一个求导问题

[TheMatrix]

假设f是一个modular form of weight k，也就是f: H --> C，analytic on the upper half complex plane，并且满足modularity condition：
1，f(z+1)=f(z)
2，f(-1/z)=z^kf(z)

那么 f 的导函数 f' 满足什么modularity condition？也就是 f'(z+1) 以及 f'(-1/z) 和 f'(z)的关系是什么。

[弃婴千枝]

假设f是一个modular form of weight k，也就是f: H --> C，analytic on the upper half complex plane，并且满足modularity condition：
1，f(z+1)=f(z)
2，f(-1/z)=z^kf(z)

那么 f 的导函数 f' 满足什么modularity condition？也就是 f'(z+1) 以及 f'(-1/z) 和 f'(z)的关系是什么。

你找本string theory读读不就知道了么

[Caravel]

假设f是一个modular form of weight k，也就是f: H --> C，analytic on the upper half complex plane，并且满足modularity condition：
1，f(z+1)=f(z)
2，f(-1/z)=z^kf(z)

那么 f 的导函数 f' 满足什么modularity condition？也就是 f'(z+1) 以及 f'(-1/z) 和 f'(z)的关系是什么。

用定义就可以了把
f'(z+1) = lim f(z + 1 + dz) - f(z + 1) / dz = lim f(z+dz) - f(z)/dz = f'(z)
f'(-1/z) = z^kf'(z) + k z^k-1 f(z) 链式法则

直观上也可以理解，周期函数，导数肯定也是周期函数

[TheMatrix]

你找本string theory读读不就知道了么

这是玩一下，最好不要翻书。而且最好简化一下结果，这样才能和我出的问题对上。

[TheMatrix]

用定义就可以了把
f'(z+1) = lim f(z + 1 + dz) - f(z + 1) / dz = lim f(z+dz) - f(z)/dz = f'(z)
f'(-1/z) = z^kf'(z) + k z^k-1 f(z) 链式法则

直观上也可以理解，周期函数，导数肯定也是周期函数

还是不完全对。

[Caravel]

还是不完全对。

哪里不对？

[弃婴千枝]

哪里不对？

你没问题。
是楼主不理解什么叫modular，他的问题定义是错误的
应该给出modular group定义

z---->(az+b)/(cz+d)

他完全没有提出，整个问题定义错误

https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group

[弃婴千枝]

用定义就可以了把
f'(z+1) = lim f(z + 1 + dz) - f(z + 1) / dz = lim f(z+dz) - f(z)/dz = f'(z)
f'(-1/z) = z^kf'(z) + k z^k-1 f(z) 链式法则

直观上也可以理解，周期函数，导数肯定也是周期函数

对了
你需要令K=0
结果就对了
只有k=0,导数仍然是modular
没有modular的定义引入，你看不出需要k=0

[TheMatrix]

哪里不对？

差一点点。先等其他人回答一下。

[forecasting]

你找本string theory读读不就知道了么

为啥不找复分析，代数几何或者数论看？一听弦论就头大。非数学非物理非驴非马的四不像

[弃婴千枝]

为啥不找复分析，代数几何或者数论看？一听弦论就头大。非数学非物理非驴非马的四不像

因为这莫名其妙的玩意都是string theory里搞出来的，后来数学也开始搞了，

路线图是string theory--->2 dimensional conformal field theory--->数学

[TheMatrix]

用定义就可以了把
f'(z+1) = lim f(z + 1 + dz) - f(z + 1) / dz = lim f(z+dz) - f(z)/dz = f'(z)
f'(-1/z) = z^kf'(z) + k z^k-1 f(z) 链式法则

直观上也可以理解，周期函数，导数肯定也是周期函数

这个问题的trick在于：

(d/dz)f(-1/z) != f'(-1/z)

你用链式法则求得是(d/dz)f(-1/z)，而原问题关心的是f'(-1/z)。

(d/dz)f(-1/z)=f'(-1/z)z^-2
所以
f'(-1/z)=z^k+2f'(z)+kz^k+1f(z)

这可以说是一个bad notation。但是含义上的区别可以说清楚：
(d/dz)f(-1/z)是f(z)先代入z=-1/z，得到一个新的z的函数，然后求z的导数。
而f'(-1/z)是f(z)先求z的导数，得到一个z的函数，也就是导函数，然后代入z=-1/z。

[OPQ]

假设f是一个modular form of weight k，也就是f: H --> C，analytic on the upper half complex plane，并且满足modularity condition：
1，f(z+1)=f(z)
2，f(-1/z)=z^kf(z)

那么 f 的导函数 f' 满足什么modularity condition？也就是 f'(z+1) 以及 f'(-1/z) 和 f'(z)的关系是什么。

f'(-1/z) 和 f'(z) 当然是相关的，

但这个关系不再是 modularity condition 了。

或者说，modular form 的导数就不再是 modular form 了。

完结，撒花。

[Caravel]

这个问题的trick在于：

(d/dz)f(-1/z) != f'(-1/z)

你用链式法则求得是(d/dz)f(-1/z)，而原问题关心的是f'(-1/z)。

(d/dz)f(-1/z)=f'(-1/z)z^-2
所以
f'(-1/z)=z^k+2f'(z)+kz^k+1f(z)

这可以说是一个bad notation。但是含义上的区别可以说清楚：
(d/dz)f(-1/z)是f(z)先代入z=-1/z，得到一个新的z的函数，然后求z的导数。
而f'(-1/z)是f(z)先求z的导数，得到一个z的函数，也就是导函数，然后代入z=-1/z。

是的，看了弃婴的例子我也意识到了

[TheMatrix]

f'(-1/z) 和 f'(z) 当然是相关的，

但这个关系不再是 modularity condition 了。

或者说，modular form 的导数就不再是 modular form 了。

完结，撒花。

不是狭义的modular form。但是modularity这个概念可以扩展。modularity本身并没有定义。

[forecasting]

因为这莫名其妙的玩意都是string theory里搞出来的，后来数学也开始搞了，

路线图是string theory--->2 dimensional conformal field

椭圆函数起源于1800年左右，后来庞加莱在1900年之前还弄出了自守形式，算模函数的推广吧。

当然物理出身的都往往觉得数学都起源于物理。而这种想法在20世纪或之前往往是对的

[GRH]

因为这莫名其妙的玩意都是string theory里搞出来的，后来数学也开始搞了，

路线图是string theory--->2 dimensional conformal field theory--->数学

String theory才几十年的时间？Modular forms一百多年前就开始研究了，就连自守型的研究都有百年了。关于椭圆曲线modularity的Shimura-Taniyama Conjecture的提出都比string theory早十几年。