新未名空间

forecasting 写了： 2024年 1月 16日 22:43 先引wikipedia有关丢番图几何的定理：

“设C为一个非特异的、位于有理数域上且亏格数为g的代数曲线，则C上的有理点可由下列关系决定：

当g = 0时，C要不没有有理点，要不有无限多的有理点，此情况下C可视为圆锥曲线。
当g = 1时，C没有有理点，或者为一个有理点构成有限生成阿贝尔群的椭圆曲线（此即莫德尔定理，之后被推广为莫德尔－韦伊定理）；此外，马祖尔挠定理对相关的挠子群的结构做出限制。
当g > 1时，根据现在又称法尔廷斯定理的莫德尔猜想，C只有有限多的有理点。”


三种情景下，有无解都可判定吗？假设不知道任何一个解，都有算法求出各个解吗？

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 09:06 谁来总结一下现有知识也好。

我看了Silverman的Elliptic Curve的书，想不起哪里明确地说过有没有通用算法判定有没有有理解。

我印象Elliptic Curve应该是没有。圆锥曲线应该有吧。

changbaihou 写了： 2024年 1月 17日 11:02 我只说说我印象中知道的，如果不准确的话见谅。好多年前当研究生时做过椭圆曲线，后来就没太关心过了。

关于找Q上曲线的有理点，genus 0的曲线不用说，太简单了。印象中genus大于等于2的曲线也有有效算法。椭圆曲线独成特殊一档，因为可能有无穷多有理点，但又不像二次曲线那么简单。Torsion part通过Nagell-Lutz定理可以很轻松地确定，自由部分没有有效可行的办法，我印象中就是蛮干。当然“蛮干”中肯定也有不少trick(比如递降法，local方法，。。。)，我不做计算也不熟。我一个师弟专做计算，以前用MAGMA和SAGE算椭圆曲线算得很来劲。

给定一条椭圆曲线，其L-函数在s=1的阶是可以确定的。所以，假设BSD猜想的话，我们起码知道蛮干到啥地步停下来。从理论上来说，如果知道椭圆曲线的Mordell-Weil rank大于零的话，那曲线上(canonical) height\leq X的有理点个数是有渐近公式的(depending on the rank though)，而且(heuristically) 在一定X界下的有理点应该包含了所有free part的一组生成元。但是这些渐近结果并不是effective的，所以对一条给定elliptic curve，目前并没有个确定的界X，说是找出height小于等于X的有理点就搞定了。所以只能边找有理点边检测己有点的linear dependence，直到找到一组生成元。

我们常常看到说有人确定某条椭圆曲线rank大于等于8 (for example)，而不是说等于8。有可能是计算太复杂，找到一组8个点的线性无关组就停了。但也有可能其实解析rank就是8，但是因为是基于未证实的BSD猜想，严谨点就只能说是大于等于8。如果愿意的话，很多情况下其实是可以确定rank的。比如，如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话，它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。

以上仅根据我的记忆，可能有不准确的地方。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 11:40 谢谢。

Silverman那本GTM书，我看到Tate-Shafarevich group和Selmer group就看不动了，太复杂。

一个椭圆曲线的第一个有理点是怎么算的呢？有没有算法？

changbaihou 写了： 2024年 1月 17日 11:50 俺不知啊。你可以搜搜看有没有Magma或者Sage比较detailed的介绍，看看他们怎么弄的。

changbaihou 写了： 2024年 1月 17日 11:53 如果椭圆曲线有2-torsion，尤其是有full 2-torsion时，我能想像2-descent应该是最intuitive的approach。

There is no general method to find the first rational point on an elliptic curve, as this problem is equivalent to finding the rank of the elliptic curve, which is a notoriously difficult and unsolved problem in number theory. However, there are some special cases where the first rational point can be found by using some algebraic or geometric techniques.

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 11:59 谢谢。

搜到的说法是没有general method。但是特殊情况下，应该很多大类情况下，有一些方法。

2-torsion，那就是y=0的点吧？那倒是容易检查。

changbaihou 写了： 2024年 1月 17日 11:02 比如，如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话，它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 12:24 Tate-Shafarevich和Selmer group这里，Silverman的书讲得太复杂，我跟不上了。你有没有比较平易近人的讲法？

changbaihou 写了： 2024年 1月 17日 11:02 我只说说我印象中知道的，如果不准确的话见谅。好多年前当研究生时做过椭圆曲线，后来就没太关心过了。

关于找Q上曲线的有理点，genus 0的曲线不用说，太简单了。印象中genus大于等于2的曲线也有有效算法。椭圆曲线独成特殊一档，因为可能有无穷多有理点，但又不像二次曲线那么简单。Torsion part通过Nagell-Lutz定理可以很轻松地确定，自由部分没有有效可行的办法，我印象中就是蛮干。当然“蛮干”中肯定也有不少trick(比如递降法，local方法，。。。)，我不做计算也不熟。我一个师弟专做计算，以前用MAGMA和SAGE算椭圆曲线算得很来劲。

给定一条椭圆曲线，其L-函数在s=1的阶是可以确定的。所以，假设BSD猜想的话，我们起码知道蛮干到啥地步停下来。从理论上来说，如果知道椭圆曲线的Mordell-Weil rank大于零的话，那曲线上(canonical) height\leq X的有理点个数是有渐近公式的(depending on the rank though)，而且(heuristically) 在一定X界下的有理点应该包含了所有free part的一组生成元。但是这些渐近结果并不是effective的，所以对一条给定elliptic curve，目前并没有个确定的界X，说是找出height小于等于X的有理点就搞定了。所以只能边找有理点边检测己有点的linear dependence，直到找到一组生成元。

我们常常看到说有人确定某条椭圆曲线rank大于等于8 (for example)，而不是说等于8。有可能是计算太复杂，找到一组8个点的线性无关组就停了。但也有可能其实解析rank就是8，但是因为是基于未证实的BSD猜想，严谨点就只能说是大于等于8。如果愿意的话，很多情况下其实是可以确定rank的。比如，如果一条椭圆曲线有trivial的Tate-Shafarevich group的话，它的Selmer group的rank和Mordell-Weil rank是一样的。而Selmer group好算多了。

以上仅根据我的记忆，可能有不准确的地方。

FoxMe 写了： 2024年 1月 17日 12:42 这里我也没看懂。Tate-Shafarevich group类似于class group.

Class group：failure of principal ideal domain.
Tate-Shafarevich group: failure of local-global principle.

Local-global principle对二次成立，但是椭圆曲线是三次的，就不成立了。

Tate-Shafarevich和Selmer group都是针对abelian variety定义的。Selmer group是针对isogeny，是干啥的呢？

The local-global principle is a philosophy in mathematics that states that some problems or properties over a global field (such as the rational numbers) can be studied by examining them over local fields (such as the real numbers and the p-adic numbers). The idea is that a solution over the global field can be obtained by combining solutions over the local fields, or vice versa.

One example of the local-global principle is the Hasse-Minkowski theorem, which says that a quadratic equation over the rational numbers has a rational solution if and only if it has a solution over the real numbers and over the p-adic numbers for every prime p. Another example is the Hasse principle for cyclic extensions, which says that an element of a number field is a relative norm for a cyclic extension if and only if it is a relative norm for every completion of the number field.

However, the local-global principle does not always hold, and there are counterexamples where a solution exists over all local fields but not over the global field, or vice versa. For instance, the cubic equation 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0 has a solution over the real numbers and over every p-adic field, but it has no nontrivial rational solution. This shows that the Hasse-Minkowski theorem does not extend to cubic forms.

The local-global principle is a philosophy in mathematics that states that some problems or properties over a global field (such as the rational numbers) can be studied by examining them over local fields (such as the real numbers and the p-adic numbers).

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 14:27 Real number是local field，我觉得挺费解的。Real number和p-adic number有什么共同点呢？

而complex number不是local field。那么就是global field了？

In mathematics, a field K is called a (non-Archimedean) local field if it is complete with respect to a topology induced by a discrete valuation v and if its residue field k is finite.[1] Equivalently, a local field is a locally compact topological field with respect to a non-discrete topology.[2] Sometimes, real numbers R, and the complex numbers C (with their standard topologies) are also defined to be local fields; this is the convention we will adopt below.

FoxMe 写了： 2024年 1月 17日 16:32 BSD猜想的这个公式可能是数论里最牛的公式：

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 16:49 r是rank吗？L^(r)是r阶导数吗？

TheMatrix 写了： 2024年 1月 17日 12:24 Tate-Shafarevich和Selmer group这里，Silverman的书讲得太复杂，我跟不上了。你有没有比较平易近人的讲法？