Clifford Algebra

[TheMatrix]

Clifford Algebra我学过好几次了。

最早是从纯代数学习，学得有点不明所以。

上次和Caravel以及FoxMe的讨论学到了不少东西，一个是以基矢量的方式表达Clifford algebra的乘法结构，非常具体，非常清楚，也非常具有可计算性。另一个是Clifford algebra对基矢量空间的反射和旋转的作用。这应该也是Clifford algebra得名geometric algebra的原因。

最近一次是学Dirac方程γ matrix。

并没有完全理清，还有一些问题。打算总结一下。

[TheMatrix]

Clifford Algebra我学过好几次了。

最早是从纯代数学习，学得有点不明所以。

上次和Caravel以及FoxMe的讨论学到了不少东西，一个是以基矢量的方式表达Clifford algebra的乘法结构，非常具体，非常清楚，也非常具有可计算性。另一个是Clifford algebra对基矢量空间的反射和旋转的作用。这应该也是Clifford algebra得名geometric algebra的原因。

最近一次是学Dirac方程γ matrix。

并没有完全理清，还有一些问题。打算总结一下。

还是从基矢量的方式开始，因为这是最具体，最容易上手的方式。

也就是一个实向量空间，V，vector space over the real，上面有一个metric，先想象成一个Euclidean space。那么它有正交归一的基矢量，假设有3个，e₁,e₂,e₃，也就是V是3维Eucliean space。

想要在V上构造出一个乘法，使得
e₁²=e₂²=e₃²=1
e₁e₂=-e₂e₁
e₂e₃=-e₃e₂
e₃e₁=-e₁e₃

为什么要构造这样的东西？

我看到的第一个动机是Dirac方程γ matrix。

欧几里得空间的旋转和反射，当然也可以用到这个结构。但是感觉是先发现这个结构，然后才发现它可以在欧几里得空间的旋转和反射中用到。

[TheMatrix]

还是从基矢量的方式开始，因为这是最具体，最容易上手的方式。

也就是一个实向量空间，V，vector space over the real，上面有一个metric，先想象成一个Euclidean space。那么它有正交归一的基矢量，假设有3个，e₁,e₂,e₃，也就是V是3维Eucliean space。

想要在V上构造出一个乘法，使得
e₁²=e₂²=e₃²=1
e₁e₂=-e₂e₁
e₂e₃=-e₃e₂
e₃e₁=-e₁e₃

当时只知道要什么，但是不知道这个东西具体是个什么，在什么空间。

在什么空间很重要 - 这就是回答“这个东西具体是个什么”的问题的。

e₁²=e₂²=e₃²=1，这个表明两个向量相乘可以变成一个数。但是这个乘法又不是inner product，因为：

e₁e₂=-e₂e₁
e₂e₃=-e₃e₂
e₃e₁=-e₁e₃

这三条只说明，两个基向量相乘，换序导致变号，但是并没有说相乘得到的是一个数。

事实上我们不想要两个不同的基向量相乘等于一个数，我们想要的是最自由的相乘 - 只subject to 换序变号。

那我们只能说e₁e₂是个新的东西，不在V中，也不是一个数。

[FoxMe]

数学上我基本理解了，但是怎么和物理联系上，我还没打通。

Dirac γ matrix:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices

[TheMatrix]

当时只知道要什么，但是不知道这个东西具体是个什么，在什么空间。

在什么空间很重要 - 这就是回答“这个东西具体是个什么”的问题的。

e₁²=e₂²=e₃²=1，这个表明两个向量相乘可以变成一个数。但是这个乘法又不是inner product，因为：

e₁e₂=-e₂e₁
e₂e₃=-e₃e₂
e₃e₁=-e₁e₃

这三条只说明，两个基向量相乘，换序导致变号，但是并没有说相乘得到的是一个数。

事实上我们不想要两个不同的基向量相乘等于一个数，我们想要的是最自由的相乘 - 只subject to 换序变号。

那我们只能说e₁e₂是个新的东西，不在V中，也不是一个数。

e₂e₃,e₃e₁也都是新东西。但是e₂e₁不是，因为它应等于-e₁e₂。

e₁e₂e₃也应该是个新东西，因为e₁e₂是一个东西，它应该可以和e₃相乘，也就是我们要造是一个对乘法封闭的空间。

这样实验一下就发现，我们要造的是一个代数，首先是一个线性空间，然后有乘法，这个空间对乘法要封闭。乘法的符号可以省略，比如e₁e₂就代表了e₁和e₂的乘法。e₁e₂e₃代表三个东西的乘法，有结合律，所以不需要括号。

那么它是由下面这些元素线性组合出来的：
1，(1) - 里面要有1，作为单位元。
2，(e₁,e₂,e₃) - 它们张成线性空间V，所以我们要造的这个代数包含V作为子空间。
3，(e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁) - grade 2
4，(e₁e₂e₃) - grade 3

不能再多了。因为比如e₁e₂e₃e₁e₃，
e₁e₂e₃e₁e₃
=e₁e₁e₂e₃e₃ -- 第四个e₁和前面的两个元素换序两次，负负得正。
=e₂e₃e₃ -- 前两个e₁相乘等于1。
=e₂ -- 后两个e₃相乘等于1。

所以这个algebra由是8个元素线性张成的线性空间，1+3+3+1=8。这个algebra的线性基是有V的基矢量组合而成的，个数为2³=8。这就是Clifford algebra (over V)。

[TheMatrix]

e₂e₃,e₃e₁也都是新东西。但是e₂e₁不是，因为它应等于-e₁e₂。

e₁e₂e₃也应该是个新东西，因为e₁e₂是一个东西，它应该可以和e₃相乘，也就是我们要造是一个对乘法封闭的空间。

这样实验一下就发现，我们要造的是一个代数，首先是一个线性空间，然后有乘法，这个空间对乘法要封闭。乘法的符号可以省略，比如e₁e₂就代表了e₁和e₂的乘法。e₁e₂e₃代表三个东西的乘法，有结合律，所以不需要括号。

那么它是由下面这些元素线性组合出来的：
1，(1) - 里面要有1，作为单位元。
2，(e₁,e₂,e₃) - 它们张成线性空间V，所以我们要造的这个代数包含V作为子空间。
3，(e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁) - grade 2
4，(e₁e₂e₃) - grade 3

不能再多了。因为比如e₁e₂e₃e₁e₃，
e₁e₂e₃e₁e₃
=e₁e₁e₂e₃e₃ -- 第四个e₁和前面的两个元素换序两次，负负得正。
=e₂e₃e₃ -- 前两个e₁相乘等于1。
=e₂ -- 后两个e₃相乘等于1。

所以这个algebra由是8个元素线性张成的线性空间，1+3+3+1=8。这个algebra的线性基是有V的基矢量组合而成的，个数为2³=8。这就是Clifford algebra (over V)。

这是一个代数，也就是它既可以加，又可以乘。

比如e₁e₂，e₂e₃e₁，这是乘出来的。

还可以加：4e₁e₂+ 5e₂e₃e₁，这是加出来的。

加完了还可以乘：
(4e₁e₂+ 5e₂e₃e₁)(e₁-3e₂e₃)

就按照分配律，把括号打开相乘，和polynomial相乘一样。然后再用换序，以及相同基矢量相乘等于1的规则相消。最后得到一个像多项式一样的结果。这就是这个Clifford algebra里面的一个typical元素的样子。

[TheMatrix]

e₂e₃,e₃e₁也都是新东西。但是e₂e₁不是，因为它应等于-e₁e₂。

e₁e₂e₃也应该是个新东西，因为e₁e₂是一个东西，它应该可以和e₃相乘，也就是我们要造是一个对乘法封闭的空间。

这样实验一下就发现，我们要造的是一个代数，首先是一个线性空间，然后有乘法，这个空间对乘法要封闭。乘法的符号可以省略，比如e₁e₂就代表了e₁和e₂的乘法。e₁e₂e₃代表三个东西的乘法，有结合律，所以不需要括号。

那么它是由下面这些元素线性组合出来的：
1，(1) - 里面要有1，作为单位元。
2，(e₁,e₂,e₃) - 它们张成线性空间V，所以我们要造的这个代数包含V作为子空间。
3，(e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁) - grade 2
4，(e₁e₂e₃) - grade 3

不能再多了。因为比如e₁e₂e₃e₁e₃，
e₁e₂e₃e₁e₃
=e₁e₁e₂e₃e₃ -- 第四个e₁和前面的两个元素换序两次，负负得正。
=e₂e₃e₃ -- 前两个e₁相乘等于1。
=e₂ -- 后两个e₃相乘等于1。

所以这个algebra由是8个元素线性张成的线性空间，1+3+3+1=8。这个algebra的线性基是有V的基矢量组合而成的，个数为2³=8。这就是Clifford algebra (over V)。

把这个过程稍微抽象一下，以计算机的语言：

也就是有一个alphabet {e₁,e₂,e₃,...}。由它组成word。有两个规则：
1，相邻的两个letter如果相同，可以相消。比如e₁e₁=1.
2，相邻的两个letter如果不同，可以换序同时变号。比如e₂e₁=-e₁e₂

根据这两个规则，一个word可以正则化 - letter按照下标顺序排列。

一个有限alphabet只能有2ⁿ个正则化的word，其中包括一个空word，n是alphabet的letter个数。

Clifford algebra就是由这2ⁿ个word张成的线性空间。乘法的定义按照多项式相乘。

[TheMatrix]

把这个过程稍微抽象一下，以计算机的语言：

也就是有一个alphabet {e₁,e₂,e₃,...}。由它组成word。有两个规则：
1，相邻的两个letter如果相同，可以相消。比如e₁e₁=1.
2，相邻的两个letter如果不同，可以换序同时变号。比如e₂e₁=-e₁e₂

根据这两个规则，一个word可以正则化 - letter按照下标顺序排列。

一个有限alphabet只能有2ⁿ个正则化的word，其中包括一个空word，n是alphabet的letter个数。

Clifford algebra就是由这2ⁿ个word张成的线性空间。乘法的定义按照多项式相乘。

这就是Clifford algebra over a Euclidean space。又叫geometric algebra。因为它有一个重要的应用，就是计算欧几里得空间中的反射和旋转。

有一个重要的观察：任何一个旋转都可以由两次反射实现。

这一点可以这么看：一次反射是一个改变基矢量集合手性，（左手定则，右手定则），的线性变换。那么两次反射就负负得正，不改变基矢量集合的手性，那么它只能是一个旋转。

比如两个欧几里得空间中的向量 u,v ∈ V。因为V本身是Clifford algebra Cl(V)的子空间，所以u,v既是V中的向量，也是Cl(V)中的元素，可以相乘。

u可以相对v的法平面反射。这个反射可以表示为v.u，它可以由Clifford algebra来计算：
v.u = -vuv^-1

等式右边是Clifford algebra的乘法。v^-1是v在Clifford algebra中的逆元素：vv^-1=1。

注：V中每个非零向量都有逆元素。比如v=e₁+2e₂，v^-1可以通过待定系数法确定：设v^-1=Ae₁+Be₂+Ce₃。vv^-1=1，展开可以定A,B,C。

两次反射（也就是一个旋转）就是：
v₂.(v₁.u)
=v₂.(-v₁uv₁^-1)
=v₂v₁uv₁^-1v₂^-1

把这些向量都用基矢量线性组合的方式表示，逆元素，Clifford algebra的乘法，都是很容易以computer algebra实现的。

这就是Clifford algebra作为geometric algebra的应用。

[TheMatrix]

这就是Clifford algebra over a Euclidean space。又叫geometric algebra。因为它有一个重要的应用，就是计算欧几里得空间中的反射和旋转。

有一个重要的观察：任何一个旋转都可以由两次反射实现。

这一点可以这么看：一次反射是一个改变基矢量集合手性，（左手定则，右手定则），的线性变换。那么两次反射就负负得正，不改变基矢量集合的手性，那么它只能是一个旋转。

比如两个欧几里得空间中的向量 u,v ∈ V。因为V本身是Clifford algebra Cl(V)的子空间，所以u,v既是V中的向量，也是Cl(V)中的元素，可以相乘。

u可以相对v的法平面反射。这个反射可以表示为v.u，它可以由Clifford algebra来计算：
v.u = -vuv^-1

等式右边是Clifford algebra的乘法。v^-1是v在Clifford algebra中的逆元素：vv^-1=1。

注：V中每个非零向量都有逆元素。比如v=e₁+2e₂，v^-1可以通过待定系数法确定：设v^-1=Ae₁+Be₂+Ce₃。vv^-1=1，展开可以定A,B,C。

两次反射（也就是一个旋转）就是：
v₂.(v₁.u)
=v₂.(-v₁uv₁^-1)
=v₂v₁uv₁^-1v₂^-1

把这些向量都用基矢量线性组合的方式表示，逆元素，Clifford algebra的乘法，都是很容易以computer algebra实现的。

这就是Clifford algebra作为geometric algebra的应用。

但是要注意这个v.u = -vuv^-1并不构成“作用”（action）。也就是
v₂.(v₁.u) != (v₂v₁).u

左边=v₂v₁uv₁^-1v₂^-1
而右边=-v₂v₁uv₁^-1v₂^-1

就差那么一点点。

但是不构成“作用”就不构成表示（representation）。因为表示实际上就是作用：
ρ: Cl(V) --> End(V)

它必须是一个乘法的homomorphism：也就是Cl(V)这边的乘法v₂v₁，到了V这边，必须是(v₂.)和(v₁.)作为V上linear transformation的乘法，也就是matrix的乘法。

只差一个符号。差的这一点点可能和spinor有点联系。不过我也没想清楚。

[TheMatrix]

但是要注意这个v.u = -vuv^-1并不构成“作用”（action）。也就是
v₂.(v₁.u) != (v₂v₁).u

左边=v₂v₁uv₁^-1v₂^-1
而右边=-v₂v₁uv₁^-1v₂^-1

就差那么一点点。

但是不构成“作用”就不构成表示（representation）。因为表示实际上就是作用：
ρ: Cl(V) --> End(V)

它必须是一个乘法的homomorphism：也就是Cl(V)这边的乘法v₂v₁，到了V这边，必须是(v₂.)和(v₁.)作为V上linear transformation的乘法，也就是matrix的乘法。

只差一个符号。差的这一点点可能和spinor有点联系。不过我也没想清楚。

Euclidean space上的Clifford algebra差不多就是这些了。

接下来就是把Euclidean space稍微扩展一点点，也就是这个vector space V上不是inner product了，而是允许一个非正定的metric。也就是有一个nondegenerate symmetric bilinear form B: V×V --> R，考虑的还是实数，vector space over the real，值域也是实数。

这个和inner product很像，只不过允许<v,v>是一个负数。但是它仍然有正交归一的基矢量。

这个又等价于一个quadratic form，Q: V --> R，Q(v)=B(v,v)。

这样的一个空间，其metric有一个signature，也就是正交归一的基矢量中，有几个是Q(v)=B(v,v)=+1的，有几个是Q(v)=B(v,v)=-1的。假设一个4维空间，其metric有一个是正的，三个是负的，那它的signature就是(+---)。

signature和基矢量的顺序无关，只和正负的数量有关。

假设一个vector space V over the real 有一个metric，它的signature是p个正的，q个负的。注意它仍然有正交归一的基矢量集合，因此前面以基矢量定义Clifford algebra的方法仍然适用。这样的一个Clifford algebra就表示为Cl(p,q)。

[TheMatrix]

Euclidean space上的Clifford algebra差不多就是这些了。

接下来就是把Euclidean space稍微扩展一点点，也就是这个vector space V上不是inner product了，而是允许一个非正定的metric。也就是有一个nondegenerate symmetric bilinear form B: V×V --> R，考虑的还是实数，vector space over the real，值域也是实数。

这个和inner product很像，只不过允许<v,v>是一个负数。但是它仍然有正交归一的基矢量。

这个又等价于一个quadratic form，Q: V --> R，Q(v)=B(v,v)。

这样的一个空间，其metric有一个signature，也就是正交归一的基矢量中，有几个是Q(v)=B(v,v)=+1的，有几个是Q(v)=B(v,v)=-1的。假设一个4维空间，其metric有一个是正的，三个是负的，那它的signature就是(+---)。

signature和基矢量的顺序无关，只和正负的数量有关。

假设一个vector space V over the real 有一个metric，它的signature是p个正的，q个负的。注意它仍然有正交归一的基矢量集合，因此前面以基矢量定义Clifford algebra的方法仍然适用。这样的一个Clifford algebra就表示为Cl(p,q)。

一个vector space over the real上的metric，为什么会有signature呢？而signature为什么只和正负基矢量的数量有关，而和顺序无关呢？

因为一个metric所引起的代数结构，我们只关心到up to equivalence by coordinate change。Coordinate change也就是V上的一个invertible linear transformation。也就是一个实数matrix。也就是一组基矢量到另一组基矢量的一一映射。它相当于relabeling V上的向量。我们认为坐标变换不是“物理的”。它不应该影响什么。

而坐标变换（因为我们考虑的是vector space over the real，坐标变换也是实数matrix）只能改变正负基矢量的顺序，不能改变其数量。所以只有其数量是有意义的。也就是signature。

[TheMatrix]

一个vector space over the real上的metric，为什么会有signature呢？而signature为什么只和正负基矢量的数量有关，而和顺序无关呢？

因为一个metric所引起的代数结构，我们只关心到up to equivalence by coordinate change。Coordinate change也就是V上的一个invertible linear transformation。也就是一个实数matrix。也就是一组基矢量到另一组基矢量的一一映射。它相当于relabeling V上的向量。我们认为坐标变换不是“物理的”。它不应该影响什么。

而坐标变换（因为我们考虑的是vector space over the real，坐标变换也是实数matrix）只能改变正负基矢量的顺序，不能改变其数量。所以只有其数量是有意义的。也就是signature。

signature这个概念只在vector space over the real上有意义。

假设考虑一个vector space over the complex。它也可以有一个metric，也就是nondegenerator symmetric bilinear form，或者quadratic form。但是在考虑equivalence up to coordinate change的时候，我们考虑的是complex matrix的坐标变换。这时就不存在所谓正基矢量和负基矢量了，因为一个负基矢量v，也就是Q(v)=B(v,v)=-1，那么乘以一个i，变成v'=iv，它就成了一个正基矢量Q(v')=B(v',v')=1。

所以vector space over the complex上的metric变简单了，它没有signature这个概念了。或者说全是正的。

但是基矢量这个概念还是存在的，也就是还是有正交归一的基矢量集合。

那么以基矢量的方式定义的Clifford algebra就仍然适用。这个Clifford algebra还是由基矢量以及基矢量相乘这些元素线性组合出来的。只不过线性组合的系数允许复数。这就叫Clifford algebra over the complex。

[FoxMe]

复数域上，给定维数n,只有一个Clifford algebra

Classification of complex Clifford algebras
n Cl_n(C) Cl^[0]_n(C) N
even End(C_N) End(C_N/2) ⊕ End(C_N/2) 2^n/2
odd End(C_N) ⊕ End(C_N) End(C_N) 2^(n−1)/2

[TheMatrix]

signature这个概念只在vector space over the real上有意义。

假设考虑一个vector space over the complex。它也可以有一个metric，也就是nondegenerator symmetric bilinear form，或者quadratic form。但是在考虑equivalence up to coordinate change的时候，我们考虑的是complex matrix的坐标变换。这时就不存在所谓正基矢量和负基矢量了，因为一个负基矢量v，也就是Q(v)=B(v,v)=-1，那么乘以一个i，变成v'=iv，它就成了一个正基矢量Q(v')=B(v',v')=1。

所以vector space over the complex上的metric变简单了，它没有signature这个概念了。或者说全是正的。

但是基矢量这个概念还是存在的，也就是还是有正交归一的基矢量集合。

那么以基矢量的方式定义的Clifford algebra就仍然适用。这个Clifford algebra还是由基矢量以及基矢量相乘这些元素线性组合出来的。只不过线性组合的系数允许复数。这就叫Clifford algebra over the complex。

接下来就是分析Cl(p,q)的结构了。差不多也是Cl(p,q)的表示。

Cl(p,q)是the Clifford algebra of the vector space over the real with a metric of signature (p+,q-)。其vector space是一个real vector space - vector space over the real。其Clifforad algebra也是over the real，意思是线性组合的时候只考虑实系数。Vector space的dimension是n=p+q。

n=0, p=q=0。也就是0 vector space。0 vector space也要有系数。因为Clifford algebra是unital associative algebra，是要有1的。有1就有数域。它是在vector space之外的。所以Cl(0,0)=R。也就是实数域。

n=1。
p=1,q=0。Cl(1,0)有一个生成元e₁ with e₁²=1。这是algebra生成元。Cl(1,0)作为线性空间的话，有两个生成元 {1,e₁}。这个是等于R²的。但是怎么个等于，还要有一个映射。

[TheMatrix]

复数域上，给定维数n,只有一个Clifford algebra

Classification of complex Clifford algebras
n Cl_n(C) Cl^[0]_n(C) N
even End(C_N) End(C_N/2) ⊕ End(C_N/2) 2^n/2
odd End(C_N) ⊕ End(C_N) End(C_N) 2^(n−1)/2

对。后半段我回头再考虑。

[TheMatrix]

接下来就是分析Cl(p,q)的结构了。差不多也是Cl(p,q)的表示。

Cl(p,q)是the Clifford algebra of the vector space over the real with a metric of signature (p+,q-)。其vector space是一个real vector space - vector space over the real。其Clifforad algebra也是over the real，意思是线性组合的时候只考虑实系数。Vector space的dimension是n=p+q。

n=0, p=q=0。也就是0 vector space。0 vector space也要有系数。因为Clifford algebra是unital associative algebra，是要有1的。有1就有数域。它是在vector space之外的。所以Cl(0,0)=R。也就是实数域。

n=1。
p=1,q=0。Cl(1,0)有一个生成元e₁ with e₁²=1。这是algebra生成元。Cl(1,0)作为线性空间的话，有两个生成元 {1,e₁}。这个是等于R²的。但是怎么个等于，还要有一个映射。

二维R-algebra只有两个：R²和C。应该是这样。

至于Cl(1,0)应该等于其中哪个，我想是个试探的过程。低维也很简单。

注意这个映射 ɸ: Cl(1,0) --> R² 是algebra映射。也就是R²是作为algebra的，它的单位元是(1,1)。
所以
ɸ(1) = (1,1)
ɸ(e₁²)=ɸ(e₁)ɸ(e₁)=ɸ(1) = (1,1)
也就是ɸ(e₁)要映射到R²中单位元(1,1)的平方根。

但是R²中单位元(1,1)的平方根有3个：
(-1,-1)²=(-1,1)²=(1,-1)²=(1,1)

应该是映射到其中哪一个都可以。所以有三种映射。

考虑ɸ(e₁)=(-1,-1)。

哦不行。因为这样的话，ɸ(e₁)和ɸ(1)只是正负号，线性相关了。

所以只能是ɸ(e₁)=(-1,1)或者(1,-1)。这两个应该都是可以的。而且(1,1)和(-1,1)可以作为R²的基。也就是满射也有了。

作为algebra的同构 Cl(1,0) <--> R²，这样就可以了。但是R²还有一个canonical的内积。这个同构最好也能尊重这个内积规则。

而且Cl(p,q)也有canonical inner product structure。这个algebra同构最好也是inner product isometry。。。不过这个看起来好像做不到。因为
1 <--> (1,1)
e₁ <--> (-1,1)
这个映射的话，左边两个是正交的，而右边两个不是正交的。

看来只能这样了。

[TheMatrix]

n=1, p=0,q=1。

Cl(0,1)，algebra generator只有一个e₁ with e₁²=-1。

ɸ: Cl(0,1) --> C
ɸ(1) = 1
ɸ(e₁) = i

完美。既是algebra isomorphism，又是inner product isometry。

[TheMatrix]

n=2
有三种情况：
p=2,q=0，也就是signature(++)，Cl(2,0).
p=1,q=1，也就是signature(+-)，Cl(1,1).
p=0,q=2，也就是signature(--)，Cl(0,2).

[TheMatrix]

n=2
有三种情况：
p=2,q=0，也就是signature(++)，Cl(2,0).
p=1,q=1，也就是signature(+-)，Cl(1,1).
p=0,q=2，也就是signature(--)，Cl(0,2).

p=2,q=0，也就是signature(++)。Cl(2,0) 有两个algebra generator e₁²=e₂²=1。

Cl(2,0)是4维：{1,e₁,e₂,e₁e₂}。

4维的algebra有哪些？

R⁴,C²,M₂(R),C⊕R²,...

我觉得还是试探咯。

直接试探M₂(R) -- 因为我知道最后就是它。

ɸ: Cl(2,0) --> M₂(R)

ɸ(1)=I -- identity matrix -- 这是必须的。

ɸ(e₁)等于什么？平方之后应该等于I，identity matrix。但不能是-I，因为那样和I线性相关了。

平方之后等于I的matrix有哪些？

diag(1,-1)
diag(-1,1) = -diag(1,-1)
[[0,1],[1,0]] -- 反diagonal
[[0,-1],[-1,0]]=-[[0,1],[1,0]]

那只能
ɸ(e₁)=diag(1,-1)
ɸ(e₂)=[[0,1],[1,0]]

还有几个对称的。

可以验证ɸ(e₁e₂)=-ɸ(e₂e₁)。所以这个algebra isomorphism成立。

同时还发现，(e₁e₂)²=-1，所以e₁e₂相当于i。也就是{1,e₁e₂}是Cl(2,0)的subalgebra，相当于C。

2X2 matrix这边，ɸ(e₁e₂)=[[0,1],[-1,0]]，它也有平方等于-I的关系。所以它相当于复数中的i。

这里好像没有什么canonical isometry可以探索。

[TheMatrix]

n=2
有三种情况：
p=2,q=0，也就是signature(++)，Cl(2,0).
p=1,q=1，也就是signature(+-)，Cl(1,1).
p=0,q=2，也就是signature(--)，Cl(0,2).

p=1,q=1，也就是signature(+-)，Cl(1,1).

Cl(1,1)=Cl(2,0)
这是有点令人惊讶的。

Cl(1,1)有两个基矢量 e₁²=1，e₂²=-1。
Cl(2,0)有两个基矢量 e₁²=1，e₂²=1。

但是可以做一个这样的对应，左边的是Cl(1,1)的，右边的是Cl(2,0)的：
1 <--> 1
e₁ <--> e₁
e₂ <--> e₁e₂
e₁e₂ <--> e₂

所以Cl(1,1)也同构于M₂(R)，其同构映射可以通过Cl(2,0)得出。