆，和圆锥相切（上面的切圆），和平面相切（切点为A）。
在圆锥内会还有一个内切圆，和圆锥相切（下面的切圆），和平面相切（切点为B）。

设XO交上切圆于P，那么XA=XP
设XO交下切圆于Q，那么XB=XQ

则XA + XB＝XP + XQ = PQ

谢！厉害！学习了。

PQ的长度和点X无关（只要X在交叉曲线上），定长。

别介意啊，我纠正你上面一个术语：OX那条线好像叫圆锥的母线，不是法线（法线一般指垂直于曲面的直线）。

[bihai]

谢！厉害！学习了。

PQ的长度和点X无关（只要X在交叉曲线上），定长。

别介意啊，我纠正你上面一个术语：OX那条线好像叫圆锥的母线，不是法线（法线一般指垂直于曲面的直线）。

对，是母线。我一定是中文越来越差了，多少年不说这个词了，谢谢纠正。

[翻墙五毛]

你妈，问你们如何从直觉理解。一帮孔乙己又开始列方程了。怪不得说是小镇做题家

[laodongzhe18]

数学上很多“不变”是反直觉的，必须用公式来理解。

你妈，问你们如何从直觉理解。一帮孔乙己又开始列方程了。怪不得说是小镇做题家

[mesofish]

此帖转自 翻墙五毛 在 军事天地（Military） 的帖子：如何直观的理解圆锥的切面是个椭圆？

知道孔乙己们又要掉书袋了：”不只是椭圆，还有正圆，抛物线，双曲线。”你妈，这里问的只是椭圆。

圆柱斜着切一刀，切出个椭圆很好理解，符合直觉，因为圆柱两头一样粗。圆锥一头尖一头粗，为啥切出来也是个椭圆？按照直觉，不应该是像鸡蛋一样一头大一头小吗？不要扯什么椭圆函数xy，这里讨论的是直觉

你把切出来的椭圆和圆锥高线比，
确实是一头大一头小
但高线和椭圆相交不在椭圆中点，
所以就算一头大一头小也不影响椭圆对称

[FGH]

我也有一个关于椭圆的疑惑。我可以直观理解椭圆是圆被压扁的结果。
但是如何直观的理解椭圆的两个焦点？
从一个焦点发射的光线经过椭圆反弹必定到达另一个焦点。

[huangchong]

这个图，圆锥顶点是O，平面交圆锥是一个封闭曲线，假设上面有一个点X。下面证明X到两个顶点距离之和为定长。


在圆锥内会有一个内切圆，和圆锥相切（上面的切圆），和平面相切（切点为A）。
在圆锥内会还有一个内切圆，和圆锥相切（下面的切圆），和平面相切（切点为B）。

设XO交上切圆于P，那么XA=XP
设XO交下切圆于Q，那么XB=XQ

则XA + XB＝XP + XQ = PQ

厉害厉害 非常精彩